УДК 517.518.45
ББК 22.16
А 70
Рецензенты:
докт. техн. наук "роф. Лисов А.А. (МАТИ, техн. университет);
канд.физ-мат.наук доц. Мягкова м.п. (МЭИ, техн. университет).
Шмелев П.А., Шмелева Г.А., Фураев А.Н.
А 70 Пособие по Высшей математике для Вузов физкультурного
профиля. Элементы математического анализа: Учебное пособие - М.:
МГАФК, 1999 -190 с.: ил.
ISBN 5-900871-26-6
Пособие соответствует программам курсов высшей математики для
вузов
указанного
профиля.
для
Оно
содержит
элементы
дифференциального и интегрального исчислений, начала теории
дифференциальных уравнений.
Предназначено
студентов младших курсов
вузов
физкультурного профиля.
Пособие подготовлено на кафедре биомеханики и компьютерной
технологии.
ISBN 5-900871-26-6
ББК 22.16
© П.А. Шмелев, Г.А. Шмелева, А.Н. Фураев
©МГАФК,1999
Стр.2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая книга представляет собой 2-10 часть учебноj'() пuсобия 110
началам аналитической геометрии, дифференциального и интегрального
исчисления, теории вероятностей н математической статистики для вузов
физкультурного профиля. Разумеется, в России имеется богатая литература по
всем указанным разделам. Однако, на сколько известно авторам, в России нет
учебника, достаточно элементарного, специально приспособленного для
студентов - спортсменов и тренеров. Предлагаемая книга имеет целью в какой-то
степени восполнить этот пробел. Перед авторами стояла нелегкая задача по
отбору материала и по методике его изложения. Насколько авторам справились с
этой задачей - судить специалистам и читателю.
Во вторую часть пособия вошли разделы: Функция, пределы функций,
элементы дифференциального и интегрального исчислений, начала теории
дифференциальных уравнений.
Каждый раздел подразделен на главы, а каждая глава - на параграфы.
Формулы, приведенные в книге, имеют сквозную нумерацию. Однако, часть
формул, на которые имеются ссылки только в данном параграфе и которые, как
правило, фиксируют промежуточные результаты в выкладках, обозначены
прописными буквами русского алфавита (в каждом параграфе эти обозначения
повторяются ).
В книге приняты следующие обозначения:
N - множество натуральных чисел;
Z - множество целых чисел;
R - множество действительных чисел.
Авторы выражают Iлубокую благодарность рецензентам РУКОIIИСИ проф.
Лисову А.А. (МАТИ) и доц. Мягковой м.п. (МЭИ) за замечания,
способствующие улучшению пособия.
Стр.3
СОДЕРЖАНИЕ
ГЛАВА 1.
функция
1. МНожестВо ......................................................................................................... 7
2. Операции 'над множествами ............................................................................. 9
3. Общее определение функции ......................................................................... 12
4. Действительная функция действительной переменной и
способы ее задания .......................................................................................... 14
S. Область определения фУНКЦИИ, заданной аналитическим способом ........ .l 5
6. Классификация ФУНКЦИЙ,задаваемых аналитическим способом ............. 17
7. График функции .............................................................................................. 18
8. Четные, нечетные и периодические фуНКции .............................................. 20
9. Осиовные элементарные фуНкции и их графики ......................................... 23
10. Понятие сложной функции. Элементарные фунКции ................................ 26
11. Графики функций С(х}+Ь, С(х + а), (х +а)+Ь .............................................. .29
12. Квадратичная функция ................................................................................. .31
13. Графики функций If(x>l, f(!xl), If(!xl~ ............................................................. 33
14. Графики функций АС(х), I(Ь),
Af(kx + а) ................................................. .35
15. Графики функций .jf(x) и ~C(x) ................................................................ .38
16. Построение графиков суммы и произведения двух функций .................. 42
ГЛАВА 2.
ПРЕДЕЛ функции В ТОЧКЕ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
функции
17. Понятие предела функции в точке ............................................................... 43
18. Свойства функций, имеющих предел .......................................................... 45
19. Замечательные пределы ............................................................................... .48
20. Бесконечно малые в точке функции ............................................................ 51
21. Бесконечно большие в точке функции и их связь
с бесконечно малыми .................................................................................... 52
22. Непрерывность функции в точКе ................................................................ .53
23. Непрерывность элементарных функций ........................... : ......................... 58
ГЛАВА 3.
ПРОИЗВОДНАЯ
24. Задача о проведении касательной к данной криВой ................................... 60
25. Задача о вычислении мгновенной скорости
ПРlIмолинейно движущейся точки ............................................................... 61
4
Стр.4
26. Понятие производной от функции в точКе ................................................. 63
27. Вычисление производных от основных элементарных функциИ ............. 64
28. Непрерывность фУНКЦИИ, имеющей проИзводную .................................... 68
29. Производная суммы, произведения и частного ....................... ~ .................. 70
30. Производная сложной функцИИ ................................................................... 73
31. Вычисление производных обратных фунКций ........................................... 75
32. Таблица производных сложных функций ................................................... 78
33. Дифференциал функции ............................................................................... 80
34. Применения днфференциала в приближенных вычислениях ................... 83
35. Производные высших порядКов ................................................................... 84
36. Механический смысл производной второго порядка ................................ 86
37. Численное дифференцирование ................................................................... 87
ИССЛЕДОВАНИЕ функций С ПОМОЩЬЮ
ПРОИЗВОДНОЙ
ГЛАВА 4.
38. Исследование функций на возрастание и убывание .................................. 90
39. Экстремумы функций ................................................................................... 93
40. Достаточные условия существования экстремума .................................... 95
41. Исследование функций на возрастание, убывание и
экстремум в областях их определения ........................................................ 97
42. Задачи на экстремум пра.ктического содержания ...................................... 99
43. Нахождение нанбольшего и наименьшего значений
непрерывной на отрезке функции .............................................................. 1 02
44. Второе правило исследования функции на эКстремум ................. : .......... l 04
45. Правило Лопиталя ....................................................................................... 106
46. Асимптоты графика функции ..................................................................... 1 09
47. Общая схема исследования функции ....................................................... .llЗ
ГЛАВА 5.
ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
48. Первообраэная данной функции ................................................................ 116
49. Понятие неопределенного интеграла ........................................................ 117
50. Таблица неопределенных иНтегралов ....................................................... 119
51. Свойства неопределенных интегралов ............................. , ........................ 121
52. Интегрирование функций с помощью подведения множителей
под знак дифференциала ............................................................................ 124
53. Интегрирование по частям ......................................................................... l26
54. Интегрирование методом подстановки ..................................................... 127
55. Задача о вычислении площади криволинейной
трапеции ....................................................................................................... 130
5
Стр.5
56. Определенный инТеграл ............................................................................. 132
57. Основные свойства определенного инТеграла ........................................ .134
58. Оценка определенного интеграла .............................................................. 137
59. Теорема о cpeдHeM ............................................................ ~ .......................... 138
60. Теорема о ПРОИЗВОДIfОЙ определенного интеграла по верхнему
пределу ......................................................................................................... 140
61. Формула Ньютона-Лейбница ..................................................................... 142
62. Определенное интегрирование по часТям ................................................. 144
63. Замена переменной в определенных интегралах ..................................... 147
64. Применения определенного интеграла ..................................................... 149
65. Приближенное вычисление определенных интегралов .......................... 152
ГЛАВА 6.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
66. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения ........... 156
67. Понятия о дифференциальном уравнении и его решениях ..................... 159
68. Задача Коши для дифференциальных уравнений
l-го и 2-го порядКов .................................................................................... 161
69. Непосредственно интегрируемые дифференциальные
уравнения l-го и 2-го порядков ................................................................. 162
70. Метод ломаных Эйлера приближенного решения дифференциального
уравнения первого порядка. ....................................................................... 164
71. Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переМенными
............................................................................................... 166
72. Дифференциальные уравнения видау'= ((ах + Ьу + с) .......................... .168
73. Однородные дифференциальные уравнения ............................................ 170
74. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка ................... 172
75. Дифференциальные уравнения высших порядков,
допускающие понижение порядКа ............................................................. 174
76. Линейные однородные дифференциальные уравнения
2-го порядка с постоянными коэффициентами ........................................ 175
77. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения ....................... 178
78. Простейшие случаи метода подбора для решения линейного
неоднородного дифференциального уравнения с постоянными
КоэффициенТами .................................................................. ~ ....................... 179
79. Исследование колебательного процесса ................................................... 184
6
Стр.6