УДК 519.8
ББК 22.18
Б88
Р е ц е н з е н т ы :
доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный
сотрудник НИИ робототехники и процессов управления
Южного федерального университета А. Н. Каркищенко;
доктор технических наук, профессор Отделения интеллектуальных
кибернетических систем Обнинского института атомной энергетики
НИЯУ МИФИ Б. И. Яцало
Броневич, Андрей Георгиевич.
Б88
Нечеткие модели анализа данных и принятия решений : учебное пособие /
А. Г. Броневич, А. Е. Лепский ; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики».
— Эл. изд. — 1 файл pdf : 266 с. — Москва : Изд. дом Высшей школы экономики,
2022. — Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions
4.5 ; экран 10". — Текст : электронный.
ISBN 978-5-7598-2407-7
В учебном пособии рассмотрены такие основные разделы теории нечетких множеств,
как нечеткие отношения, нечеткие числа, нечеткий логический вывод, а также прикладные
разделы, связанные с применением нечеткой математики в анализе данных (нечеткая регрессия,
нечеткая кластеризация, нечеткая классификация) и принятии решений (нечеткая
оптимизация, многокритериальные методы принятия решений с нечеткими данными, ранжирование
нечетких данных, нечеткое моделирование). Каждая глава заканчивается разделом
задач для самостоятельного решения. Поэтому данное пособие можно использовать не только
как учебник, но и как задачник на семинарских занятиях или для самостоятельной
подготовки. Учебное пособие адресовано студентам, обучающимся по образовательным
программам, связанным с анализом данных и принятием решений («Прикладная математика
и информатика», «Экономика», «Экономика и статистика», «Бизнес-информатика» и др.).
Книга также будет полезна аспирантам и преподавателям образовательных программ,
как непосредственно связанных с анализом данных, так и использующих анализ данных и
принятие решений в своих исследованиях, — бизнес-информатикам, экономистам, финансовым
аналитикам, политологам и т.д.
УДК 519.8
ББК 22.18
Электронное издание на основе печатного издания: Нечеткие модели анализа данных и принятия решений :
учебное пособие / А. Г. Броневич, А. Е. Лепский ; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики». —
Москва : Изд. дом Высшей школы экономики, 2022. — 264 с. — ISBN 978-5-7598-2317-9. — Текст : непосредственный.
В
соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами
защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты
компенсации.
ISBN 978-5-7598-2407-7
© Броневич А. Г., Лепский А. Е., 2022
Стр.3
Оглавление
Предисловие �������������������������������������������������������������������������������������������������������������8
Глава 1. Нечеткие множества и операции над ними ����������������������������������������������15
1�1� Понятие нечеткого множества �������������������������������������������������������������15
1�2� Алгебраические операции над нечеткими множествами
и их свойства �����������������������������������������������������������������������������������������20
1�3� Методы построения функций принадлежности нечетких
множеств ������������������������������������������������������������������������������������������������22
1�4� Задачи ����������������������������������������������������������������������������������������������������33
Глава 2. Метрики на нечетких множествах и степень нечеткости ������������������������37
2�1� Метрики на нечетких множествах �������������������������������������������������������37
2�2� Степень размытия нечеткого множества ���������������������������������������������39
2�3� Применения степени размытия �����������������������������������������������������������45
2.3.1. Применение степени размытия в задачах обработки
изображений ��������������������������������������������������������������������������������������45
2.3.2. Применение степени размытия для анализа согласованности
позиций экспертов в задачах принятия решений ������������������������������50
2�4� Задачи ����������������������������������������������������������������������������������������������������53
Глава 3. Обобщение операций над нечеткими множествами ���������������������������������56
3�1� Понятия треугольной нормы и конормы ��������������������������������������������56
3�2� Треугольные нормы и копулы ��������������������������������������������������������������60
3�3� Нечеткое отрицание ������������������������������������������������������������������������������61
3�4� Функциональное описание треугольных норм и инвертора ��������������61
3�5� Задачи ����������������������������������������������������������������������������������������������������63
3
Стр.4
Оглавление
Глава 4. Нечеткие отношения ��������������������������������������������������������������������������������65
4�1� Понятие нечетких отношений и операции над ними �������������������������65
4�2� Бинарное нечеткое отношение на декартовом квадрате ��������������������69
4�3� Специальные виды бинарных нечетких отношений ��������������������������73
4.3.1. Нечеткие отношения порядка�����������������������������������������������������������73
4.3.2. Нечеткие отношения подобия и различия �����������������������������������������75
4.3.3. Нечеткое отношение сходства ���������������������������������������������������������76
4�4� Кейс: анализ нечеткого отношения согласованности
рекомендаций финансовых аналитиков ����������������������������������������������78
4�5� Задачи ����������������������������������������������������������������������������������������������������80
Глава 5. Принцип обобщения и нечеткие числа �����������������������������������������������������83
5�1� Функция принадлежности сложных нечетких множеств �������������������83
5�2� Понятие нечетких чисел и операции над ними ����������������������������������87
5�3� Нечеткие функции, уравнения, системы ���������������������������������������������97
5�4� Задачи �������������������������������������������������������������������������������������������������� 104
Глава 6. Числовые характеристики и расстояние между нечеткими числами ����� 107
6�1� Числовые характеристики нечетких чисел ���������������������������������������� 107
6�2� Метрики на множестве нечетких чисел ��������������������������������������������� 110
6.2.1. Метрики на основе расстояний между a-срезами нечетких
чисел ������������������������������������������������������������������������������������������������110
6.2.2. Метрики на основе расстояний между функциями,
описывающими нечеткие числа �������������������������������������������������������112
6.2.3. Расстояния на основе числовых характеристик нечетких
чисел ������������������������������������������������������������������������������������������������113
6.2.4. Нечеткое расстояние между нечеткими числами ��������������������������114
6.2.5. Расстояние между дискретными нечеткими числами
на основе решения транспортной задачи ����������������������������������������116
6�3� Задачи �������������������������������������������������������������������������������������������������� 119
4
Стр.5
Оглавление
Глава 7. Сравнение нечетких чисел ���������������������������������������������������������������������� 121
7�1� Сравнение случайных величин ���������������������������������������������������������� 121
7�2� Сравнение нечетких чисел с помощью индекса ранжирования ������ 124
7�3� Ранжирование нечетких чисел, основанное на сравнении
с эталоном ������������������������������������������������������������������������������������������� 127
7�4� Ранжирование нечетких чисел, основанное на вычислении
индекса парного сравнения ���������������������������������������������������������������� 129
7�5� Некоторые кейсы применения нечетких чисел �������������������������������� 133
7.5.1. Применения нечетких чисел в сетевом анализе ������������������������������133
7.5.2. Применения нечетких моделей к прогнозированию
волатильности ��������������������������������������������������������������������������������140
7�6� Задачи �������������������������������������������������������������������������������������������������� 143
Глава 8. Некоторые обобщения понятия нечеткого множества ��������������������������� 145
8�1� Интервальнозначные нечеткие множества и нечеткие
множества 2-го типа ���������������������������������������������������������������������������� 145
8�2� Интуиционистские нечеткие множества ������������������������������������������� 147
8�3� Нечеткие случайные величины ���������������������������������������������������������� 151
8�4� Эпистемологическая и онтологическая точки зрения
на понятие нечеткого множества ������������������������������������������������������� 153
8�5� Задачи �������������������������������������������������������������������������������������������������� 154
Глава 9. Нечеткая оптимизация ��������������������������������������������������������������������������� 157
9�1� Неразмытые и нечеткие задачи оптимизации ����������������������������������� 157
9�2� Нечеткое линейное программирование ��������������������������������������������� 162
9�3� Задачи �������������������������������������������������������������������������������������������������� 165
Глава 10. Нечеткая регрессия ������������������������������������������������������������������������������ 167
10�1� Задача регрессии� Метод наименьших квадратов ����������������������������� 167
5
Стр.6
Оглавление
10�2� Линейная регрессия с нечеткими параметрами�
Возможностная модель ����������������������������������������������������������������������� 170
10�3� Линейная регрессия с нечеткими данными�
Метрическая модель ��������������������������������������������������������������������������� 175
10�4� Задачи �������������������������������������������������������������������������������������������������� 179
Глава 11. Многокритериальное принятие решений при нечетких данных ����������� 181
11�1� Общая постановка задачи многокритериального принятия
решений при нечетких данных ���������������������������������������������������������� 181
11�2� Модель взвешенной суммы ���������������������������������������������������������������� 183
11�3� Модель взвешенного произведения ��������������������������������������������������� 188
11�4� Метод TOPSIS ������������������������������������������������������������������������������������� 189
11�5� Задачи �������������������������������������������������������������������������������������������������� 194
Глава 12. Нечеткая классификация и кластеризация ������������������������������������������ 196
12�1� Нечеткая классификация ������������������������������������������������������������������� 196
12.1.1. Постановка задачи классификации ������������������������������������������������196
12.1.2. Нечеткая классификация: нечеткие классы и четкие образы ��������197
12.1.3. Нечеткая классификация: нечеткие классы и нечеткие образы ����203
12�2� Нечеткая кластеризация ��������������������������������������������������������������������� 207
12.2.1. Неразмытая кластеризация. Алгоритм k-средних �������������������������207
12.2.2. Нечеткая кластеризация. Нечеткий алгоритм c-средних��������������208
12.2.3. Нечеткий алгоритм Густафсона — Кесселя �����������������������������������211
12.2.4. Возможностный нечеткий алгоритм c-средних �����������������������������213
12�3� Задачи �������������������������������������������������������������������������������������������������� 215
Глава 13. Элементы нечеткого логического вывода ��������������������������������������������� 217
13�1� Логические неразмытые и нечеткие высказывания �������������������������� 217
13�2� Нечеткая импликация ������������������������������������������������������������������������� 218
6
Стр.7
Оглавление
13.2.1. Определение нечеткой импликации через нечеткие замещения
логических связок �����������������������������������������������������������������������������218
13.2.2. Аксиоматическое определение нечеткой импликации ���������������������221
13�3� Нечеткие и лингвистические переменные ���������������������������������������� 221
13�4� Нечеткие высказывания ��������������������������������������������������������������������� 224
13�5� Нечеткие правила дедуктивного вывода �������������������������������������������� 225
13�6� Нечеткое моделирование �������������������������������������������������������������������� 234
13�7� Применения нечетких правил вывода к прогнозированию
волатильности ������������������������������������������������������������������������������������� 242
13�8� Задачи �������������������������������������������������������������������������������������������������� 245
Список обозначений ��������������������������������������������������������������������������������������������� 248
Литература ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� 251
Предметный указатель ����������������������������������������������������������������������������������������� 259
Стр.8