УДК 519.6
ББК 22.193
Г15
Рецензенты: член-кор. РАН М.А. Гузев;
проф. А.В. Гулин
Галанин, М. П.
Г15 Методы численного анализа математических моделей / М. П. Галанин,
Е. Б. Савенков. – 2-е изд., испр. – Москва : Издательство МГТУ им.
Н. Э. Баумана, 2018. – 591 [1] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-4796-1
Книга отражает актуальный уровень развития численных методов и алгоритмов,
ориентированных на применение современной вычислительной техники и
позволяющих проводить количественный анализ математических моделей широкого
класса реальных природных, социальных и технических объектов.
Изложены методы решения задач линейной алгебры, систем нелинейных
алгебраических уравнений, интерполяция функций, методы численного интегрирования
и дифференцирования, численные методы решения задачи Коши и
краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведены
основы общей теории разностных схем и ее применение к построению
и анализу методов численного решения эллиптических, параболических и гиперболических
уравнений, а также численные методы решения интегральных
уравнений. Представлены методы генерации сеток для многомерных задач математической
физики, многосеточные методы решения, численные методы для
решения уравнения переноса и уравнений газовой динамики, алгоритмические
основы метода конечных элементов.
Для студентов старших курсов технических университетов, аспирантов и
инженеров. Может быть полезна преподавателям и научным работникам.
УДК 519.6
ББК 22.193
-c Галанин М. П., Савенков Е. Б., 2010
-c Галанин М. П., Савенков Е. Б., 2018,
с изменениями
ISBN 978-5-7038-4796-1
-c Оформление. Издательство
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018
Стр.3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданиюЮЮЮ. . . . . . . . . . . . . . . .
Предисловие к первому изданиюЮЮЮ . . . . . . . . . . . . . . . .
Основные обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
5
7
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
В.1. Предмет и содержание книги . . . . . . . . . . . . . . . 11
В.2. История вычислений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
В.2.1. Исторические сведения . . . . . . . . . . . . . . . 15
В.2.2. Вычислительный эксперимент . . . . . . . . . . . 16
В.3. Ошибки при вычислениях . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
В.3.1. Хранение чисел на ЭВМ и ошибки округления . 19
В.3.2. Ошибки арифметических операций . . . . . . . . 22
В.3.3. Погрешность алгоритма . . . . . . . . . . . . . . 24
В.4. Библиографические комментарии . . . . . . . . . . . . . 27
ЧАСТЬ I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ
МЕТОДОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1. Задачи линейной алгебры. Решение систем линейных
алгебраических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.1. Элементы функционального анализа и линейной алгебры 31
1.1.1. Линейные пространства . . . . . . . . . . . . . . 31
1.1.2. Операторы в линейных нормированных пространствах
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.1.3. Операторы в гильбертовом пространстве . . . . 36
1.1.4. Операторы в конечномерном пространстве . . . . 38
1.1.5. Нормы векторов и матриц . . . . . . . . . . . . . 39
1.1.6. Другие нормированные пространства . . . . . . . 45
1.1.7. Критерий Адамара и лемма Гершгорина . . . . . 46
1.2. Прямые методы решения СЛАУ . . . . . . . . . . . . . 47
1.2.1. Схема метода Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.2.2. Расчетные формулы метода Гаусса . . . . . . . . 49
1.2.3. Число действий в методе Гаусса . . . . . . . . . . 49
1.2.4. Выбор главного элемента . . . . . . . . . . . . . . 50
1.3. Обусловленность СЛАУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.4. Метод прогонки решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.4.1. Метод правой прогонки . . . . . . . . . . . . . . . 55
Стр.584
584
ОГЛАВЛЕНИЕ
1.4.2. Методы левой и встречной прогонок . . . . . . . 59
1.4.3. Метод матричной прогонки . . . . . . . . . . . . 60
1.5. Метод квадратного корня . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.6. Итерационные методы решения СЛАУ . . . . . . . . . 64
1.6.1. Каноническая форма одношаговых итерационных
методов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.6.2. Примеры одношаговых итерационных методов . 65
1.6.3. Условия сходимости стационарных итерационных
методов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.7. Итерационные методы решения СЛАУ вариационного
типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.7.1. Расчетные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.7.2. Оценка скорости сходимости . . . . . . . . . . . . 73
1.7.3. Частные случаи методов . . . . . . . . . . . . . . 75
1.8. Методы сопряженных направлений . . . . . . . . . . . . 77
1.9. Итерационное уточнение решения . . . . . . . . . . . . 79
1.10. Решение проблемы собственных значений . . . . . . . . 79
1.11. О регуляризации плохо обусловленных СЛАУ . . . . . 81
1.12. Хранение больших разреженных матриц . . . . . . . . 83
1.13. Библиографические комментарии . . . . . . . . . . . . . 84
2. Решение нелинейных уравнений . . . . . . . . . . . . . 86
2.1. Решение скалярных уравнений . . . . . . . . . . . . . . 86
2.1.1. Метод деления отрезка пополам (метод «вилки») 87
2.1.2. Итерационные методы решения типа простой итерации
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.1.3. Варианты метода простой итерации . . . . . . . 90
2.2. Решение систем нелинейных уравнений . . . . . . . . . 96
2.2.1. Сходимость стационарного метода . . . . . . . . 96
2.2.2. Примеры итерационных методов . . . . . . . . . 98
2.3. Библиографические комментарии . . . . . . . . . . . . . 101
3. Методы интерполирования функций . . . . . . . . . . . 102
3.1. Постановка задачи интерполяции. Простейшие варианты
интерполирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.1.1. Кусочно-линейная интерполяция . . . . . . . . . 103
3.1.2. Варианты интерполяции . . . . . . . . . . . . . . 106
3.2. Полиномиальная интерполяция . . . . . . . . . . . . . . 106
3.2.1. Интерполяционный полином в форме Лагранжа
108
3.2.2. Интерполяционный полином в форме Ньютона . 111
3.2.3. Интерполяционный полином Эрмита . . . . . . . 114
Стр.585
ОГЛАВЛЕНИЕ
585
3.3. Сходимость и устойчивость полиномиальной интерполяции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.3.1. Оптимизация узлов сетки . . . . . . . . . . . . . . 117
3.3.2. Устойчивость интерполяционного полинома относительно
погрешностей функции . . . . . . . . . 119
3.3.3. Устойчивость интерполяционного полинома относительно
априорной информации . . . . . . . . . 120
3.3.4. Наилучшие приближения в гильбертовом пространстве
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.3.5. Насыщаемость алгоритма интерполяции. Тригонометрическая
интерполяция . . . . . . . . . . . . 127
3.4. Сплайн-интерполяция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.5. Двумерная интерполяция . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.5.1. Прямоугольная сетка . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.5.2. Треугольная сетка . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.6. Библиографические комментарии . . . . . . . . . . . . . 137
4. Методы численного интегрирования и дифференцирования
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.1. Простейшие квадратурные формулы . . . . . . . . . . . 138
4.1.1. Формула прямоугольников . . . . . . . . . . . . . 139
4.1.2. Формула трапеций . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.1.3. Формула Симпсона . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.2. Квадратурные формулы интерполяционного типа . . . 142
4.3. Квадратурные формулы Гаусса . . . . . . . . . . . . . . 147
4.4. Интегрирование быстроосциллирующих функций . . . 151
4.5. Вычисление несобственных интегралов I и II рода . . . 152
4.6. Вычисление кратных интегралов . . . . . . . . . . . . . 155
4.7. Численное дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . 157
4.8. Библиографические комментарии . . . . . . . . . . . . . 164
5. Численное решение задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.1. Постановка задачи и простейшие методы . . . . . . . . 165
5.1.1. Симметричная схема . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.1.2. Метод Рунге — Кутты второго порядка . . . . . 169
5.2. Методы Рунге — Кутты . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.3. Многошаговые разностные методы . . . . . . . . . . . . 175
5.3.1. Погрешность аппроксимации многошаговых методов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.3.2. Устойчивость и сходимость разностных методов
5.3.3. Примеры методов Адамса . . . . . . . . . . . . . 179
177
Стр.586
586
ОГЛАВЛЕНИЕ
5.4. Понятие о методах решения жестких систем . . . . . . 180
5.4.1. Условно устойчивые и безусловно устойчивые разностные
методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.4.2. Понятие жесткой системы ОДУ . . . . . . . . . . 181
5.4.3. Решение жестких систем . . . . . . . . . . . . . . 182
5.5. Библиографические комментарии . . . . . . . . . . . . . 186
6. Решение краевых задач для систем обыкновенных
дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.1. Постановка задачи. Метод стрельбы . . . . . . . . . . . 188
6.2. Разностные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.2.1. Линейная краевая задача второго порядка . . . . 192
6.2.2. Нелинейные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.3. Методы Ритца и Галеркина . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.3.1. Метод Ритца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.3.2. Метод Галеркина . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.3.3. Выбор системы функций . . . . . . . . . . . . . . 198
6.4. Библиографические комментарии . . . . . . . . . . . . . 198
7. Элементы теории разностных схем . . . . . . . . . . . 200
7.1. Постановка задачи и основные понятия . . . . . . . . . 200
7.1.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.1.2. Сетка и сеточные функции . . . . . . . . . . . . . 202
7.2. Обозначения и некоторые разностные соотношения . . 210
7.3. Методы и приемы конструирования разностных схем . 214
7.3.1. Метод разностной аппроксимации . . . . . . . . . 214
7.3.2. Интегро-интерполяционный метод . . . . . . . . 215
7.3.3. Метод неопределенных коэффициентов . . . . . . 217
7.3.4. Другие методы получения алгебраических уравнений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.3.5. Аппроксимации в нерегулярных точках . . . . . 219
7.4. Основные качественно-количественные характеристики
разностных схем и их виды . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.4.1. Аппроксимация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.4.2. Устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.4.3. Сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
7.4.4. Качественно-количественные виды схем . . . . . 227
7.5. Разделение переменных в дискретном случае . . . . . . 229
7.6. Принцип максимума для разностных схем . . . . . . . 234
7.7. Устойчивость разностных схем . . . . . . . . . . . . . . 237
Стр.587
ОГЛАВЛЕНИЕ
587
7.7.1. Применение принципа максимума к исследованию
устойчивости по граничным условиям первого рода
и начальным данным . . . . . . . . . . . . . . 238
7.7.2. Признаки равномерной устойчивости . . . . . . . 238
7.7.3. Использование метода разделения переменных . 243
7.7.4. Необходимый «спектральный» признак устойчивости
схемы по начальным данным . . . . . . . . . 244
7.7.5. Метод энергетических неравенств . . . . . . . . . 245
7.8. Библиографические комментарии . . . . . . . . . . . . . 246
8. Численное решение параболических уравнений . . . 248
8.1. Линейное одномерное уравнение теплопроводности с постоянными
коэффициентами. Схема с весами . . . . . . 248
8.1.1. Аппроксимация схемы с весами . . . . . . . . . . 249
8.1.2. Устойчивость схемы с весами . . . . . . . . . . . 251
8.1.3. Сходимость и точность схемы с весами . . . . . 257
8.2. Некоторые другие задачи и схемы . . . . . . . . . . . . 257
8.2.1. Задача с переменными коэффициентами . . . . . 258
8.2.2. Схема «бегущего» счета для решения уравнения
теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
8.2.3. Трехслойные схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
8.3. Библиографические комментарии . . . . . . . . . . . . . 263
9. Численное решение гиперболических уравнений . . . 264
9.1. Линейное одномерное уравнение переноса . . . . . . . . 264
9.1.1. Явная схема с левой разностью (схема 1) . . . . . 266
9.1.2. Явная схема с правой разностью (схема 2) . . . . 268
9.1.3. Явная схема с центральной разностью (схема 3) 270
9.1.4. Неявная схема с левой разностью (схема 4) . . . 270
9.1.5. Неявная схема с правой разностью (схема 5) . . 271
9.1.6. Неявная схема с центральной разностью (схема 6) 272
9.1.7. Уравнение переноса с отрицательной или переменной
скоростью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
9.1.8. Интерполяционный метод построения некоторых
других схем для уравнения переноса . . . . . . . 275
9.2. Монотонность схем для уравнения переноса . . . . . . 278
9.3. Дифференциальное приближение . . . . . . . . . . . . . 280
9.4. Волновое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
9.5. Библиографические комментарии . . . . . . . . . . . . . 288
Стр.588
588
ОГЛАВЛЕНИЕ
10. Численное решение эллиптических уравнений . . . . 289
10.1. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона . . . 289
10.2. Разностная схема для уравнения Пуассона повышенного
порядка точности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
10.3. Собственные функции разностного оператора Лапласа и
их применение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
10.3.1. Разностная задача Штурма — Лиувилля в двумерном
случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
10.3.2. Численное нахождение решения разностной задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
10.4. Экономичные разностные схемы для решения уравнения
теплопроводности в многомерном случае . . . . . . . . 299
10.4.1. Продольно-поперечная схема . . . . . . . . . . . 300
10.4.2. Локально-одномерная схема . . . . . . . . . . . . 302
10.5. Проекционные методы решения эллиптических уравнений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
10.5.1. Метод Ритца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
10.5.2. Метод Галеркина . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
10.6. Оператор Лапласа в криволинейных координатах и его
разностная аппроксимация . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
10.6.1. Цилиндрические координаты . . . . . . . . . . . 312
10.6.2. Сферические координаты . . . . . . . . . . . . . 314
10.7. Библиографические комментарии . . . . . . . . . . . . . 315
11. Численное решение интегральных уравнений . . . . 317
11.1. Корректно поставленные задачи . . . . . . . . . . . . . 317
11.1.1. Разностный метод численного решения . . . . . 319
11.1.2. Метод последовательных приближений . . . . . 321
11.1.3. Замена ядра вырожденным . . . . . . . . . . . . 323
11.1.4. Метод Галеркина (метод моментов) . . . . . . . 325
11.2. Некорректные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
11.2.1. Предпосылки метода регуляризации . . . . . . . 327
11.2.2. Понятие регуляризирующего оператора и пример
регуляризации операторного уравнения первого
рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
11.2.3. Примеры некорректно поставленных задач . . . 334
11.3. Библиографические комментарии . . . . . . . . . . . . . 336
ЧАСТЬ II. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ И ПРАКТИКИ
ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ . . . . . . . . . . . . . . . . 337
339
12. Методы триангуляции пространственных областей
12.1. Методы триангуляции и оценка качества сетки . . . . 339
Стр.589
ОГЛАВЛЕНИЕ
589
12.1.1. Классификация методов . . . . . . . . . . . . . . 341
12.1.2. Оценка качества сетки . . . . . . . . . . . . . . . 344
12.1.3. Особенности построения сеток в сложных областях
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
12.2. Прямые методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
12.2.1. Методы на основе шаблонов . . . . . . . . . . . . 348
12.2.2. Методы отображения . . . . . . . . . . . . . . . . 357
12.3. Методы граничной коррекции . . . . . . . . . . . . . . . 361
12.3.1. Построение первичной сетки . . . . . . . . . . . 362
12.3.2. Коррекция первичной сетки . . . . . . . . . . . . 364
12.4. Методы на основе критерия Делоне . . . . . . . . . . . 367
12.4.1. Построение триангуляции Делоне на заданном наборе
точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
12.4.2. Триангуляции Делоне с ограничениями . . . . . 373
12.4.3. Особенности технической реализации алгоритмов
на основе критерия Делоне . . . . . . . . . . . . 377
12.5. Метод исчерпывания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
12.6. Оптимизация сеток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
12.6.1. Оптимизация расположения узлов, или сглаживание
сетки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
12.6.2. Оптимизация связей . . . . . . . . . . . . . . . . 383
12.6.3. Сгущение сетки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
13. Многосеточные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
13.1. Проблема решения больших сеточных задач . . . . . .
386
13.2. Основы многосеточных методов . . . . . . . . . . . . . . 387
13.3. Классические многосеточные методы . . . . . . . . . . 392
13.3.1. Пример одномерной задачи . . . . . . . . . . . . 393
13.3.2. Основные направления развития КММ . . . . . 402
13.4. Универсальная многосеточная технология . . . . . . . . 408
14. Численное решение уравнения переноса . . . . . . . . 415
14.1. Уравнение переноса: постановка задачи . . . . . . . . . 415
14.2. Линейное одномерное уравнение переноса . . . . . . . . 419
14.2.1. Постановка задачи для линейного одномерного
уравнения переноса. Тестовые задачи . . . . . . 419
14.2.2. Разностные схемы для линейного одномерного
уравнения переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
14.2.3. Метод нелинейной монотонизации разностных схем
для линейного одномерного уравнения переноса
430
14.2.4. Результаты расчетов для одномерного линейного
уравнения переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
Стр.590
590
ОГЛАВЛЕНИЕ
14.3. Одномерное квазилинейное уравнение . . . . . . . . . . 436
14.3.1. Постановка задачи для квазилинейного одномерного
уравнения переноса. Тестовые задачи . . . 436
14.3.2. Нелинейная монотонизация схемы К.И. Бабенко
для квазилинейного одномерного уравнения переноса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
14.3.3. Результаты расчетов для одномерного квазилинейного
уравнения переноса . . . . . . . . . . . . 440
14.3.4. Решение квазилинейного уравнения переноса с помощью
разрывного метода Галеркина . . . . . . 444
14.4. Двумерное линейное уравнение переноса . . . . . . . . 448
14.4.1. Постановка задачи для линейного двумерного
уравнения переноса. Тестовые задачи . . . . . . 448
14.4.2. Разностные схемы для численного решения линейного
двумерного уравнения . . . . . . . . . . . . 450
14.4.3. Результаты расчетов для линейного двумерного
уравнения переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
15. Численное решение уравнений газовой динамики . . 455
15.1. Уравнения газовой динамики . . . . . . . . . . . . . . . 455
15.2. Разностная схема Роу — Эйнфельдта — Ошера . . . . 459
15.2.1. Основные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . 461
15.2.2. Схема Лакса — Фридрихса . . . . . . . . . . . . 464
15.2.3. Схемы годуновского типа (линейный случай) . . 467
15.2.4. Схемы годуновского типа (нелинейный случай).
Схема Роу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
15.2.5. Энтропийное условие . . . . . . . . . . . . . . . . 473
15.2.6. Схемы повышенного порядка аппроксимации . . 477
15.2.7. Схема Роу для двумерной газовой динамики . . 485
15.2.8. Упрощенная схема Роу — Эйнфельдта — Ошера
и схема Лакса — Фридрихса — Ошера . . . . . 493
15.2.9. Схема Роу для решения уравнений трехмерной
газовой динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
15.2.10. Другие схемы газовой динамики . . . . . . . . 500
16. Теоретические и алгоритмические основы метода конечных
элементов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
16.1. Метод конечных элементов и его варианты . . . . . . . 501
16.2. Метод взвешенных невязок . . . . . . . . . . . . . . . . 502
16.3. Метод Бубнова — Галеркина . . . . . . . . . . . . . . . 505
16.3.1. Обобщенные решения и слабая постановка задачи 506
16.3.2. Аппроксимация методом Бубнова — Галеркина
512
Стр.591
ОГЛАВЛЕНИЕ
591
16.3.3. Сходимость метода Бубнова — Галеркина . . . 513
16.4. Вариационно-сеточные методы . . . . . . . . . . . . . . 514
16.4.1. Метод Ритца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
16.4.2. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . 517
16.5. Метод конечных элементов . . . . . . . . . . . . . . . . 518
16.5.1. Двумерное уравнение Пуассона . . . . . . . . . . 519
16.5.2. Линейная задача теории упругости . . . . . . . . 528
16.5.3. Численное интегрирование . . . . . . . . . . . . 539
16.5.4. Конечные элементы высокого порядка . . . . . . 540
16.6. О применении МКЭ к решению других задач . . . . . 546
16.7. Основы метода граничных элементов . . . . . . . . . . 548
16.7.1. Постановка задачи. Граничные интегральные
уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
16.7.2. Аппроксимации метода граничных элементов . 556
16.7.3. Алгоритмические аспекты . . . . . . . . . . . . . 560
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
Стр.592