СЕРЕЖНИКОВА ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Учебно-методическое пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. <...> Авербух, Т. И. Сережникова ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Рекомендовано методическим советом УрФУ в качестве учебно-методического пособия для студентов, обучающихся по направлениям подготовки: 230401 — Прикладная математика (специалитет), 220300 — Автоматизированные технологии и производства (специалитет), 231300 — Прикладная математика (бакалавриат) Екатеринбург Издательство Уральского университета 2014 УДК 517.972(075.8) ББК 22.161.8я73 A19 Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. <...> ISBN 978-5-7996-1250-4 В издании введено понятие простейшей задачи вариационного исчисления. <...> Рассмотрен случай закрепленных концов и случай свободного правого конца. <...> Для простейшей задачи вариационного исчисления в скалярном случае указано необходимое условие второго порядка. <...> Также для этой же задачи в общем случае приведены достаточные условия. <...> Необходимые условия первого порядка для задачи с закрепленными концами 4. <...> Необходимые условия первого порядка в простейшей задаче вариационного исчисления со свободным правым концом 7. <...> Необходимые условия второго порядка в задаче с закрепленными концами 8. <...> Достаточные условия в задаче с закрепленным правым концом в скалярном случае 9. <...> Для задачи с фиксированным правым концом кроме необходимого условия первого порядка будут рассмотрены необходимые условия второго порядка и достаточные условия. <...> Материал параграфов 7, 8 изложен в соответствии с [5]. <...> Частные производные будем обозначать через Ft, Fx и Fu соответственно. <...> Среди всех функций x(·) таких, что x(t0) = x0, x(t1) = x1, найти функцию, минимизирующую функционал (2) Аналогично формулируется простейшая задача вариационного исчисления со свободным правым концом (задача Больца). <...> В дальнейшем будем называть непрерывно дифференцируемые функции <...>
Простейшие_задачи_вариационного_исчисления.pdf
УДК 517.972(075.8)
ББК 22.161.8я73
A19
Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. Г. А. Тимофеева, зав. кафедрой
«Высшая и прикладная математика» УрГУПС; канд. физ.-мат. наук
А. А. Усова, науч. сотр. отдела динамических систем ИММ УрО РАН
Научный редактор — д-р физ.-мат. наук, проф. А. Н. Сесекин
Авербух, Ю. В.
A19 Простейшие задачи вариационного исчисления : учеб.-метод. пособие
/ Ю. В. Авербух, Т. И. Сережникова. — Екатеринбург : Изд-во Урал.
ун-та, 2014. — 44 с.
ISBN 978-5-7996-1250-4
В издании введено понятие простейшей задачи вариационного исчисления.
Рассмотрен случай закрепленных концов и случай свободного
правого конца. Для обеих задач приведено необходимое условие
первого порядка. Для простейшей задачи вариационного исчисления в
скалярном случае указано необходимое условие второго порядка. Также
для этой же задачи в общем случае приведены достаточные условия.
Библиогр.:
7 назв.
УДК 517.972(075.8)
ББК 22.161.8я73
ISBN 978-5-7996-1250-4
⃝ Уральский федеральный
университет, 2014
c
Стр.3
Содержание
1. Введение
2. Постановка задачи
3. Необходимые условия первого порядка для задачи с закрепленными
концами
4. Интегралы решения уравнения Эйлера–Лагранжа
4
4
8
13
4.1. Вырожденный случай F = F(t,x) . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2. F зависит лишь от t и ˙x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3. F не зависит от t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5. Примеры
6. Необходимые условия первого порядка
в простейшей задаче вариационного исчисления
со свободным правым концом
7. Необходимые условия второго порядка
в задаче с закрепленными концами
8. Достаточные условия в задаче с закрепленным
правым концом в скалярном случае
9. Элементы теории поля
10.Достаточные условия в векторном случае
14
17
20
28
32
34
3
Стр.4