Высшая алгебра (190,00 руб.)

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

УДК 519.1/.6 (075.8) ББК 22.143 я73 В 93 Печатается по решению редакционно-издательского совета Северо-Кавказского федерального университета В 93 Высшая алгебра: учебное пособие (курс лекций) / В. В. Бондарь, О. Д. Роженко, А. А. Смирнов, О. И. Скворцова. – Ставрополь: Изд-во СКФУ, 2018. – 154 с. Пособие подготовлено в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего образования. Предназначено для студентов бакалавриата, обучающихся по направлению подготовки 03.03.02 Физика УДК 519.1/.6 (075.8) ББК 22.143 я73 Авторы-составители: канд. физ.-мат. наук, доцент В. В. Бондарь, канд. пед. наук, доцент О. Д. Роженко, доктор техн. наук, проф. А. А. Смирнов, ст. преп. О. И. Скворцова Рецензенты: доктор физ.-мат. наук, доц., профессор Р. Г. Закинян, канд. физ.-мат. наук, доцент А. А. Вендина (Ставропольский государственный педагогический институт) © ФГАОУ ВО «Северо-Кавказский федеральный университет», 2018

Стр.2

СОДЕРЖАНИЕ Предисловие . ......................................................................................................6 1. Матрицы......................................................................................................8 1.1. Матрицы и их виды .........................................................................8 1.2. Операции над матрицами и их свойства .................................11 1.3. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц .......14 2. Определители ... .......................................................................................19 2.1. Перестановки. Построение определителя n-го порядка ......19 2.2. Определители малых порядков и их вычисление ..................22 2.3. Свойства определителей ..............................................................23 2.4. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу .................24 3. Системы n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными ....................................................................................29 3.1. Основные понятия и определения систем линейных уравнений ........................................................................................30 3.2. Обратная матрица. Условие обратимости матрицы ..............32 3.3. Способы вычисления обратной матрицы ...............................33 3.4. Системы с квадратной невырожденной матрицей. Правило Крамера и матричный метод решения ....................36 4. Системы m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными ….... ...........................................................................43 4.1. Метод Гаусса ....................................................................................43 4.2. Теорема Кронекера-Капелли и следствия из нее ....................50 4.3. Системы линейных однородных уравнений ...........................51 5. Алгебраические структуры.. ................................................................54 5.1. Алгебраические операции и их свойства. Понятие об алгебраических структурах ..................................54 5.2. Группоиды. Полугруппы и группы ............................................58

Стр.3

ВЫСШАЯ АЛГЕБРА 5.3. Кольца и поля ..................................................................................61 5.4. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа...........................66 5.5. Геометрическое изображение комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа .................69 6. Линейные пространства и подпространства ..................................79 6.1. Определение, примеры и свойства линейных пространств. ............................................................................................. 79 6.2. Линейная зависимость векторов. Свойства систем векторов. Базис и ранг системы векторов ...............................82 6.3. Базис и размерность линейного пространства. в Координаты вектора. Преобразование координат ектора при переходе к другому базису ...................................85 6.4. Изоморфизм линейных пространств .......................................90 6.5. Линейные подпространства, линейная оболочка системы векторов. Пространство решений системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений ............................................................................91 7. Евклидово пространство ....................................................................100 7.1. Скалярное произведение векторов. Определение и примеры евклидовых пространств .............100 7.2. Основные метрические понятия: норма вектора, угол и расстояние между векторами .......................................102 7.3. Ортогональные векторы. Ортогональные и ортонормированные базисы ..................................................106 7.4. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта ............................108 7.5. Изометрия евклидовых пространств......................................113 8. Линейные операторы (преобразования) ........................................117 8.1. Определение, примеры и свойства линейных операторов .....117 8.2. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к другому базису .................................................119 8.3. Ядро, образ, ранг и дефект линейного оператора ................124 8.4. Действия над линейными операторами .................................127 - 4 -

Стр.4

Содержание 9. Спектральная теория линейных операторов .................................133 9.1. Инвариантные подпространства линейных пространств .....133 9.2. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Собственное подпространство.......134 9.3. Нахождение собственных векторов и собственных м значений линейного оператора. Характеристический ногочлен .......................................................................................136 9.4. Линейный оператор простой структуры. Каноническое разложение матрицы линейного оператора ..........................141 Заключение .....................................................................................................151 Рекомендуемая литература и источники ................................................153 - 5 -

Стр.5