Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (метод Рунге-Кутты)

Стр.2

Стр.3

Стр.4

УДК 519.62(075) ББК В192.321я7 Г687 Рецензенты: д-р техн. наук, проф. Ю. М. З а б о л о т н о в, д-р техн. наук, проф. П. К. К у з н е ц о в Горелов, Юрий Николаевич Г687 Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (метод Рунге-Кутты): учебное пособие / Ю.Н. Горелов, Л.В. Курганская. – Самара: Издательство Самарского университета, 2023. – 76 с. ISBN 978-5-7883-1890-5 Изложены теоретические основы и практические подходы к программной реализации численных методов решения задачи Коши или начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и их систем. Рассматривается процедура поэтапной разработки программной реализации численного решения с применением формул Рунге-Кутты, которые получили наиболее широкое применение в вычислительной математике для решения широкого круга прикладных задач в различных областях естествознания, техники и экономики. Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 01.03.03 Механика и математическое моделирование, 02.03.03 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем и специальности 01.05.01 Фундаментальные математика и механика. Подготовлено на кафедре дифференциальных уравнений и теории управления. УДК 519.62(075) ББК В192.321я7 ISBN 978-5-7883-1890-5 © Самарский университет, 2023 2

Стр.2

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ........................................................................................................5 1 Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Рунге-Кутты .......................... 11 1.1 Идея метода Рунге-Кутты ............................................................ 11 1.2 Примеры формул Рунге-Кутты различных степеней r 1.2.1 Случай r 1 ................. 17 ................................................................................... 17 1.2.2 Случай r 2 . .................................................................................. 18 1.2.3 Случай r 3 1.2.4 Случай r 4 1.2.5 О случаях r 4 1.3 Метод Рунге-Кутты для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка .......................... 27 1.3.1 Случай системы двух уравнений ......................................... 27 1.3.2 Система n уравнений ........................................................... 31 2 Программная реализация численного решения задачи Коши методом Рунге-Кутты для системы обыкновенных дифференциальных уравнений .............................................................. 34 2.1 Основные варианты численного решения задачи Коши ........... 34 2.2 Программная реализация формул Рунге-Кутты четвертой степени для численного решения задачи Коши на заданном интервале ....................................................................................... 40 2.2.1 Алгоритм-2 ...................................................................................... 42 2.2.2 Текст программы, реализующей Алгоритм-2 .................. 45 2.2.3 Замечания к программе RUNGE 4.2 ................................ 47 2.3 О программной реализации численного решения задачи Коши на интервале с нефиксированным правым концом .................... 48 2.3.1 Об условиях «останова» программы ............................... 48 2.3.2 Алгоритм – 4 ...................................................................... 50 2.3.3 Дополнительные описания к программе RUNGE 4.3 .... 53 3 .................................................................................. 20 ...................................................................... 22 ................................................................... 25

Стр.3

2.4 О выборе шага интегрирования при численном решении обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем ..... 54 2.4.1 Об условиях сходимости методов Рунге-Кутты .............. 54 2.4.2 Правило Рунге ........................................................................... 57 2.4.3 Оценки погрешности с помощью контрольных членов ....................................................................................... 60 2.4.4 Выбор шага интегрирования ............................................ 62 Библиографический список ..................................................................... 64 Приложение 1 Формулы метода Рунге-Кутты (до четвертого порядка точности) ....................................................................................... 65 Приложение 2 Текст программы RUNGE 4.2 ........................................... 69 Приложение 3 Текст программы RUNGE 4.3 ........................................... 71 Приложение 4 Текст программы RUNGE 4.4 ........................................... 73 4

Стр.4