Математический анализ. Практикум (300,00 руб.)

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

УДК 517(075.8) Ë383 Рецензенты: д.т.н., профессор Б.Ю. Лемешко ст. преподаватель Г.А. Кузин Работа подготовлена на кафедре Инженерной математики НГТУ Левяков С.В. Л383 Математический анализ. Практикум: учебное пособие/ С.В. Левяков, Г.М. Шумский. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2022. 172 ñ. ISBN 978-5-7782-4714-7 Настоящее учебное пособие предназначено для студентов инженерно-технических специальностей высших учебных заведений. Оно подготовлено в объеме первой части курса математического анализа, который преподается в первом семестре на различных факультетах Новосибирского государственного технического университета. Пособие включает в себя следующие основные разделы курса: функции и их графики, предел, непрерывность, дифференцирование и интегрирование функций одной действительной переменной. Каждый раздел содержит теоретические сведения, примеры решения задач и задания для самостоятельной работы. Пособие может быть использовано для проведения практических занятий и консультаций по математическому анализу со студентами первого курса технических специальностей. УДК 517(075.8) ISBN 978-5-7782-4714-7 © Левяков Ñ.Â., Шумский Ã.Ì., 2022 © Новосибирский государственный технический университет, 2022

Стр.2

Содержание Предисловие 1 Элементарные и неэлементарные функции 2 Преобразование графиков функций 3 Параметрическое задание кривых 4 Полярные координаты 5 Предел числовой последовательности 7 8 10 14 18 24 5.1 Вычисление пределов последовательностей . . . . . . 25 5.1.1 Предел рациональной последовательности . . . 26 5.1.2 Некоторые пределы других типов . . . . . . . . 26 6 Пределы функции в точке и на бесконечности 7 Бесконечно малые и бесконечно большие функции 29 6.1 Вычисление ïðåäåëîâ. Типы неопределенностей . . . 29 6.2 Односторонние пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 43 7.1 Сравнение бесконечно малых функций . . . . . . . . 44 7.2 Таблица эквивалентных бесконечно малых . . . . . . 45 7.3 Сравнение бесконечно больших функций . . . . . . . 46 7.4 Главная часть функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 7.5 Вычисление пределов с помощью эквивалентных б.м.ф. 50 8 Непрерывность функций. Точки разрыва 9 Производная функции 56 62 9.1 Понятие производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 9.2 Правила дифференцирования функций . . . . . . . . 64 9.3 Дифференцирование сложной функции. Цепное правило . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3

Стр.3

9.4 Логарифмическое дифференцирование . . . . . . . . . 66 9.5 Производные степенно-показательных функций . . . 67 9.6 Производная ôóíêöèè, содержащей модуль . . . . . . 67 9.7 Производная ôóíêöèè, заданной неявно . . . . . . . . 70 9.8 Производная функции, заданной параметрически . . 72 9.9 Правило Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 10 Дифференциал 11 Формула Тейлора 12 Асимптоты 13 Приложения производной 82 86 91 93 13.1 Касательная и нормаль к графику функции . . . . . 93 13.2 Интервалы монотонности, экстремумы функции . . . 96 13.3 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке 98 13.4 Геометрические и физические задачи о наибольших и наименьших значениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 13.5 Выпуклость и вогнутость êðèâûõ, точки перегиба . . 103 13.6 Полное исследование функции . . . . . . . . . . . . . . 106 14 Неопределенный интеграл 110 14.1 Свойства неопределенного интеграла . . . . . . . . . . 110 14.2 Непосредственное интегрирование . . . . . . . . . . . 111 14.3 Подведение под знак дифференциала . . . . . . . . . . 112 14.4 Замена переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 14.5 Интегрирование по частям . . . . . . . . . . . . . . . . 115 14.6 Интегрирование рациональных функций . . . . . . . . 120 14.7 Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 14.8 Интегрирование некоторых иррациональных функций 127 15 Определенный интеграл 4 132

Стр.4

15.1 Интегральная сумма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 15.2 Свойства определенного интеграла . . . . . . . . . . . 133 15.3 Формула Ньютона-Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . 136 16 Приложения определенного интеграла 138 16.1 Вычисление площадей плоских фигур . . . . . . . . . 138 16.1.1 Вычисление площадей в декартовых координатах138 16.1.2 Вычисление площадей при параметрическомзадании границы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 16.1.3 Площадь в полярных координатах . . . . . . . 142 16.2 Вычисление длин кривых . . . . . . . . . . . . . . . . 145 16.3 Вычисление объемов тел вращения . . . . . . . . . . . 147 16.3.1 Метод ½äèñêîâ“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 16.3.2 Метод ½òðóáîê“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 16.3.3 Рекомендации по выбору метода . . . . . . . . 149 17 Несобственные интегралы 18 ПРИЛОЖЕНИЕ 153 162 18.1 Формулы сокращенного умножения . . . . . . . . . . . 162 18.2 Прогрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 18.2.1 Арифметическая прогрессия . . . . . . . . . . . 162 18.2.2 Геометрическая прогрессия . . . . . . . . . . . 162 18.3 Логарифмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 18.4 Факториал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 18.5 Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 18.6 Тригонометрические функции . . . . . . . . . . . . . . 163 18.6.1 Тождества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 18.6.2 Формулы сложения . . . . . . . . . . . . . . . . 164 18.6.3 Функции двойного аргумента . . . . . . . . . . 164 18.6.4 Сумма тригонометрических функций . . . . . 164 18.6.5 Произведение тригонометрических функций . 165 18.6.6 Понижение степени тригонометрических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5

Стр.5

18.7 Гиперболические функции . . . . . . . . . . . . . . . . 165 18.7.1 Связь с тригонометрическими функциями . . 165 18.7.2 Тождества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 18.7.3 Формулы сложения . . . . . . . . . . . . . . . . 166 18.7.4 Функции двойного аргумента . . . . . . . . . . 166 18.7.5 Сумма гиперболических функций . . . . . . . . 167 18.7.6 Произведение гиперболических функций . . . 167 18.7.7 Понижение степени гиперболических функций 167 18.8 Производные и дифференциалы основных элементарных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 18.9 Формулы Тейлора для основных элементарных функций (ïðè x → 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 18.10Íåêîòîðûå табличные интегралы . . . . . . . . . . . . 170 6

Стр.6