МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
А.П. Трифонов, А.В. Захаров, В.К. Маршаков
ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАКОНОВ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Учебно-методическое пособие для вузов
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2017
Стр.1
1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
ского случайного процесса
процесса
1.1. Определение одномерных законов распределения.
Рассмотрим методы измерения одномерной функции распределения
и одномерной плотности вероятности
. Обозначим
Одномерная функция распределения
стационарного эргодиче-
вероятность события A.
стационарного случайного
определяется как функция (см. Приложение 2)
,
в момент времени
Одномерная плотность вероятности
ного процесса
определяется как функция (см. Приложение 2)
которая при фиксированном аргументе равна нормированной на
ятности того, что значение случайного процесса
находится в пределах интервала
0. Здесь интервал
интервала
номерная функция распределения
сти
времени
при
ференциальным коридором.
Замечание. В силу стационарности случайного процесса
не зависят от выбранного момента времени
может быть произвольным.
веров
момент времени
при условии, что ширина
называется дифего
оди
одномерная плотность вероятно,
а сам момент
1.2. Метод измерения одномерной функции распределения.
1.2.1. Алгоритм измерения. Согласно (1), функция распределения
стационарного случайного процесса
менте определяется как вероятность события
что значение случайного процесса
меньше уровня .
Учтем, что в общем случае вероятность
события численно равна отношению
при фиксированном аргу,
состоящего в том,
в фиксированный момент времени
события определяется
как относительная частота появления этого события в серии большого
числа
независимых испытаний. Иными словами, вероятность
количества испытаний ,
при которых произошло событие , к общему числу независимых испытаний
L при
. Введем в рассмотрение случайную величину , которая
события равна матемаслучайной
величины .
равна 1 при появлении события в результате испытания и равна 0 при отсутствии
этого события. Тогда вероятность
тическому ожиданию (среднему значению)
Воспользуемся этим свойством вероятности P для нахождения значе3
(1)
которая
при фиксированном аргументе равна вероятности того, что значение
случайного процесса
меньше уровня .
стационарного случай
Стр.3
вень или равна ему, то на выходе компаратора К имеется напряжение 0.
Выходной сигнал
для установленного уровня .
, а
компаратора К поступает на вход интегратора
И, который осуществляет операцию усреднения (5) в течение времени .
Результат усреднения с выхода интегратора И подается на прибор индикации
П, который отображает измеренное значение
ления
функции распредеВыбирая
значения уровня
случайного процесса
значения функции
,
ний уровня
из интервала возможных значений
с некоторым шагом , получаем
для выбранных уровней . Здесь
, для которых измеряется функция распределения
различных уровней
1.2.3. Расчет одномерной плотности вероятности.
Пусть измерены значения
,
выбраны с шагом из интервала возможных значений
чайного процесса
рассчитать соответствующие значения
случайного процесса
водной от функции распределения
также, что дифференцируемая функция
дана лишь в отдельных точках
для этих же уровней
Для этого учтем, что плотность вероятности
, т.е.
из интервала
для значений плотности вероятности
где
, а
с уменьшением шага
вующие значения
Таким образом, измерив значения
в точках
функции распределения
,
. Тогда на основе измеренных значений
– количество значе.
для
,
которые
слуможно
плотности
вероятности
.
является произ.
Учтем
в рассматриваемом случае зас
некоторым
шагом . Используем определение производной функции, как предел
отношения приращения функции к малому приращению ее аргумента. Тогда
при малом, но конечном шаге
, получаем приближенные оценки
:
, который должен быть достаточно мал.
. Точность оценки (6) возрастает
функции распределения
, можно затем по формуле (6) рассчитать соответстплотности
вероятности
в этих же точках.
1.3. Метод измерения одномерной плотности вероятности.
1.3.1. Алгоритм измерения. Согласно (2), значение одномерной
плотности вероятности
стационарного случайного процесса
фиксированном аргументе определяется как нормированная на
ятность события
6
при
веро,
состоящего в том, что случайный про
Стр.6
цесс
в фиксированный момент времени
интервала значений
Учтем, что вероятность
данию (среднему значению)
плотности вероятности
при малой ширине этого интервала
находится в пределах
.
события равна математическому ожислучайной
величины , которая в серии
последовательных испытаний принимает значение 1 при появлении события
или равна 0 при отсутствии события в процессе испытания.
Воспользуемся этим свойством вероятности
стационарного случайного процесса
для нахождения
. Для
этого (при фиксированном уровне ) перейдем от случайного процесса
к новому случайному процессу
(7)
Случайный процесс
формируется из случайного процесса
нове его сравнения с уровнями и
падает в интервал значений
равен 1 на тех интервалах времени , где исходный процесс
. При этом случайный процесс
равен 0 на тех интервалах времени , где исходный процесс
вне интервала значений
исходного случайного процесса
s(t)
x+ x
0
x
t
yx(t)
1
0
Вероятность
Поэтому плотность вероятности
лой, но конечной величине
события
случайного процесса
t
(по
указанному выше свойству вероятности) можно представить как математическое
ожидание
, где
(7) в момент времени
при маозначает
усреднение по реализациям случайного процесса.
(2) случайного процесса
, можно приближенно представить как:
7
случайного процесса
.
на ос.
Согласно (7), случайный процесс
понаходится
.
Очевидно, что результат такого преоб(7)
из реализации
Рис.3
разования зависит от величины уровня . На рис.3 показан пример формирования
реализации
Стр.7
.
(8)
Учтем, что анализируемый случайный процесс
чайный процесс
усреднения
и, следовательно, слу,
являются эргодическими. Поэтому усреднение по
по времени t на интервале времени длительнодля
значения
:
реализациям случайного процесса в (8) можно заменить на усреднение одной
из его реализации
стью
плотности вероятности
. Производя такую замену при большом, но конечном времени
, получаем приближенную оценку
случайного процесса
Выражение (9) определяет нормированное на
лизации
случайного процесса
среднее по времени от реана
интервале усреднения
, где и - начало и длительность интервала усреднения.
Точность формулы (9) возрастает c увеличением времени усреднения
. Поэтому время усреднения должно быть достаточно велико, по крайней
мере много больше времени корреляции случайного процесса
. При
этом выбор времени начала усреднения не имеет значения в силу стационарности
случайного процесса
.
дифференциального коридора
Точность формулы (9) также возрастает с уменьшением ширины
. Исходя из этого можно сделать
вывод, что для увеличения точности измерения плотности вероятности
ширину
дифференциального коридора
нужно выбирать
как можно меньшей. Однако на практике чрезмерное уменьшение величины
нецелесообразно. Это объясняется тем, что с уменьшением ширины
уменьшается время пребывания реализации случайного процесса
внутри коридора
. При фиксированном времени усреднения
чений функции
это приводит к увеличению разброса (дисперсии) измеренных значений
от опыта к опыту, что означает уменьшение точности оценок зна.
Для
сохранения высокой точности измерения плотности вероятности
при уменьшении ширины дифференциального коридора
увеличивать время усреднения
практике ширину
дифференциального коридора
часто выбирают как
следует
, что не всегда возможно. Поэтому на
следует выбирать
с учетом возможного времени усреднения и допустимой точности
оценки плотности вероятности
ального коридора
поцесса
– интервал возможных значений анализируемого случайного
, а константа обычно принимается равной 15 - 20.
Следствие. Из (9) следует, что вероятность
8
. На практике ширину дифференци,
где
по
Стр.8
падания эргодического стационарного случайного процесса
ренциальный коридор
му времени пребывания реализации процесса
Действительно (см. рис.3), реализация
лизация
ридор
случайного процесса
в интервале
в диффечисленно
равна среднему относительнов
этом коридоре.
случайного процесса
равна 1 лишь на тех интервалах времени , где соответствующая реаслучайного
процесса
в течение времени
. На остальных интервалах времени реализация
равна 0. Тогда при интегрировании реализации
получаем полное время ее пребывания
пребывания на время усреднения
пребывания реализации процесса на интервале
сти
.
за время усреднения . Деление полного времени
дает среднее относительное время
.
Отсюда также следует, что значение одномерной плотности вероятнослучайного
процесса
при фиксированном уровне численно
, деленному на ширину
равна среднему относительному времени пребывания реализации этого
процесса в дифференциальном коридоре
этого коридора при условии
вероятности
Таким образом, алгоритм измерения значений одномерной плотности
стационарного эргодического случайного процесса
задается формулой (9) с учетом преобразования (7).
1.3.2. Схема и принцип действия измерительного устройства.
Блок-схема устройства для измерения плотности вероятности
s(t)
С
К1
у
x
С
у x+ x
zx+x(t)
К2
Рис.4
Принцип работы этого устройства сводится к следующему. На сигнальные
входы С компараторов К1 и К2 подается реализация
го процесса
напряжения пороговых уровней и
паратор непрерывно производит сравнение реализации
случайно.
На управляющие входы У компараторов К1 и К2 подаются
соответственнно. Каждый комс
пороговым
уровнем, который имеется на его управляющем входе У. Если реализация
находится ниже порогового уровня, то на выходе компаратора имеется
9
zx(t)
yx(t)
И
(x)
,
соответствующая формулам (7), (9), показана на рис.4, где обозначено: К1 и
К2 – компараторы (амплитудные селекторы), «–» – вычитающее устройство,
И – интегратор, а П – прибор индикации.
П
попадает в дифференциальный ко
Стр.9
напряжение 1. Если же реализация
ция
уровня
случайного процесса
Реализации
Реализация
превышает этот уровень или равна
ему, то на выходе компаратора имеется напряжение 0.
В результате на выходе компаратора К1 формируется реализация
случайного процесса
отличается от случайного процесса
вместо уровня .
и
(3), а на выходе компаратора К2 – реализа.
При этом случайный процесс
(3) выбором порогового
с выходов компараторов К1 и К2 посту.
пают
на вычитающее устройство, которое формирует из них реализацию
случайного процесса
с выхода вычитающего устройства поступает на
вход интегратора И, который осуществляет операцию усреднения (9) в течение
времени . Результат усреднения с выхода интегратора И подается
на прибор индикации П, который отображает измеренное значение плотности
вероятности
для выбранного уровня .
Выбирая значения уровня
случайного процесса
оценки
уровней . Здесь
значений плотности вероятности
,
плотность вероятности
различных уровней
– количество значений уровня
.
из интервала возможных значений
с некоторым шагом , получаем
для выбранных
, а
, для которых измеряется
1.3.3. Расчет одномерной функции распределения.
Пусть измерены значения
,
выбраны с шагом из интервала возможных значений
чайного процесса
но построить соответствующие оценки
случайного процесса
лом от плотности вероятности
для этих же уровней
Для этого учтем, что функция распределения
, т.е.
Учтем, что подинтегральная функция
ках
из интервала
плотности вероятности
,
. Тогда на основе измеренных значений
для
, которые
слуможфункции
распределения
.
является интеграздесь
задана в отдельных точдля
значения функции распределения
с некоторым шагом . Тогда, заменяя
:
в (10) интеграл на сумму при малом, но конечном шаге , получаем приближенную
оценку
где
. Точность выражения (11) возрастает с уменьше10
Стр.10