А. В. Урбаханов, Л. А. Телешева
К Р А Т К ИЙ К У Р С
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Улан-Удэ • 2019
Стр.1
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
БУРЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ ДОРЖИ БАНЗАРОВА
А. В. Урбаханов, Л. А. Телешева
КРАТКИЙ КУРС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Рекомендовано УМС БГУ в качестве учебно-методического пособия
для обучающихся по направлениям подготовки
38.03.04 Государственное и муниципальное управление,
38.03.02 Менеджмент, 38.03.03 Управление персоналом,
38.03.01 Экономика
Улан-Удэ
Издательство Бурятского госуниверситета
2019
Стр.2
УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73
У 69
Утверждено к печати
редакционно-издательским советом
Бурятского государственного университета
Рецензенты
Н. Б. Цыренжапов, кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры прикладной математики и дифференциальных уравнений
Бурятского государственного университета
Е. Н. Булгатова, кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры высшей математики Восточно-Сибирского
государственного университета технологий и управления
Текст в авторской редакции
Урбаханов А. В.
У 69 Краткий курс математического анализа: учебно-методическое
пособие / А. В. Урбаханов, Л. А. Телешева. — Улан-Удэ:
Издательство Бурятского госуниверситета 2019. — 60 с.
ISBN 978-5-9793-1424-2
В учебно-методическом пособии изложены основные понятия,
положения и методы математического анализа для дополнительного и
самостоятельного изучения. Даются разнообразные примеры и задачи,
которые сопровождаются подробными решениями. Также включены
вопросы и примеры для самопроверки.
Пособие предназначено для обучающихся по направлениям подготовки
38.03.04 «Государственное и муниципальное управление», 38.03.02
«Менеджмент», 38.03.03 «Управление персоналом», 38.03.01 «Экономика».
УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73
© А. В. Урбаханов, Л. А. Телешева, 2019
ISBN 978-5-9793-1424-2
© Бурятский госуниверситет им. Д. Банзарова, 2019
Стр.3
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ........................................................................................................................................................ 4
I. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ .............................................................................................. 6
1. МНОЖЕСТВА. ОТОБРАЖЕНИЕ. ФУНКЦИЯ .................................................................................................... 6
2. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ..................................................................................................... 7
II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ................................................................................................... 12
1. ПРОИЗВОДНАЯ .................................................................................................................................................... 12
1.1. Понятие производной ................................................................................................................................ 12
1.2. Производная сложной функции ................................................................................................................ 12
1.3. Формулы дифференцирования .................................................................................................................. 13
1.4. Геометрический смысл производной ....................................................................................................... 15
1.5. Физический смысл производной ............................................................................................................... 16
1.6. Экономический смысл производной ........................................................................................................ 17
1.7. Вторая производная. Производные высших порядков............................................................................ 17
1.8. Физический смысл второй производной .................................................................................................. 18
2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ........................................................... 19
3. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ....................................................................................................................... 20
3.1. Условие возрастания и убывания функции. Экстремум функции ......................................................... 20
3.2. Наибольшее и наименьшее значения функции ........................................................................................ 22
3.3. Вогнутость. Точки перегиба ...................................................................................................................... 23
3.4. Асимптоты графика функции .................................................................................................................... 25
3.5. Общая схема исследования функций........................................................................................................ 25
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ............................................. 27
4.1. Понятие дифференциала функции ............................................................................................................ 27
4.2. Частные производные ................................................................................................................................ 28
4.3. Частный дифференциал и полный дифференциал .................................................................................. 29
III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ .............................................................................................................. 31
1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ...................................................................................................................... 31
1.1. Понятие неопределенного интеграла. Свойства ...................................................................................... 31
1.2. Основные формулы интегрирования ........................................................................................................ 32
1.3. Метод подстановки .................................................................................................................................... 34
2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ........................................................................................................................... 37
2.1. Понятие определенного интеграла. Свойства .......................................................................................... 37
2.2. Непосредственное вычисление определенного интеграла ..................................................................... 38
2.3. Вычисление определенного интеграла методом подстановки ............................................................... 39
3. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА .......................................................................................... 41
3.1. Площади плоских фигур ............................................................................................................................ 41
3.2. Объемы тел вращения ................................................................................................................................ 43
IV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ ...................................................................................... 46
1. ОБЫКНОВЕНННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ....................................................................... 46
1.1. Понятие о дифференциальном уравнении ............................................................................................... 46
2. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ................................................................................................... 54
2.1. Числовые ряды ............................................................................................................................................ 54
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТАМ ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ……..……56
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ....................................................................................................................................................... 58
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ................................................................................................................. 59
Стр.4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебное издание представляет собой электронное учебнометодическое
пособие для дисциплины «математика 2 (математический анализ)»
в рамках реализации образовательной программы высшего образования по
направлениям подготовки 38.03.04 «Государственное и муниципальное
управление», 38.03.02 «Менеджмент», 38.03.03 «Управление персоналом»,
38.03.01 «Экономика» очной/заочной форм обучения и подготовлено в
соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного
стандарта высшего образования.
Дисциплина «математический анализ» относится к обязательным
дисциплинам базовой части Блока 1.в структуре ОП. Изучение дисциплины
направлено на формирование общепрофессиональных и профессиональных
компетенций:
По направлению подготовки 38.03.04 «Государственное и муниципальное
управление»: ПК-12 – способность разрабатывать социально-экономические
проекты, ПК-7 – умением моделировать административные процессы и
процедуры в органах государственной власти, ПК-6 – владение навыками
количественного и качественного анализа при оценке состояния экономической,
социальной, политической среды, деятельности органов государственной власти.
По направлению подготовки 38.03.02 «Менеджмент»: ПК-10 – владение
навыками количественного и качественного анализа информации при принятии
управленческих решений. По направлению подготовки 38.03.03 «Управление
персоналом»: ОПК-6 – владение культурой мышления, способностью к
восприятию, обобщению и анализу информации. По направлению подготовки
38.03.01 «Экономика»: ОПК-3 – способность выбрать инструментальные средства
для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
- основные факты и понятия математического анализа;
Уметь:
- излагать основные факты математического анализа, разрабатывать
математические модели экономических процессов и явлений, а также применять
свои знания для решения разнообразных экономических задач и адаптировать
основные математические модели к конкретным задачам управления;
Владеть:
- математическими методами решения типовых организационноуправленческих
задач и навыками адаптации основных математических моделей
конкретным задачам управления.
4
Стр.5
Целью написания пособия является знакомство с основными понятиями,
положениями и методами математического анализа, получение навыков по
решению практических экономических задач. Знания, приобретенные при
изучении курса, должны помочь студентам в изучении и математическом
моделировании экономических явлений и адаптировать основные математические
модели к конкретным задачам управления.
В пособии кратко излагаются основные теоретические сведения
(необходимые определения, теоремы, свойства и формулы). Даются
разнообразные примеры и задачи, охватывающие данные темы, которые
сопровождаются подробными решениями. Также включены вопросы и примеры
для самопроверки.
5
Стр.6