Теория колебаний. Колебания в плазме

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

УДК 534(075)+533.9(075) ББК В236.35я7+В333я7 З-134 Рецензенты: д-р техн. наук, проф. А. Ю. П р и в а л о в, канд. физ.-мат. наук, снс. С. Ю. П и ч у г и н Завершинский, Дмитрий Игоревич З-134 Теория колебаний. Колебания в плазме: учебно-методическое пособие / Д.И. Завершинский. – Самара: Издательство Самарского университета, 2023. – 148 с. ISBN 978-5-7883-1945-2 В данном учебно-методическом пособии представлены основные разделы теории колебаний. Изложены базовые теоретические модели и разобран широкий спектр методик решения задач в данной области. В качестве примеров практического использования описанных методов и моделей приводятся задачи из различных разделов физики, химии, биологии, экологии и экономики, что дает возможность научиться решать практически важные задачи. Отдельное внимание уделяется проблемам, связанным с наблюдаемыми осцилляциями в солнечной плазме. Предназначено для обучающихся по направлениям подготовки 03.03.01 Прикладные математика и физика и 03.03.02 Физика, 02.03.02 Фундаментальная информатика и информационные технологии. Подготовлено на кафедре физики. УДК 534(075)+533.9(075) ББК В236.35я7+В333я7 ISBN 978-5-7883-1945-2 © Самарский университет, 2023 123

Стр.2

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................... 6 ГЛАВА 1 Колебания. Основные понятия и способы описания ....... 9 1.1 Колебательные процессы. Основные понятия ......................... 9 1.2 Описание колебательных процессов ...................................... 11 1.2.1 Прямое решение уравнений колебательного процесса .. 16 1.2.2 Построение фазового портрета ........................................ 22 ГЛАВА 2 Колебания в динамических системах с 1-й степенью свободы ................................................................................................ 30 2.1 Линейные динамические системы с 1-й степенью свободы 30 2.1.1 Математический маятник. ................................................ 30 2.1.2 RLC-контур. ....................................................................... 32 2.1.3 Брюсселятор. ...................................................................... 33 2.1.4 Простейшая модель национальной экономики. ............. 34 2.1.5 Модель Лотки-Вольтерра ................................................. 35 2.1.6 Колебания в корональных петлях (плазменных трубках) ................................................................ 36 2.2 Гармонический осциллятор. Параметры колебаний ............. 37 2.3 Нелинейные консервативные системы с 1-й степенью свободы. Примеры колебательных систем .................................. 42 2.3.1 Нелинейные колебания математического маятника ...... 42 2.3.2 Нелинейные колебания Модели Лотки – Вольтерра...... 43 2.4 Спектр колебаний ..................................................................... 45 2.5 Метод разложения по малому параметру .............................. 46 2.5.1 Метод разложения по малому параметру ....................... 47 3

Стр.3

2.5.2 Осциллятор Дуффинга. Метод Линштедта – Пуанкаре . 50 2.6 Нелинейная динамика протуберанца на Солнце ................... 54 ГЛАВА 3 Нелинейные диссипативные системы с 1-й степенью свободы ................................................................................................ 62 3.1 Метод многих масштабов ........................................................ 62 3.2 Автоколебания в сферической микроволновой плазме ........ 66 3.3 Автоколебания. Метод Ван дер Поля. Генератор Ван дер Поля ................................................................................... 71 3.4 Точечное отображение для генератора Ван дер Поля .......... 76 3.5 Быстрые и медленные движения ............................................. 78 ГЛАВА 4 Динамические системы с 1.5-а степенями свободы ...... 83 4.1 Линейные динамические системы с 1.5-а степенями свободы ............................................................................................ 83 4.1.1 Вынужденные колебания гармонического осциллятора. Гармоническая внешняя сила .................................................... 83 4.1.2 Негармоническая, но периодическая внешняя сила: ) F t F t T ( )  ( ............................................................................ 87 4.1.3 Произвольная внешняя сила. ............................................ 89 4.1.4 Гармонический осциллятор под действием обобщенных внешних сил. ............................................................................... 91 4.2 Линейные системы с 1.5-а степенями свободы с меняющимися под действием внешних факторов параметрами. Преобразование энергии в плазменных средах. .......................... 94 4.2.1 Сравнимые частоты. Уравнение Матье ........................... 94 4.2.2 Параметрическое взаимодействие МГД-волн в плазме, описываемое уравнение Матье ............................................... 103 4.2.3 Стохастический параметрический резонанс ................. 108 4

Стр.4

4.2.4 Медленное изменение параметров. Адиабатический инвариант. ................................................................................. 110 4.2.5 Движения в быстроосциллирующих полях .................. 112 4.3 Нелинейные динамические системы с 1.5-а степенями свободы .......................................................................................... 114 4.3.1 Осциллятор Дуффинга под импульсным воздействием ............................................................................. 114 4.3.2 Осциллятор Дуффинга. Нелинейный резонанс ............ 116 4.3.3 Параметрически возбуждаемый нелинейный осциллятор................................................................................. 118 4.3.4 Хаотические колебания. Система Лоренца ................... 120 ГЛАВА 5 Динамические системы с 2-мя степенями свободы ..... 123 5.1 Линейные колебания в системах с 2-мя степенями свободы .......................................................................................... 123 5.2 Нелинейные колебания в системах с 2-мя степенями свободы. Двухконтурный автогенератор ................................... 128 ГЛАВА 6 Колебания в динамических системах с 2.5 степенями свободы. ............................................................................................. 133 6.1 Осцилляторы с индуктивной связью .................................... 133 6.2 Осцилляторы с емкостной связью под действием гармонической сил ....................................................................... 136 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ................................................................ 139 5

Стр.5