Основы высшей математики. Для технических специальностей ИРТСУ ЮФУ по направлениям самолето-вертолетострое, техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей. В 2 ч. Ч. 1 (192,00 руб.)

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

Стр.7

УДК 517/519(075.8) ББК 22.11я73 Ч-46 Печатается по решению кафедры высшей математики Института компьютерных технологий и информационной безопасности Южного федерального университета (протокол № 8 от 21 апреля 2021 г.) Рецензенты: профессор кафедры теоретической, общей физики и технологии ТИ им. А. П. Чехова (филиал) РГЭУ РИНХ, доктор физико-математических наук А. И. Жорник доцент кафедры высшей математики ИКТИБ ИТА ЮФУ, кандидат технических наук Н. Е. Сапунцов Черепанцев, А. С. Ч-46 Основы высшей математики. Для технических специальностей ИРТСУ ЮФУ по направлениям самолето-вертолетостроение, техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей : учебное пособие : в 2 ч. / А. С. Черепанцев, В. В. Семенистый ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2021. ISBN 978-5-9275-3897-3 Часть 1. – 138 с. ISBN 978-5-9275-3898-0 (Ч.1) Учебное пособие "Основы высшей математики. Часть 1" представляет собой систематизированное изложения основных понятий алгебры и геометрии, изучаемых в курсе "высшая математика" в соответствии с учебным планом образовательных направлений "самолето-вертолетостроение, техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей" в ИРТСУ ЮФУ. Пособие направлено на воспитание у слушателей понимания языка математики при формулировке математических понятий и доказательств основных утверждений. УДК 517/519(075.8) ББК 22.11я73 ISBN 978-5-9275-3898-0 (Ч.1) ISBN 978-5-9275-3897-3 © Южный федеральный университет, 2021 © Черепанцев А. С., Семенистый В. В., 2021 © Оформление. Макет. Издательство Южного федерального университета, 2021

Стр.3

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................... 7 ЛЕКЦИЯ 1 .......................................................................................... 11 1.1. Введение. Понятие комплексного числа ............................................ 11 1.2. Алгебраическая форма комплексного числа ..................................... 13 1.3. Свойства операций сложения и умножения комплексных чисел ..... 14 1.4. Вычитание и деление комплексных чисел ......................................... 15 1.5. Геометрическая интерпретация комплексных чисел ........................ 15 ЛЕКЦИЯ 2 .......................................................................................... 17 2.1. Неравенства треугольника .................................................................. 17 2.2. Тригонометрическая форма комплексного числа ............................. 17 2.3. Показательная форма комплексного числа ........................................ 20 2.4. Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа ..... 21 ЛЕКЦИЯ 3 .......................................................................................... 23 3.1. Понятие матрицы................................................................................. 23 3.2. Действия над матрицами ..................................................................... 25 3.3. Определитель квадратной матрицы ................................................... 28 ЛЕКЦИЯ 4 .......................................................................................... 30 4.1. Свойства определителя матрицы второго и третьего порядка ......... 30 4.2. Понятие определителя матрицы n порядка. Свойства опеделителя матрицы n порядка ......................................................... 32 4.3. Обратная матрица ................................................................................ 34 ЛЕКЦИЯ 5 .......................................................................................... 38 5.1. Ранг матрицы ....................................................................................... 38 5.2. Система линейных алгебраических уравнений ................................. 39 5.3. Решение системы линейных алгебраических уравнений с помощью определителя матрицы .................................................... 42 ЛЕКЦИЯ 6 .......................................................................................... 45 6.1. Метод последовательныхисключений неизвестных (метод Гаусса) ...................................................................................... 45 6.2. Исследование системы линейных алгебраических уравнений ......... 48 ЛЕКЦИЯ 7 .......................................................................................... 51 7.1. Понятие вектора в пространстве ........................................................ 51 3

Стр.4

Содержание 7.2. Операции над векторами в координатном представлении ................ 52 7.3. Скалярное произведение векторов ...................................................... 54 7.4. Правые и левые системы координат ................................................... 56 ЛЕКЦИЯ 8 .......................................................................................... 57 8.1. Векторное произведение двух векторов ............................................. 57 8.2. Смешанное произведение трех векторов ............................................ 59 8.3. Линейная независимость векторов ..................................................... 61 ЛЕКЦИЯ 9 .......................................................................................... 64 9.1. Уравнение поверхности ....................................................................... 64 9.2. Плоскость в пространстве ................................................................... 65 9.2.1. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору ............................................................. 65 9.2.2. Нормальное уравнение плоскости................................................ 66 9.2.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки................... 67 9.3. Взаимное расположение двух плоскостей .......................................... 68 9.4. Угол между двумя плоскостями ......................................................... 69 9.5. Прямая в пространстве. Векторно-параметрическое уравнение прямой .................................................................................................. 69 9.5.1. Параметрические уравнения прямой ........................................... 69 9.5.2. Канонические уравнения прямой ................................................. 70 9.5.3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки ....... 70 9.6. Угол между двумя прямыми ............................................................... 70 9.7. Взаимное расположение прямых в пространстве .............................. 71 ЛЕКЦИЯ 10 ........................................................................................ 72 10.1. Пересечение двух плоскостей. Общее уравнение прямой ............... 72 10.2. Взаимное расположение прямой и плоскости .................................. 73 10.3. Угол между прямой и плоскостью .................................................... 74 10.4. Расстояние от точки до плоскости .................................................... 75 10.5. Кривые второго порядка. Общее уравнение .................................... 76 10.6. Окружность ........................................................................................ 76 10.7. Эллипс ................................................................................................ 77 ЛЕКЦИЯ 11 ........................................................................................ 79 11.1. Анализ формы эллипса на основе его уравнения ............................. 79 11.2. Гипербола ........................................................................................... 80 11.3. Анализ формы гиперболы на основе ее уравнения .......................... 81 4

Стр.5

Содержание 11.4. Асимптоты гиперболы ...................................................................... 82 11.5. Парабола ............................................................................................ 83 11.6. Исследование формы параболы по ее уравнению ........................... 84 11.7. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду ....................................................................... 85 11.7.1. Случай B=0 ................................................................................. 85 11.7.2. Случай В0 .................................................................................. 86 ЛЕКЦИЯ 12 ........................................................................................ 87 12.1. Поверхности второго порядка .......................................................... 87 12.2. Поверхности вращения ..................................................................... 88 12.2.1. Эллипсоид ................................................................................... 88 12.2.2. Однополостный гиперболоид .................................................... 89 12.2.3. Двуполостный гипеболоид ........................................................ 89 12.2.4. Конус второго порядка ............................................................... 90 12.2.5. Эллиптический параболоид ....................................................... 91 12.3. Гиперболический параболоид ....................................................... 91 12.4. Цилиндрическая поверхность ........................................................... 92 ЛЕКЦИЯ 13 ........................................................................................ 93 13.1. Понятие линейного пространства ..................................................... 93 13.2. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства ...................................................................................... 94 13.3. Размерность и базис линейного пространства ................................. 96 13.4. Координаты вектора линейного пространства ................................ 96 13.5. Ранг системы векторов линейного пространства ............................ 97 13.6. Переход к новому базису .................................................................. 98 ЛЕКЦИЯ 14 ...................................................................................... 100 14.1. Связь между координатами вектора в различных базисах ........... 100 14.2. Евклидово пространство ................................................................. 101 14.3. Норма вектора (элемента) евклидова пространства ...................... 102 14.4. Угол между двумя векторами евклидова пространства ................ 103 14.5. Ортонормированный базис ............................................................. 104 14.6. Выражение скалярного произведения через координаты векторов в ортонормированном базисе .......................................... 105 ЛЕКЦИЯ 15 ...................................................................................... 107 15.1. Линейное преобразование и его матрица ....................................... 107 5

Стр.6

Содержание 15.2. Линейное преобразование в координатах ...................................... 109 15.3. Зависимость между матрицами одного и того же преобразования в различных базисах ............................................ 110 15.4. Характеристическое уравнение линейного преобразования ......... 112 ЛЕКЦИЯ 16 ...................................................................................... 114 16.1. Собственные векторы линейного преобразования ........................ 114 16.2. Собственные значения и собственные вектора симметрической матрицы ................................................................ 116 16.3. Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду ...................................................................... 117 16.4. Действия над линейными преобразованиями ................................ 118 ЛЕКЦИЯ 17 ...................................................................................... 120 17.1. Понятие множества .......................................................................... 120 17.2. Операции над множествами ............................................................ 121 17.3. Множество вещественных чисел .................................................... 122 17.4. Числовая последовательность. Ограниченные и неограниченные числовые последовательности ............................ 124 17.5. Монотонные числовые последовательности .................................. 125 17.6. Второй замечательный предел. Число е ......................................... 126 ЛЕКЦИЯ 18 ...................................................................................... 128 18.1. Примеры последовательностей ....................................................... 128 18.2. Понятие функции ............................................................................. 129 18.3. График функции ............................................................................... 131 18.4. Предел функции ............................................................................... 132 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................................................ 134 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ................................................................. 137 6

Стр.7