Теория вероятностей и математическая статистика (200,00 руб.)

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

УДК 519.2 ББК 22.17 Я47 Рецензенты: Б. И. Олейников — кандидат технических наук, доцент Российского университета кооперации; Н. А. Веклич — кандидат физико-математических наук, доцент Российского государственного университета нефти и газа имени И. М. Губкина. Яковлев, Виталий Павлович. Я47 Теория вероятностей и математическая статистика : учебное пособие для бакалавров / В. П. Яковлев, Н. Е. Кошелева. — 5-е изд., пересм. — Москва : Издательскоторговая корпорация «Дашков и К°», 2022. — 182 с. ISBN 978-5-394-04978-1. Дается логически последовательное изложение традиционного курса теории вероятностей и математической статистики, основанное на исследованиях А. Н. Колмогорова по теории сложности нерегулярных последовательностей. Рассмотрены информационные и физические обоснования понятия независимости, проблемы регрессионного подхода, оптимизации технического эксперимента, а также актуальные проблемы аналого-цифрового преобразования, распознавания образов и выделения сигнала на фоне шума. Для студентов бакалавриата, обучающихся по направлениям подготовки, входящим в укрупненную группу «Экономика и управление», а также экономистов и инженеров, использующих математическое моделирование. УДК 519.2 ББК 22.17 ISBN 978-5-394-04978-1 © Яковлев В. П., 2007 © Яковлев В. П., Кошелева Н. Е., 2022, с изменениями

Стр.2

 Предисловие ............................................................................................................................7 Часть I ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ .................................................................9 § 1.1. Определение вероятности ...................................................................9 § 1.2. Свойства вероятности события ....................................................12 § 1.3. Свойства статистического ансамбля .......................................19 § 1.4. Эпсилон-зависимость ...........................................................................25 § 1.5. Формализация теории вероятностей .....................................29 § 1.6. Примеры решения задач теории вероятностей событий ..........................................................................36 § 1.7. Кодирование источника сообщений ........................................40 § 1.8. Информация .................................................................................................46 Глава 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ .........................................................49 § 2.1. Распределение вероятностей ........................................................49 § 2.2. Непрерывные случайные величины .......................................52 § 2.3. Классификация..........................................................................................55 § 2.4. Примеры законов распределения .............................................58 § 2.5. Критерий трех сигм и доверительный интервал .........61 § 2.6. Совместное распределение вероятностей .........................63 § 2.7. Взаимная информация случайных величин ....................65 3

Стр.3

Глава 3. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН .....................71 § 3.1. Расчет плотности вероятностей ..................................................71 § 3.2. Линейные преобразования случайных величин ..........74 § 3.3. Многомерное гауссовское распределение ..........................77 § 3.4. Суммирование случайных величин .........................................80 § 3.5. Центральная предельная теорема ............................................83 Глава 4. ТЕОРИЯ АНАЛОГО-ЦИФРОВОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ...........................................................................87 § 4.1. Оптимизация ................................................................................................87 § 4.2. Асимптотические соотношения при малых шагах равномерного квантования ................89 § 4.3. Энтропийное кодирование квантованных величин ...91 Часть II МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Глава 5. CТАТИСТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ...............................97 § 5.1. Предмет статистики ..............................................................................97 § 5.2. Достоверность рейтингов и гистограмм ...............................99 Глава 6. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ................................................................102 § 6.1. Задача различения гипотез .........................................................102 § 6.2. Функция правдоподобия ................................................................107 § 6.3. Распознавание образов ....................................................................114 Глава 7. ВЫДЕЛЕНИЕ СИГНАЛА НА ФОНЕ ШУМА ............118 § 7.1. Статистическое оценивание ........................................................118 § 7.2. Максимально правдоподобное оценивание ....................121 Глава 8. РЕГРЕСИОННЫЙ АНАЛИЗ .....................................................127 § 8.1. Регресионная модель .........................................................................127 4

Стр.4

§ 8.2. Статистический подход к регрессии ....................................132 § 8.3. Оценка тенденции ................................................................................135 Глава 9. ПЛАНИРОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА ..............................139 § 9.1. Экстремальное регулирование .................................................139 § 9.2. Модификация регрессии ................................................................143 § 9.3. Статистический анализ регрессии ........................................148 § 9.4. Алгоритм планирования эксперимента ............................151 Приложения: 1. Формула Стирлинга ............................................................................................154 2. Расчет эпсилон-энтропии случайной величины ........................155 3. Независимые последовательности с половинной вероятностью .............................................................................................................159 4. Оценка параметров двумерного нормального распределения..........................................162 5. Методические указания к выполнению домашних заданий курса “Теория вероятностей и математическая статистика” ..................................................................166 Задание 1. Расчет частот символов (букв) печатного текста .....................................................................166 Задание 2. Расчет вероятности ситуации при игре .............169 Задание 3. Транспортная задача .........................................................169 Задание 4. Расчет среднего значения и дисперсии по заданной плотности вероятности .....................169 Задание 5. Расчет допусков на частоты букв с помощью закона Бернулли .......................................169 Задание 6. Оценка качества распознавания символов текста по частотам отрывков ......................................172 Задание 7. Расчет средних частот и их дисперсий по результатам для пяти отрывков .......................173 5

Стр.5

Задание 8. Расчет энтропии печатного текста .........................174 Задание 9. Повторный эксперимент при распознавании образов ..........................................174 Задание 10. Регрессия курса валют .....................................................174 Задание 11. Расчет параметров регрессии за период 10–60 дней ..........................................................175 Задание 12. Оценка достаточности линейной зависимости ......................................................176 Задание 13. Оценка корреляции курсов доллара и евро .......................................................176 ЛИТЕРАТУРА ................................................................................................................179 6

Стр.6