ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Учебно-методическое пособие
Улан-Удэ
2025
Стр.1
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«БУРЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ ДОРЖИ БАНЗАРОВА»
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Рекомендовано Экспертным советом университета
в качестве учебно-методического пособия для обучающихся по направлениям подготовки
01.03.02 Прикладная математика и информатика, 09.03.03 Прикладная информатика,
02.03.03 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем
Улан-Удэ
Издательство Бурятского госуниверситета имени Доржи Банзарова
2025
Стр.2
УДК 519.21(075.8)
ББК 22.171я73
О-753
Утверждено Экспертным советом университета
Протокол № 6 от 17 марта 2025 г.
Рецензенты
Д. О. Трунин
канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры системного анализа и компьютерного
моделирования, Бурятский государственный университет им. Д. Банзарова
Л. И. Назарова
канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры математики им. Ц. Б. Шойнжурова,
Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления
О-753
составители
Основы теории вероятностей: учебно-методическое пособие /
П. Л. Абидуев,
В. В. Убодоев,
И.-Х. Д. Хишектуева,
И. С. Гусева. – Улан-Удэ: Издательство Бурятского государственного
университета им. Д. Банзарова, 2025. – 162 с.
ISBN 978-5-9793-1021-3
Данное учебно-методическое пособие включает в себя основные понятия, разбор
решений типовых задач по разделу «Теория вероятностей» дисциплины «Теория вероятностей
и математическая статистика», а также содержит методические указания для
решения задач и варианты домашних контрольных работ по главам «События и вероятность»
и «Одномерные случайные величины».
Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 01.03.02
Прикладная математика и информатика, 09.03.03 Прикладная информатика, 02.03.03
Математическое обеспечение и администрирование информационных систем, а также
может быть полезно студентам математических и технических вузов.
УДК 519.21(075.8)
ББК 22.171я73
© П. Л. Абидуев, В. В. Убодоев,
ISBN 978-5-9793-1021-3
И.-Х. Д. Хишектуева, И. С. Гусева, составление, 2025
© Бурятский госуниверситет им. Д. Банзарова, 2025
Стр.3
Оглавление
Предисловие ....................................................................................................... 5
Глава 1 События и вероятность ..................................................................... 7
1.1 Введение в теорию вероятностей ............................................................. 7
1.1.1 Элементы комбинаторики ................................................................. 7
1.1.2 Предмет теории вероятностей ........................................................ 14
1.1.3 Основные понятия. Пространство элементарных событий ......... 14
1.1.4 Вероятностное пространство .......................................................... 17
1.1.5 Геометрическая вероятность .......................................................... 18
1.1.6 Статистическое определение вероятности .................................... 19
1.1.7 Задачи ................................................................................................ 20
1.2 Классическое определение вероятности ............................................... 22
1.2.1 Классическое определение вероятности ....................................... 22
1.2.2 Теорема сложения вероятностей .................................................... 23
1.2.3 Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
Независимые события .................................................................... 24
1.2.4 Формула полной вероятности. Формулы Байеса .......................... 27
1.2.5 Задачи ................................................................................................ 29
1.3. Последовательность независимых испытаний .................................... 32
1.3.1 Схема Бернулли. Формула Бернулли ............................................. 32
1.3.2 Асимптотические формулы в схеме Бернулли ............................. 33
1.3.3 Задачи ................................................................................................ 36
Домашняя контрольная работа 1 .................................................................. 39
Глава 2 Одномерные случайные величины .............................................. 66
2.1 Дискретные случайные величины и их важнейшие числовые
характеристики ...................................................................................... 66
2.1.1 Случайная величина и её функция распределения ....................... 66
2.1.2 Дискретные случайные величины .................................................. 69
2.1.3 Математическое ожидание ДСВ .................................................... 74
2.1.4 Дисперсия, среднее квадратическое отклонение .......................... 75
2.1.5 Мода и медиана ................................................................................ 76
2.1.6 Биномиальное распределение ......................................................... 79
2.1.7 Геометрическое распределение ...................................................... 80
2.1.8 Распределение Пуассона ................................................................. 82
2.1.9 Простейший поток событий ............................................................ 83
3
Стр.4
2.1.10 Задачи .............................................................................................. 84
2.2 Непрерывные случайные величины ...................................................... 87
2.2.1 Плотность распределения вероятностей ....................................... 87
2.2.2 Общее определение математического ожидания ......................... 90
2.2.3 Математическое ожидание непрерывной случайной величины . 92
2.2.4 Дисперсия ......................................................................................... 92
2.2.5 Мода и медиана ................................................................................ 94
2.2.6 Моменты случайных величин ......................................................... 96
2.2.7 Коэффициент асимметрии и эксцесс ............................................. 98
2.2.8 Равномерное распределение ........................................................... 99
2.2.9 Показательное (экспоненциальное) распределение ................... 101
2.2.10 Нормальное распределение ......................................................... 102
2.2.11 Функция от случайной величины ............................................... 108
2.2.12 Задачи ............................................................................................ 113
2.3. Центральная предельная теорема ....................................................... 116
2.3.1 Теорема Ляпунова и её следствие для суммы одинаково
распределенных случайных величин .......................................... 116
2.3.2 Разбор задач на использование центральной предельной теоремы
......................................................................................................... 117
2.3.3 Задачи .............................................................................................. 121
Домашняя контрольная работа 2 ................................................................ 122
Библиографический список ........................................................................ 161
4
Стр.5
Предисловие
Методы теории вероятностей широко применяются в экономике, теории
надежности, теории массового обслуживания, в теоретической физике и многих
других отраслях техники и естествознания. Данное учебно-методическое пособие
служит для ознакомления студентов с базовыми понятиями и методами
теории вероятностей, позволяет выработать и закрепить навыки решения вероятностных
задач.
Пособие включает в себя теоретический материал, методические указания и
разбор решений типовых задач по разделу «Теория вероятностей» дисциплины
«Теория вероятностей и математическая статистика». Пособие состоит из двух
глав «События и вероятность» и «Одномерные случайные величины». Каждая
глава состоит из параграфов. Каждый параграф содержит теоретическую часть,
разбор примеров и задачи для самостоятельного решения.
В пособии содержатся две домашние контрольные работы соответственно
по главам «События и вероятность» и «Одномерные случайные величины».
Каждая домашняя контрольная работа содержит 25 вариантов. Каждый вариант
состоит из 10 заданий.
Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» относится
к обязательным дисциплинам базовой части Блока 1 в структуре образовательной
программы направлений подготовки 01.03.02 Прикладная математика
и информатика, 09.03.03 Прикладная информатика, 02.03.03 Математическое
обеспечение и администрирование информационных систем.
Предлагаемое пособие в результате освоения раздела «Теория вероятностей»
позволяет формировать необходимые компетенции обучающегося для
успешного освоения раздела «Математическая статистика» дисциплины «Теория
вероятностей и математическая статистика».
В результате освоения теории вероятностей студент должен
знать:
основные факты и понятия теории вероятностей, модели случайных явлений
и применение их для решения разнообразных задач;
уметь:
излагать основные факты, понятия теории вероятностей, а также уметь
применять их для решения задач, уметь использовать приобретенные знания и
умения в практической деятельности и повседневной жизни для практических
расчетов по изученным формулам;
владеть:
методологией и навыками решения научных и практических задач по теории
вероятностей.
5
Стр.6
В результате освоения дисциплины формируются следующие компетенции
обучающегося:
1) ОПК-1 – способен применять фундаментальные знания, полученные в области
математических и(или) естественных наук, и использовать их в профессиональной
деятельности;
ОПК-1.2 – анализирует и систематизирует результаты собственных исследований,
представляет материалы в виде научных отчетов, публикаций,
презентаций;
ОПК-1.3 – применяет физико-математический аппарат для моделирования
(формализации) объектов или процессов реального мира;
ОПК-1.1 – собирает, анализирует и систематизирует отечественную и зарубежную
научно-техническую информацию по профессиональной тематике;
2)
ОПК-6 – способен анализировать и разрабатывать организационно-технические
и экономические процессы с применением методов системного
анализа и математического моделирования;
ОПК-6.1 – знает основы теории систем и системного анализа, дискретной
математики, теории вероятностей и математической статистики, методов
оптимизации и исследования операций, нечетких вычислений, математического
и имитационного моделирования;
ОПК-6.2 – применяет методы теории систем и системного анализа, математического,
статистического и имитационного моделирования для автоматизации
задач принятия решений, анализа информационных потоков,
расчета экономической эффективности и надежности информационных
систем и технологий;
ОПК-6.3 – проводит инженерные расчеты основных показателей результативности
создания и применения информационных систем и технологий.
6
Стр.7