Курс лекций по алгебре. Билинейные и квадратичные формы (110,00 руб.)

Стр.1

Стр.3

Стр.6

Стр.7

Стр.8

Стр.9

Стр.10

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» А.В. Звягин КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АЛГЕБРЕ. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Учебно-методическое пособие Воронеж Издательский дом ВГУ 2018

Стр.1

Оглавление 1. Билинейные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Квадратичные формы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду 11 4. Квадратичные формы в вещественном пространстве. . . 24 5. Квадратичные формы в комплексном пространстве. . . 29 Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3

Стр.3

самое, при перемножении p-ой строки матрицы TT eeAeTee . Таким образом, eeC = TT Ae = TT eeAeTee . ee , на q-ый столбец (1.2) Определение 1.4. Билинейная форма A(x, y) называется вырожденной, если ранг билинейной формы A(x, y) меньше размерности пространства R, и невырожденной, если ранг билинейной формы A(x, y) равен размерности пространства R. Теорема 1.1. Билинейная форма A(x, y) вырождена тогда и только тогда, когда существует вектор x = θ такой, что A(x, y) = 0, для любого y ∈ R. Доказательство. Пусть e : e1, e2, . . . , en — базис R и Ae = (aij) — матрица билинейной формы A(x, y) в этом базисе. Соотношение A(x, y) = 0, для любого y ∈ R, равносильно системе равенств A(x, ej) = 0, j = 1, 2, . . . , n, или, если учесть разложение x = n i=1 xiei, системе равенств n i=1 xiA(ei, ej) = 0 (j = 1, 2, . . . , n), т.е. Значит, билинейная форма A(x, y) вырождена тогда и только тогда, когда однородная система линейных уравнений (1.3) имеет нетривиальное решение, то есть когда ранг матрицы Ae меньше n. a11x1 + a21x2 + · · · + an1xn = 0, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a1nx1 + a2nx2 + · · · + annxn = 0. Замечание 1.3. Так как матрица перехода Tee является невырожденной (т.е. имеет ранг n), то ранг матрицы Ae равен рангу матрицы A. Таким образом, ранг матрицы билинейной формы не зависит от выбора базиса, и поэтому может быть назван рангом самой билинейной формы. (а значит, и TT ee ) Замечание 1.4. Отметим, что при изменении базиса матрица билинейной формы меняется иначе, чем матрица линейного оператора (Ae = T−1 ee AeTee ). 6 (1.3) матрицы C, т.е. bpq является элементом, стоящим в p-ой строке и q-ом столбце матрицы TT

Стр.6

Определение 1.5. Билинейная форма A(x, y) называется симметрической, если A(x, y) = A(y, x), ∀x, y ∈ R, и кососимметрической, если A(x, y) = −A(y, x), ∀x, y ∈ R. Замечание 1.5. Матрица симметрической билинейной формы в любом базисе будет симметрической, а матрица кососимметрической билинейной формы будет кососимметрической. Действительно, если e : e1, e2, . . . , en — базис пространства R, то для симметрической билинейной формы A(x, y) имеем aij = A(ei, ej) = A(ej, ei) = aji. Следовательно, Ae = Ae. Для кососимметрической билинейной формы имеем Следовательно, Ae = −Ae. Замечание 1.6. Для кососимметрической билинейной формы A(x, y) aij = A(ei, ej) = −A(ej, ei) = −aji. справедливо равенство A(x, x) = 0, ∀x ∈ R. Отсюда, в частности, следует aii = A(ei, ei) = 0, т.е. диагональные элементы матрицы кососимметрической билинейной формы равны нулю. Замечание 1.7. Всякая билинейная форма A(x, y) может быть представлена в виде сумма симметрической и кососимметрической билинейных форм. Действительно, A(x, y) = B(x, y) + C(x, y), где B(x, y) = 1 12 (A(x, y) +A(y, x)) — симметрическая билинейная форма, а C(x, y) = 2 (A(x, y) −A(y, x)) — кососимметрическая билинейная форма. Теорема 1.2. Пусть R — линейное пространство над полем R и e : e1, e2, . . . , en — базис R. Для любых чисел aij ∈ R, i = 1, 2, . . . , n, существует, и притом единственная, билинейная форма A(x, y) в пространстве R, для которой A(ei, ej) = aij, i = 1, 2, . . . , n. Доказательство. Пусть e : e1, e2, . . . , en — базис пространства R и aij, i, j = 1, 2, . . . , n — заданные числа. Отображение A(x, y) = i,jn =1 7 aijxiyj,

Стр.7

где ∀x, y ∈ R и x = n i,j=1 aijxiei, y = n i=1 yiei, является билинейной определения билинейной формы имеем B(x, y) = i,jn =1 xiyjB(ei, ej) = i=1 xiei и y = n xiyjaij, i,jn =1 т.е. B(x, y) = A(x, y) для ∀(x, y ∈ R). Как следует из теоремы 1.2, билинейная форма однозначно опредеi,j=1 yiei в силу формой в пространстве R, причем A(ei, ej) = aij, i, j = 1, 2, . . . , n. Покажем, что любая билинейная форма B(x, y) в пространстве R, для которой B(ei, ej) = aij, i, j = 1, 2, . . . , n, совпадает с A(x, y). В самом деле, для любых векторов x = n ляется своим заданием на базисных векторах, при этом матрица билинейной формы представляет собой таблицу её значений на парах базисных векторов и однозначно определяет значения этой формы для любой пары векторов. Примеры: с • Скалярное произведение (x, y) в евклидовом пространстве являетя симметрической билинейной формой. ционалы,• В линейном пространстве R, если f(x), g(x) — линейные функто A(x, y) = f(x)g(y) является симметрической билинейной формой. шанное• Пусть a — постоянный вектор, а x и y — переменный вектор. Смепроизведение (a, x, y) является билинейной формой. 8

Стр.8

2. Квадратичные формы. Определение 2.1. Пусть A(x, y) — билинейная форма на R. Квадратичной формой называется отображение A: R → R, которое каждому вектору x ∈ R ставит в соответствие число A(x, x). Замечание 2.1. Различные билинейные формы могут порождать одну и ту же квадратичную форму. Например, билинейные формы A1(x, y) = ξ1η1 + 2ξ1η2 + 2ξ2η1 + ξ2η2, A2(x, y) = ξ1η1 + 3ξ1η2 + ξ2η1 + ξ2η2, A3(x, y) = ξ1η1 + 8ξ1η2 − 4ξ2η1 + ξ2η2, порождают квадратичную форму A(x, x) = ξ2 форма A1(x, y) - симметрическая). Таким образом, по квадратичной форме, вообще говоря, нельзя од1 +4ξ1ξ2 +ξ2 2 (билинейная нозначно восстановить породившую ее билинейную форму. Однако, среди всех билинейных форм, порождающих данную квадратичную форму A(x, x), симметрическая билинейная форма единственна. Действительно, пусть ˜A(x, y) = ˜A(y, x) и A(x, x) = ˜A(x, x) для любых x, y ∈ R. Тогда A˜(x + y, x + y) = ˜A(x, x) + 2 ˜A(x, y) + ˜A(y, y), откуда A˜(x, y) = 1 2 [ ˜A(x + y, x + y) − ˜A(x, x) − ˜A(y, y)] = = 1 2 [A(x + y, x + y) −A(x, x) −A(y, y)]. Определение 2.2. Матрицей квадратичной формы A(x, x) в базисе e называется матрица симметрической билинейной формы, порождающей данную квадратичную форму, в базисе e. ратичных форм: Из свойств билинейной формы вытекают следующие свойства квад9

Стр.9

1) Матрица квадратичной формы симметрична. 2) Матрица квадратичной формы в базисах e и e связаны соотношением Ae = TT где Tee eeAeTee , —матрица перехода от базиса e к базису e. 3) В базисе e квадратичная форма A(x, x) с матрицей Ae = (aij) может быть записана в следующем виде: для любого x = A(x, x) = i,jn =1 in =1 aijxixj, aij = aji, или, в компактной форме, A(x, x) = xT xiei (2.1) e Aexe. (2.2) Представление квадратичной формы в виде (2.1) или (2.2) называется общим видом квадратичной формы A(x, x) в базисе e. 4) Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы в произвольном базисе. Очевидно, ранг A(x, x) равен рангу A(x, y). Квадратичная форма A(x, x) называется вырожденной, если ранг A(x, x) меньше dimR, и, невырожденной, если ранг A(x, x) равен dimR. 10

Стр.10