Элементы дифференциальной геометрии и топологии. Поверхности в пространстве (800,00 руб.)

Стр.3

Стр.97

Стр.98

Стр.99

УДК 513.73(075.8) ББК 22.161.1 X83 по адресу: http://ebooks.bmstu.press/catalog/93/book1814.html Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Прикладная математика» Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru Рекомендовано Редакционно-издательским советом МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия д-р физ.-мат. наук, профессор В.Н. Четвериков; д-р техн. наук, профессор А.В. Самохин Рецензенты: Х83 Элементы дифференциальной геометрии и топологии. Поверхности в пространстве : курс лекций / Н. Г. Хорькова. — 2-е тельство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018. Хорькова, Н. Г. Москва : Изда ISBN 978-5-7038-4886-9 Изложена теория гладких поверхностей в трехмерном пространстве в объеме, предусмотренном учебным планом МГТУ им. Н.Э. Баумана по дисциплинам «Дифференциальная геометрия» и «Дифференциальная геометрия и основы тензорного исчисления» (модуль «Кривые и поверхности в пространстве»). Приведены задачи для самостоятельной работы. Для студентов второго и третьего курсов факультета «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н.Э. Баумана, обучающихся по специальностям «Прикладная математика» и «Техническая физика». УДК 513.73(075.8) ББК 22.161.1 – 97, [3] с.: ил. и дз . — ISBN 978-5-7038-4886-9 ○c МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017 ○c Оформление. Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017

Стр.3

Оглавление Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Основные обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1. Гладкие поверхности в пространстве . . . . . . . . 5 1.1. Параметризованные поверхности в пространстве 5 1.2. Примеры параметризованных поверхностей в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Регулярные и особые точки параметризованных поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4. Гладкие поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5. Криволинейные координаты и координатная сеть на гладкой поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7. Замена криволинейных координат на поверхности (репараметризация поверхности) . . . . . . . . . . 20 1.8. Преобразование координат касательного вектора при замене криволинейных координат на поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Касательное пространство . . . . . . . . . . . . . . 18 2. Первая квадратичная форма поверхности . . . . 23 2.1. Задача о вычислении длины кривой на поверхности 23 2.2. Определение первой квадратичной формы поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3. Примеры вычисления первой квадратичной формы поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4. Скалярное произведение в касательном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5. Преобразование матрицы первой квадратичной формы при замене криволинейных координат на поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.6. Угол между кривыми на поверхности . . . . . . . 31 2.7. Площадь поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.8. Внутренняя геометрия поверхности . . . . . . . . . 32 3. Вторая квадратичная форма поверхности . . . . 36 3.1. Определение второй квадратичной формы поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 96

Стр.97

3.2. Преобразование матрицы второй квадратичной формы при замене криволинейных координат на поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3. Примеры вычисления второй квадратичной формы поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4. Геометрический смысл второй квадратичной формы поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4. Соприкасающийся параболоид поверхности . . . 43 4.1. Классификация точек поверхности . . . . . . . . . 43 4.2. Специальная система координат . . . . . . . . . . . 45 4.3. Соприкасающийся параболоид поверхности . . . . 46 5. Кривизна кривой на поверхности . . . . . . . . . . 50 5.1. Основная формула для кривизны кривой на поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.2. Нормальная кривизна поверхности. Теорема Менье 51 6. Главные направления и главные кривизны поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.1. Главные направления и главные кривизны как экстремальные значения функции нормальной кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.2. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.3. Формула Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 7. Гауссова и средняя кривизны поверхности . . . . 59 7.1. Средняя и гауссова кривизны поверхности . . . . . 59 7.2. Формулы для вычисления гауссовой и средней кривизн поверхности через коэффициенты первой и второй квадратичных форм . . . . . . . . . . . . 60 7.3. Классификация точек поверхности по знаку гауссовой кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 7.4. Минимальные поверхности . . . . . . . . . . . . . . 62 8. Линии кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 8.1. Уравнение линий кривизны . . . . . . . . . . . . . 63 8.2. Главные координаты на поверхности . . . . . . . . 65 9. Асимптотические линии на поверхности . . . . . 68 10. Геодезические линии на поверхности . . . . . . . 71 97

Стр.98

10.1. Нормальная и геодезическая кривизны кривой на поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 10.2. Формулы для геодезической кривизны кривой 73 10.3. Геодезические . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 10.4. Примеры геодезических . . . . . . . . . . . . . . . 76 11. Основные уравнения теории поверхностей . . . 79 11.1. Деривационные формулы . . . . . . . . . . . . . . 79 11.2. Геодезические как объекты внутренней геометрии 83 11.3. Основные уравнения теории поверхностей. Уравнения Гаусса и Петерсона – Майнарди – Кодацци 84 11.4. Теорема Бонне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 12. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . 87 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Стр.99