МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
ОПЕРАТОРЫ
Учебно-методическое пособие
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2016
1
Стр.1
Введение
Псевдодифференциальные операторы представляют собой весьма широкий
круг операторов. Так, среди псевдодифференциальных операторов
содержатся линейные дифференциальные операторы с частными производными
и разностные операторы. Теория псевдодифференциальных операторов
в настоящее время интенсивно развивается и получает все больше приложений
в исследованиях отечественных и зарубежных математиков. При
исследовании свойств псевдодифференциальных операторов используется
преобразование Фурье обобщенных функций, рассмотренных ранее в учебно-методическом
пособии «Дополнительные главы обобщенных функций».
3
Стр.3
Заметим, что если не требовать ограничения mn
p (, )x
p x
<− , то функция
, вообще говоря, не будет абсолютно интегрируемой по переменной
. Однако, из неравенства (1.1) следует, что она при каждом x определяет
функционал из S′ . Поэтому мы можем при каждом фиксированном x определить
обратное преобразование Фурье от функции (, )
рез (, )kx z обратное преобразование Фурье:
1
kx z F p x
(, ) =
−
→z[ (, )] .
. Обозначим че(1.6)
Это
обратное преобразование Фурье понимается в обобщенном смысле.
При этом функция (, )kx z при каждом x будет медленно растущей функцией
по переменной z . Покажем, что формула (1.5) остается справедливой и в
этом случае.
Если мы условимся для любых f S′∈ и ()
ux S∈ результат действия
функционала f на функцию ()
то получим:
=+ −
( (
Так как () () (
−= − =
iy
kx x y uy dy
, )
(, ) ( )
1
n
это равенство в предыдущее, будем иметь
1
(2 ) p xe u d p x D u x
(
ix
(2 )
( )
(
ky x u y k y u x y)) =
), ( )) ( ( ), ( −
=
−= − ), ( )) ( ( − ), ( )) =
k x xy u y dy k x y u y k xy u y
1
(, ) ( )
( (
=
ux y e ux y dy e e u z dz e u(
−−ix iz
)
=
−= =
==
n ( (, )
p x e u( ))
ix
, )().
Таким образом, доказана справедливость равенства (1.5) при произвольных
x .
В качестве примера рассмотрим псевдодифференциальный оператор
px
(, ) = (),ax если
(),bx если
kx z=− 22 .
(, )
ax b x ax b x+−
(z iz
() ()
6
)
() () 1
> 0,
< 0.
(1.7)
Используя установленную ранее формулу для вычисления обратного
преобразования Фурье от этой функции, получим
(2 )n ( ( , ), ( −
−ix
p x u x y)) .
) , то, подставляя
ux записывать в виде интеграла
(, )
f uf y u y dy ,
=
(
)
(
)
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξξ ξ
π
ξξ
π
ξ
δ
π
ξ
ξ
ξξ
ξ
ξ
ξ
ξ
π
Стр.6
Отсюда
p x D ux=− −ix dy
ux
(
, )()
ax b x ax b x u y
22 ,
() ()
+−
()
раторами.
Заметим, что среди всех функций (, )
p x
однородные функции по
Функция ()g
ной), если () (gg ) при ∀> , число
родности функции ()g
=
.
Для случая произвольного (1)> числа переменных x , псевдодифференциальные
операторы, символы которых по переменной
являются положительно
однородными, называются многомерными сингулярными интегральными
операторами.
Псевдодифференциальные операторы часто возникают при решении
различных задач уравнений в частных производных. Рассмотрим, например,
решение задачи Коши для уравнения теплопроводности: требуется при
t 0>
найти такое решение (, )vt x уравнения теплопроводности
vt x u x→ при t→+ , где ()
(, )
( )
0
Будем сначала предполагать, что ()
∂∂
=
ux – некоторая заданная функция.
ux S∈ . Решим эту задачу с помо2
щью
преобразования Фурье по переменной x . Так как оператор
преобразования Фурье переходит в оператор умножения 2
получаем уравнение
∂vt
причем (0, ) ( ).vu
=
Решением этого уравнения служит функция vt u e . Применяя об(,
) ( ) t
=
vt x = e e u d
(, )
1
ix
−t
2
функции ()
( )
.
−
2
ратное преобразование Фурье к обеим частям этого равенства, получим
2
(1.9)
Таким образом, решение (, )vt x получается с помощью применения к
−t 2
ux псевдодифференциального оператора e
мулу (1.5), мы можем записать решение в виде
7
. Используя фор(,
)
t
∂ =− v
2
,
(1.8)
∂ после
2
∂
x
− , то для (, )vt
∂∂ , что
2
vv
tx
2
нулевого порядка.
называется положительно однородной (или однород0
называется
порядком одно()
() ( )
y
где последний интеграл понимается в смысле главного значения по Коши.
Операторы такого вида называются одномерными сингулярными опевида
(1.7) можно выделить
π
ξ
γ
ξ
ξ λ ξ
ξ
γ
λ
ξ
ξ
ξ
ξξ
ξξ
π
ξξ
ξξ
ξ
ξ
λ
ξ
ξ
ξ
Стр.7
vt x k t x y u y dy
kt z
(, )
(, )
=−
=
( ,
1
2
iz t
следовательно, kt z =
щественной оси
(, ) 2
e
e
−+t
−
z
4 ()
2
2
t
iz
e e d .
−−t
iz
−− = − + − ,
t tt
22 z
()
2
t d
.
Используя теорему Коши, мы можем заменить интегрирование по вена
интегрирование по любой прямой, параллельной оси
на комплексной плоскости.
Если прямую выбрать так, что на ней
−
z
kt z =
Остается заметить, что
.
ed e
−−
ty
t
22
==
1
Отсюда, kt z =
(, )
1
2
t
e
−
z
2
4t , т.е.
vt x =
(, )
1
2
∂
∂ на v
v
t
∂
∂
t
t e u y dy .
( )
− −
() 2
4
xy
t
и считали, что при каждом
(1.10)
Последняя формула называется формулой Пуассона. Заметим, что рассуждения,
с помощью которых мы получили формулу (1.10), требуют дальнейшего
обоснования. Например, мы без доказательства заменили функцию
функцию (, )vt
все рассуждения верны не только для ()
вать как классическое решение уравнения (1.8). Все эти моменты легко
обосновать, используя конкретные функции (, )vt x . Можно показать, что
ux S∈ , но и для функции ()
ux , которая
является непрерывной и ограниченной функцией на всем пространстве
S .
можно рассматриdy
t
(,
) 2
e
2
4t
e d
−t
2
.
=− , то получим, что
2
iz
t
24
iz
) ( ) ,
2
Последний интеграл можно вычислить. Для этого заметим, что
2
8
ξξ
π
ξξ
ξ
π
π
ξ
ξ
ξ
ξ
π
π
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
η
ξ
ξ
π
Стр.8
§ 2. Псевдодифференциальные уравнения
с символами класса m
S
через
1. Свойства ядер операторов с символами класса m
m
p (, )x
где C ,
где F− 1
px C ,
()
()
(, )≤+ =∂∂ ,
p
(1 ) ,m
−
kx z F p x( , ) ,
(, ) =
−1
z
]
()
()
∂
p
x
– постоянные, которые зависят только от
→ [
прерывна и ограничена, при mn
p x
,
– обратное преобразование Фурье. При mn
и p . Положим
(2.2)
<− функция (, )kx z не≥−
преобразование Фурье понимается в
смысле теории обобщенных функций и (, )kx z по переменным z будет
обобщенной функцией из 'S . В дальнейшем (, )kx z будем называть ядром
оператора (, )
p xD , а функцию (, ) – символом ядра (, )kx z .
Множество всех ядер, символы которых принадлежат m
через m
K .
Если (, )kx z K∈ , то для любых мультииндексов ,,
m−+
m
zD D k x z K
xz (, )∈
символом () ()
||
принадлежит m−+
для любых
nn\0
является бесконечно дифференцируемой функцией.
2. Псевдодифференциальные операторы в пространстве
nn\0
x
оператор (, )
p xD по формуле
(, )
p xD f k x x y f y dy=− ) ( )
( ,
9
− zD D p x1(,
S
x
и
)
.
2.3)
Действительно, используя определение и свойства преобразования Фурье
обобщенных функций, легко установить, что левая часть в (2.3) есть ядро с
. Поэтому zD D k x z
DD k x z C z
xz (, ) ≤
при mn
Ч ()
, причем из (2.1) следует, что этот символ
>+ + будет непрерывной
и ограниченной функцией, следовательно, (, )
Ч ()
xz (, ) при mn
xz
−
DD k x z
есть непрерывная функция, причем
,,
на
(2.4)
>+ + . Отсюда можно сделать вывод, что (, )kx z на
. Обозначим
через B∞
функций ()f x на n
ределим на B∞
совокупность таких бесконечно дифференцируемых
, что ()f x и все производные ()()f
ограничены. Оп.
(2.5)
Если
ядро (, )kx z – обобщенное, то интегралу в (2.5) еще нужно придать
смысл. Для этого заметим, что если () 0
f y = в окрестности точки x , то инS
, обозначим
S множество таких бесконечно дифференцируемых функций
, определенных на Ч
, что для любых мультииндексов
+
(2.1)
S . Обозначим
и
β
α
αβ
αα
βρ
α
ξξ
αβ
ξ
ξ
αβγ
ξ
ξ
αρ
β
αγ
γξξ
β
αα β
ξ
α
αγ
α
β
αβγ
α
β
γ
β
α
γβ
α
β
α
β
γβ
β
ξ β
α
α
Стр.9
теграл в (2.5) сходится, что видно из оценок (2.4). С другой стороны, для
функций ()f y из S интеграл (2.5) мы уже определили в §1. Остается замеf
() () ()=+ y , где 1fy = при xy 1−< ,
но положить
тить, что любую функцию ()f yB∞
yf y
12f
1() (
y
() 0
) () f yy x)) ( )y ,
y
() (1 (=− −
kx 12
x y f y dy kx x y f y dy kx x y f y dy
−= − ) ( )
( ,
y и 2
f ()
+
f
.
f yy x f=− , 2
где () – такая основная функция, что () 1y = при y 1< . Теперь можем
определить интеграл в (2.5), положив
(, ) ( )
Легко видеть, что результат не зависит от способа представления ()f y в
виде суммы функций 1
− (, ) ( )
f ()
В пространстве B∞
v→∞ к ()f xB∞
ностей. Будем говорить, что последовательность ()vf yB∞
∈ , если ()
f xfv ()→ равномерно для любых
()
pxS
()
x
сти, равномерно сходится сама последовательность ()vf y ).
m
странстве B∞
Лемма 2.1. Если (, )∈ , то оператор (, )
.
Доказательство. Если mn
что xDk при любых
Dk x z C z
x (, )≤+
(1 ) ,n
−−
можно ввести понятие сходящихся последователь∈
сходится при
(в частноp
xD непрерывен в про<−
, то утверждение леммы следует из того,
есть непрерывная ограниченная функция и
1
что вытекает из (2.4). Действительно, в этом случае
(, ) ( )
p xD f x k x z f x z dz=− ( , ) (
)
и для доказательства ограниченности производных от (, ) ( )
mr 1
pxg x( , ) , gx S
≤r
(, )∈
p xD f = (g xD D f x .
≤r
(, )
что и (, )
.
, )
x ( )
Так как операторы xD и (),gx D непрерывны в B∞
p xD непрерывен в B∞
10
, то отсюда получаем,
−− 1n .
Тогда
лое положительное число, и (, ) можно представить в виде суммы
(, ) =
(2.6)
(2.7)
p xD f x достаточно
продифференцировать под знаком интеграла в (2.7), после чего интеграл
оценивается с помощью (2.6). Если mn
p x
≥− , то ≤−n − , где r – це∈
можно представить в виде суммы
f S∈ . Для этого достаточ2
y
с указанными свойствами. Аналогичным
образом интеграл в (2.5) определяется для любой бесконечно дифференцируемой
функции ()f y степенного роста.
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
αα
ξ
γ
γ
γ
ξξ
ξ
α α
α
α
ξ
α
α
α
ξ
α
α
α
Стр.10