Теория вероятностей и математическая статистика (290,00 руб.)

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

УДК 519.2 (075.8) ББК 22.171 я73 Т 33 Печатается по решению редакционно-издательского совета Северо-Кавказского федерального университета Рецензенты: канд. техн. наук, проф. О. П. Ма л о ф е й , канд. экон. наук, доц. Т. В. Т а т о ч е н к о (Ставропольский филиал ООО «Газпром проектирование») Т 33 Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие (курс лекций) / авт.-сост.: Е. О. Тарасенко, И. В. Зайцева, П. К. Корнеев, А. В. Гладков. – Ставрополь: Изд-во СКФУ, 2018. – 229 с. Пособие подготовлено в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего образования, раскрывает основные принципы теории вероятностей и математической статистики. Одобрено на заседании кафедры прикладной математики и математического моделирования «07» сентября 2018 г., протокол № 2. Предназначено для организации и проведения лекционных занятий по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления подготовки 10.03.01 «Информационная безопасность» (бакалавр). УДК 519.2 (075.8) ББК 22.171 я73 Авторы-составители: канд. физ.-мат. наук, доц. Е. О. Т а р а с е н к о , канд. физ.-мат. наук, доц. И. В. З а й ц е в а , канд. физ.-мат. наук П. К. Ко р н е е в , ст. преп. каф. А. В. Г л а д к о в © ФГАОУ ВО «Северо-Кавказский федеральный университет», 2018 2

Стр.2

СОДЕРЖАНИЕ Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . РАЗДЕЛ 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лекция 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ . . . . . . . . . 1.1. Основные понятия и предмет теории вероятностей . . . 1.2. Алгебры и -алгебры подмножеств . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Множества и операции над ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . Лекция 2. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ . . . . 2.1. Классическое определение вероятности . . . . . . . . . . . . . 2.2. Статистическое определение вероятности . . . . . . . . . . . 2.3. Геометрическое определение вероятности . . . . . . . . . . 2.4. Основные формулы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . Лекция 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ИХ СЛЕДСТВИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Теоремы сложения и умножения вероятностей . . . . . . . 3.2. Следствия теорем сложения и умножения . . . . . . . . . . . 3.3. Повторение испытаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Лекция 4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Функция и плотность распределения . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Основные дискретные и абсолютно непрерывные распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Лекция 5. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Основные числовые характеристики дискретных случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Основные числовые характеристики непрерывных случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Числовые характеристики случайных величин, имеющих некоторые стандартные законы распределения . Лекция 6. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ И ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Характеристические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Производящие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 9 9 14 17 23 23 27 30 34 37 37 42 45 56 56 58 62 67 67 75 76 80 80 84

Стр.3

Лекция 7. СХОДИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Сходимость последовательности случайных величин . 7.2. Закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Формулировка центральной предельной теоремы . . . . Лекция 8. МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И СВЯЗАННЫЕ С НИМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1. Многомерное нормальное распределение . . . . . . . . . . . 8.2. Распределения, связанные с нормальным . . . . . . . . . . . РАЗДЕЛ 2. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Лекция 9. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1. Предмет и основные задачи математической статистики 9.2. Описательная статистика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Лекция 10. ТОЧЕЧНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК И ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1. Понятие точечной статистической оценки. Требования к оценкам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Свойства оценок. Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Методы получения оценок параметров генерального распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Лекция 11. ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК И ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ . 11.1. Доверительный интервал. Точность и надёжность оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Точность и надёжность оценивания вероятности события с помощью его относительной частоты . . . . . . . . . 11.3. Доверительный интервал для математического ожидания нормальной генеральной совокупности . . . . . . Лекция 12. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ . . . . . . . . . . 12.1. Виды статистических гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. Критерий значимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3. Ошибки первого и второго рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 88 89 93 101 105 105 109 116 116 118 128 128 132 135 142 142 144 146 149 149 150 152

Стр.4

Лекция 13. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ . 13.1. Гипотеза о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Гипотеза о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3. Гипотеза о равенстве вероятностей двух событий при больших объемах выборки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Лекция 14. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ . 14.1. Гипотеза о законе распределения генеральной совокупности. Параметры проверяемого закона полностью известны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2. Гипотеза о законе распределения генеральной совокупности. Параметры проверяемого закона неизвестны Лекция 15. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1. Корреляционный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2. Общие сведения о регрессионном анализе . . . . . . . . . Лекция 16. ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1. Понятие о дисперсионном анализе . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2. Общая, факторная и остаточная дисперсии . . . . . . . . . 16.3. Сравнение нескольких средних методом дисперсионного анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Лекция 17. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1. История возникновения искусственных систем автоматического распознавания и их реализации. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2. Методы распознавания образов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3. Анализ современного состояния распознавания образов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Лекция 18. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЫДЕЛЕНИЯ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ ПОМЕХ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1. Фильтрация случайных помех по методу Калмана–Бьюси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2. Фильтр Калмана–Бьюси с фиксированным запаздыванием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 156 156 158 164 167 168 170 175 175 177 181 181 182 183 187 187 191 193 202 202 215

Стр.5

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Приложение 1. Значения функции Лапласа (x)  2 1 e x 0 Приложение 2. Квантили pu нормального распределения N(0,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Приложение 3. Квантили ) t p (k) распределения Стьюдента T(k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Приложение 4. Квантили распределения Фишера уровня 95 % . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Приложение 5. Квантили распределения хи-квадрат . . . . . . 223 225 227 x 2 / 2 dz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 220 222 6

Стр.6