УДК 517.9:512.8
M 419
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, профессор В. Н. Гребенев
д-р физ.-мат. наук, профессор В. A. Селезнев
Меграбов А. Г.
M 419 Дифференциальные инварианты группы эквивалентности
и их приложения: монография / А. Г. Меграбов. — Новосибирск:
Изд-во НГТУ, 2022. — 482 c. — (Монографии НГТУ).
ISBN 978-5-7782-4679-9
Монография посвящена исследованию дифференциальных
уравнений (ДУ), описывающих волновые процессы в
неоднородных средах, свойств семейств кривых и поверхностей
с помощью группового и геометрического анализа. Изучена
группа эквивалентности уравнения эйконала и других ДУ
и ее дифференциальные инварианты. На этой основе получены
групповое расслоение широкого класса ДУ, новые дифференциальные
тождества, новое описание кинематической задачи
сейсмики, точные решения, связи между различными ДУ, дифференциальные
законы сохранения для уравнений эйконала,
гидродинамики, семейств кривых и поверхностей и др. Эти
результаты выявляют ряд новых возможностей группового и
геометрического анализа.
Монография предназначена для специалистов, аспирантов,
студентов, интересующихся методами математической
физики, группового и геометрического анализа и их приложениями.
УДК
517.9:512.8
DOI 10.17212/978-5-7782-4679-9
ISBN 978-5-7782-4679-9
-c Меграбов А. Г., 2022
-c Новосибирский государственный
технический университет, 2022
Стр.4
UDC 517.9:512.8
M 419
Reviewers:
Professor V. N. Grebenev, D. Sc. (Phys.&Math.)
Professor V. A. Seleznev, D. Sc. (Phys.&Math.)
Megrabov A. G.
M 419 Differential invariants of the equivalence group and their
applications: monograph / A. G. Megrabov. —Novosibirsk: NSTU
Publisher, 2022. — 482 p. — (NSTU Monographs).
ISBN 978-5-7782-4679-9
The monograph is devoted to the study of differential
equations (DEs) describing wave processes in inhomogeneous
media, properties of families of curves and surfaces using group
and geometric analysis. The equivalence group of the eikonal
equation and other differential equations and its differential
invariants are studied. On this basis, a group stratification of a
wide DE class, new differential identities, a new description of the
kinematic seismic problem, exact solutions, relationships between
different DEs, differential conservation laws for the eikonal
equations, hydrodynamics, families of curves and surfaces, etc.
are obtained. These results reveal a number of new possibilities
of group and geometric analysis.
The monograph is intended for specialists, graduate
and undergraduate students specializing in the methods of
mathematical physics, group and geometric analysis and their
applications.
UDC 517.9:512.8
DOI 10.17212/978-5-7782-4679-9
ISBN 978-5-7782-4679-9
-c Megrabov A. G., 2022
-c Novosibirsk State Technical
University, 2022
Стр.6
Оглавление
Список основных обозначений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Цель работы и ее основные направления . . . . . . . . . . . . . . 16
Основные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Результаты по основным направлениям исследований
и краткий библиографический обзор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Методы исследований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Часть I. Общая схема предлагаемого группового подхода
Глава 1. Общая схема предлагаемого подхода к групповому
анализу дифференциальных уравнений F[u, a] = 0 с
переменными коэффициентами (параметрами) a(x) . . . 71
1.1. Предлагаемый подход к выбору и отысканию допускаемой
группы при групповом анализе дифференциальных
уравнений F[u, a] = 0 с произвольными переменными
коэффициентами (параметрами) a(x): введение равноправия
u(x) и a(x) и вычисление допускаемой группы
в пространстве (x, u1 = u, u2 = a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.2. Основные применяемые обозначения и термины группового
анализа. Задача группового расслоения (краткое
описание) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1.3. Общая схема предлагаемого группового подхода и логическая
структура монографии в гл. 1–4. Обратная задача
группового расслоения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Стр.468
Оглавление
469
Часть II. Двумерный случай
Глава 2. Рассматриваемая группа G и ее свойства. Построение
группового расслоения (в явном виде) для широкого
класса дифференциальных уравнений с переменным
коэффициентом (параметром) u2(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.1. Группа G. Ее инварианты, дифференциальные инварианты
первого и второго порядка, операторы инвариантного
дифференцирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.2. Основные тождества и связи между дифференциальными
инвариантами группы G. Связь группы G с дифференциальной
геометрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.3. Теорема о базисе дифференциальных инвариантов
группы G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.4. Групповое расслоение для широкого класса дифференциальных
уравнений с произвольным переменным параметром
u2(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.5. Примеры классических линейных и нелинейных уравнений
математической физики с произвольным переменным
коэффициентом (параметром) u2(x, y), допускающих
группу G, для которых теоремы п. 2.4.1, 2.4.2
дают групповое расслоение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Глава 3. Разрешающие системы группового расслоения как
новый класс дифференциальных уравнений, допускающих
представление Лакса. Некоторое новое дифференциальное
тождество как результат выполненного группового
анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.1. Различные формы системы R и разрешающей системы
RE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.2. Разрешающие системы группового расслоения как новый
класс дифференциальных уравнений, допускающих
представление Лакса. Построение пары Лакса в
явном виде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Стр.469
470
Оглавление
3.3. Некоторое новое дифференциальное тождество как результат
применяемого группового подхода и следствия
из него . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Глава 4. Приложения результатов группового подхода, полученных
в гл. 1–3, к конкретным дифференциальным
уравнениям математической физики с произвольным
переменным коэффициентом (параметром) u2(x, y) . . . . 177
4.1. Уравнение эйконала и кинематическая задача сейсмики
(геометрической оптики). Новое описание с помощью
группового подхода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.2. Преобразования некоторых нелинейных дифференциальных
уравнений с произвольным переменным коэффициентом
(параметром) к классическим обыкновенным
дифференциальным уравнениям с помощью группового
подхода. Групповое расслоение и представление
Лакса для них . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.3. Волновое уравнение с произвольной переменной скоростью
распространения волн. Групповое расслоение и
представление Лакса. Сведение обратной задачи к прямой
задаче для разрешающей системы. Определение
функционалов в локальных обратных задачах . . . . . . . . . 232
4.4. Определение точных инвариантно-групповых решений
с помощью метода группового расслоения . . . . . . . . . . . . . 250
Глава 5. Законы сохранения и другие дифференциальные
тождества для плоских векторных полей и для семейств
плоских кривых. Их геометрической смысл и связь с
группой G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
5.1. Поля T (v) и S(τ ). Основное тождество. Дивергентное
тождество (закон сохранения) для поля единичных
векторов τ(x, y) на плоскости. Обобщение тождества
div T = div T (v) = 0, где v = grad u(x, y), для произвольного
плоского векторного поля v = v(x, y) . . . . . . . . 272
Стр.470
Оглавление
471
5.2. Дивергентные формулы (законы сохранения) в дифференциальной
геометрии плоских кривых (законы сохранения
для семейств плоских кривых) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
5.3. Случаи плоского потенциального и соленоидального
поля v(x, y). Тождества для векторных полей T , S(τ ),
S∗, Q, V = |v|2T и законы сохранения. Дифференциальные
тождества для скалярной функции u(x, y), связывающие
ее лапласиан, модуль и угол направления ее
градиента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
5.4. Геометрический смысл закона сохранения divS∗ = 0 ⇔
divS(τ) = 0 ⇔ div T (v) = 0. Способы его вывода . . . . . 295
Глава 6. Формулы дифференциальной геометрии, полученные
с помощью тождеств § 5.3, 5.4, и их связи с группой
G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
6.1. Дивергентное представление гауссовой кривизны поверхности,
заданной графиком, в трехмерном евклидовом
и псевдоевклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
6.2. Формулы, выражающие гауссову кривизну поверхности
и полную (интегральную) кривизну области на ней
через дифференциальные параметры Бельтрами . . . . . . 304
6.3. Формулы, содержащие геодезическую кривизну . . . . . . . 307
Глава 7. Дифференциальные законы сохранения и другие
тождества для уравнений математической физики. Их
геометрический смысл. Связь между уравнением Монжа
— Ампера и уравнением для функции тока . . . . . . . . 309
7.1. Гидродинамические уравнения Эйлера и уравнение
Монжа — Ампера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
7.2. Квазилинейное уравнение эллиптического типа . . . . . . . 318
7.3. Уравнение эйконала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Стр.471
472
Оглавление
Часть III. Трехмерный случай
Глава 8. Группа G10 (трехмерный аналог группы G двумерного
случая) и ее свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
8.1. Основная группа (эквивалентности), допускаемая
трехмерным уравнением эйконала в пространстве
(x, y, z, t, u1 = u, u2 = n2). Группа G10 и ее базисные
операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
8.2. Дифференциальные инварианты и операторы инвариантного
дифференцирования группы G10 . . . . . . . . . . . . . . 336
8.3. Выражение скалярной кривизны R через дифференциальные
инварианты группы G10 (трехмерный аналог
формулы (8.1)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
Глава 9. О некоторых формулах для семейств кривых и поверхностей
и
дивергентных представлениях Ю. А. Аминова . . . . . . 345
9.1. Предварительные сведения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
9.2. Векторные поля S(τ ), S∗ в трехмерном случае. Поля
A1, A2, R∗. Формулы для divS(τ ), divS∗ . . . . . . . . . . . . . 351
9.3. Инвариантные формы векторов rotR∗, A1, A2 . . . . . . . . 354
9.4. Связь между величинами divS(τ) = −2K, κ, τ , ν, β.
О законах сохранения для семейства кривых Lτ . . . . . . . 355
9.5. Соленоидальное представление вектора P через поле
R∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
9.6. Свойства семейства {Sτ } поверхностей Sτ . . . . . . . . . . . . . 357
9.7. О связях между характеристиками взаимно ортогональных
семейств кривых и поверхностей . . . . . . . . . . . . . 360
9.8. О законах сохранения для семейства поверхностей . . . . 367
9.9. Трехмерные аналоги вида div {S(τ) − Φ} = 0 ⇔
div{T (v) − Φ} = 0 двумерного закона сохранения
divS(τ) = 0 ⇔ divS∗ = 0 ⇔ div T (v) = 0. . . . . . . . . . . . . . 372
9.10. Дополнительные формулы для полей S(τ ), T (v), V =
|v|2T (v) в случае потенциального поля v(x, y, z) . . . . . . 374
Стр.472
Оглавление
473
Глава 10. Приложения результатов главы 9 к уравнениям
математической физики в трехмерном случае . . . . . . . . . 377
10.1. Законы сохранения для гидродинамических уравнений
Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
10.2. Законы сохранения и другие формулы для семейств лучей
и фронтов и для уравнения эйконала . . . . . . . . . . . . . . 381
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
I. Общие выводы по главам 1–4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
II. О дифференциальных тождествах, найденных в § 2.2,
3.3, 5.1–5.3, и их приложениях в главах 6, 7 . . . . . . . . . . . 389
III. Общие выводы по главам 8–10 трехмерного случая . . . 391
IV. Области исследования и их взаимодействие . . . . . . . . . . . 392
Приложение 1. Об ограничениях, которым должны удовлетворять
переменный параметр n2(x) = 1/c2(x) в волновом
уравнении и уравнении эйконала в силу определяющих
уравнений алгебры Ли основной группы, допускаемой
этими уравнениями в пространствах (x, y, t, u =
u1), (x, y, z, t, u = u1), (x, y, u = u1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
1.1. О группе точечных преобразований, допускаемой волновым
уравнением в пространстве (x, y, z, t, u) и
(x, y, t, u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
1.2. О группе точечных преобразований, допускаемой уравнением
эйконала в пространстве (x, y, τ) и (x, y, t, τ) . . 397
Приложение 2. Основная группа точечных преобразований,
допускаемая волновым уравнением в пространстве
(x, y, t, u1 = u, u2 = 1/c2) и (x, y, z, t, u1 = u, u2 = 1/c2) . 401
2.1. Случай пространства (x, y, t, u1 = u, u2 = 1/c2) . . . . . . . . 401
2.2. Случай пространства (x, y, z, t, u1 = u, u2 = 1/c2) . . . . . . 412
Приложение 3. Основная группа, допускаемая уравнением
эйконала в пространстве (x, y, u1 = τ, u2 = n2) и
(x, y, t, u1 = τ, u2 = n2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
Стр.473
474
Оглавление
3.1. Случай, когда t фиксировано . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
3.2. Случай, когда t преобразуется вместе с x, y, u1 =
τ, u2 = n2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
Приложение 4. Вычисление коммутатора для любых двух
операторов X и ˜X вида (2.1.1) группы G . . . . . . . . . . . . . . 421
Приложение 5. Базисные операторы группы G10 в развернутом
виде. Коммутационные соотношения . . . . . . . . . . . 422
Приложение 6. Первое продолжение базисных операторов
группы G10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
Приложение 7. Второе продолжение базисных операторов
группы G10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
Стр.474
Contents
List of main symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Research objective and its main areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Results in the main areas of research and a brief bibliographic
review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Research methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Part I. General scheme of the proposed group approach
Chapter 1. A general scheme of the proposed approach
to the group analysis of differential equations
F[u, a] = 0 with variable coefficients (parameters)
a(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.1. The proposed approach to the choice and search of the admissible
group in the group analysis of differential equations
F[u, a] = 0 with arbitrary variable coefficients (parameters)
a(x): introduction of equality u(x) and a(x)
and calculation of the admissible group in the space
(x, u1 = u, u2 = a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.2. The main designations used and terms of group analysis.
The group stratification problem (brief description). . . . . . 82
1.3. A general scheme of the proposed group approach and the
logical structure of the monograph in Chapters 1–4. An
inverse group stratification problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Стр.475
476
Contents
Part II. A two-dimensional case
Chapter 2. The G group and its properties. Construction
of a group stratification (in explicit form) for a
wide class of differential equations with a variable
coefficient (parameter) u2(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.1. The G group. Its invariants, differential invariants of the
first and second order, operators of invariant differentiation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.2. Basic identities and relations between differential invariants
of the G group. The relation of the G group with
differential geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.3. The theorem on the basis of differential invariants of the
group G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.4. A group stratification for a wide class of differential equations
with an arbitrary variable parameter u2(x, y) . . . . . . 129
2.5. Examples of classical linear and nonlinear equations of
mathematical physics with an arbitrary variable coefficient
(parameter) u2(x, y) allowing the G group for which the
theorems of § 2.4.1, 2.4.2 give a group stratification. . . . . . 144
Chapter 3. Resolving group stratification systems as a
new class of differential equations allowing the Lax
representation. Some new differential identity as a
result of the performed group analysis . . . . . . . . . . . . . 151
3.1. Different forms of the R system and the RE resolving system
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.2. Resolving group stratification systems as a new class of
differential equations allowing the Lax representation. Explicit
construction of a Lax pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.3. Some new differential identity as a result of the applied
group approach and a corollary from it . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Стр.476
Contents
477
Chapter 4. Applications of the results of the group approach
obtained in Chapters 1-3 to specific differential
equations of mathematical physics with an
arbitrary variable coefficient (parameter) u2(x, y) . 177
4.1. The eikonal equation and the kinematic problem of seismic
(geometric optics). A new description using a group
approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.2. Transformations of some nonlinear differential equations
with an arbitrary variable coefficient (parameter) to classical
ordinary differential equations using a group approach.
Group stratification and Lax representation for them . . . . 224
4.3. The wave equation with an arbitrary variable velocity of
wave propagation. Group stratification and Lax representation.
Reduction of the inverse problem to the direct problem
for a resolving system. Definition of functionals in local
inverse problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
4.4. Determination of exact invariant-group solutions using the
group stratification method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Chapter.5. Conservation laws and other differential identities
for plane vector fields and for families of
plane curves. Their geometric meaning and relation
with the G group. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
5.1. Fields T (v) and S(τ ). Basic identity. Divergent identity
(conservation law) for the field of unit vectors τ(x, y)
on the plane. Generalization of the identity div T =
div T (v) = 0, where v = grad u(x, y), for an arbitrary
flat vector field v = v(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
5.2. Divergent formulas (conservation laws) in differential geometry
of plane curves (conservation laws for families of
plane curves) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
5.3. Cases of flat potential and solenoidal fields v(x, y). Identities
for vector fields T , S(τ ), S∗, Q, V = |v|2T and conservation
laws. Differential identities for the scalar function
u(x, y) relating its Laplacian, modulus, and the direction
angle of its gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Стр.477
478
Contents
5.4. The geometric meaning of the conservation law div S∗ = 0
⇔ divS(τ) = 0 ⇔ div T (v) = 0. Ways to derive it . . . . . . 295
Chapter 6. Differential geometry formulas obtained using
the § 5.3, 5.4 identities and their relation with
the G group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
6.1. Divergent representation of the Gaussian curvature of a
graphed surface in the three-dimensional Euclidean and
the pseudo-Euclidean space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
6.2. Formulas expressing the Gaussian curvature of a surface
and the total (integral) domain curvature on it in terms of
differential the Beltrami parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
6.3. Formulas containing geodesic curvature. . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Chapter 7. Differential conservation laws and other identities
for the equations of mathematical physics,
their geometric meaning. Relationship between the
Monge — Ampere equation and the equation for
the stream function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
7.1. Euler’s hydrodynamic equations and the Monge — Ampere
equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
7.2. A quasi-linear equation of an elliptic type . . . . . . . . . . . . . . . 318
7.3. The eikonal equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Part III. A 3D case
Chapter 8. The group G10 (a three-dimensional analogue
of the group G in the two-dimensional case) and
its properties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
8.1. The basic equivalence group allowed by the threedimensional
eikonal equation in the space (x, y, z, t,
u1 = u, u2 = n2). The group G10 and its basic operators . 334
8.2. Differential invariants and operators of invariant differentiation
of the group G10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
Стр.478
Contents
479
8.3. Expression of the scalar curvature R in terms of the differential
invariants of the group G10 (a three-dimensional
analog of formula (8.1)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
Chapter 9. On some formulas for the family of curves
and surfaces and on Yu.A. Aminov’s divergence
represenations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
9.1. Preliminary information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
9.2. Vector fields S(τ ), S∗ in the three-dimensional case. Fields
A1, A2, R∗. Formulas for div S(τ ), divS∗ . . . . . . . . . . . . . . 351
9.3. Invariant forms of vectors rotR∗, A1, A2 . . . . . . . . . . . . . . . 354
9.4. Relationship between the quantities div S(τ) = −2K, κ,
τ , ν, β. On conservation laws for the family of curves Lτ 355
9.5. Solenoidal representation of the vector P in terms of the
field R∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
9.6. Properties of the family {Sτ } of the surfaces Sτ . . . . . . . . . 357
9.7. On relationships between characteristics of mutually orthogonal
families of curves and surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
9.8. On conservation laws for a family of surfaces . . . . . . . . . . . . 367
9.9. 3D analogues of the form div {S(τ) − Φ} = 0 ⇔
div{T (v) − Φ} = 0 of the two-dimensional conservation
law div S(τ) = 0 ⇔ divS∗ = 0 ⇔ div T (v) = 0 . . . . . . . . . 372
9.10. Additional formulas for the fields S(τ ), T (v), V =
|v|2T (v) in the case of the potential field v(x, y, z) . . . . . . 374
Chapter 10. Applications of the results of Chapter 9 to
the equations of mathematical physics in the threedimensional
case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
10.1. Conservation laws for hydrodynamic Euler equations . . . . 377
10.2. Conservation laws and other formulas for families of rays
and fronts and for the eikonal equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
I. General conclusions for Chapters 1–4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
Стр.479
480
Contents
II. On differential identities found in § 2.2, 3.3, 5.1–5.3 and
their applications in Chapters 6 and 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
III. General conclusions on the three-dimensional case in
Chapters 8–10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
IV. Areas of research and their interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
Application 1. On the restrictions that must be satisfied
by the variable parameter n2(x) = 1/c2(x) in
the wave equation and the eikonal equation by
virtue of the defining equations of the Lie algebra
of the main group allowed by these equations in the
spaces (x, y, t, u = u1), (x, y, z, t, u = u1), (x, y, u = u1) . 393
1.1. On the group of point transformations allowed by the wave
equation in the spaces (x, y, z, t, u) and (x, y, t, u) . . . . . . . . 393
1.2. On the group of point transformations allowed by the
eikonal equation in the spaces (x, y, τ) and (x, y, t, τ) . . . . 397
Application 2. The main group of point transformations
allowed by the wave equation in the spaces
(x, y, t, u1 = u, u2 = 1/c2) and (x, y, z, t, u1 = u,
u2 = 1/c2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
2.1. The case of the space (x, y, t, u1 = u, u2 = 1/c2) . . . . . . . . . 401
2.2. The case of the space (x, y, z, t, u1 = u, u2 = 1/c2) . . . . . . . 412
Application 3. The main group allowed by the eikonal
equation in the spaces (x, y, u1 = τ, u2 = n2) and
(x, y, t, u1 = τ, u2 = n2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
3.1. The case when t is fixed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
3.2. The case when t is transformed together with x, y, u1 =
τ, u2 = n2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
Application 4. Calculation of the commutator for any
two operators X and ˜X in the form (2.1.1) of the
group G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
Application 5. Basic operators of the group G10 in an
expanded form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
Стр.480
Contents
481
Application 6. The first continuation of the basic operators
of the group G10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
Application 7. The second continuation of the basic operators
of the group G10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
Стр.481