Национальный цифровой ресурс Руконт - межотраслевая электронная библиотека (ЭБС) на базе технологии Контекстум (всего произведений: 520009)
Консорциум Контекстум Информационная технология сбора цифрового контента
Уважаемые СТУДЕНТЫ и СОТРУДНИКИ ВУЗов, использующие нашу ЭБС. Рекомендуем использовать новую версию сайта.

Элементы численных методов. Вып. 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа (90,00 руб.)

0   0
Первый авторГудович Анастасия Николаевна
АвторыГудович Николай Николаевич
ИздательствоИздательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета
Страниц21
ID683720
АннотацияУчебно-методическое пособие разработано на кафедре вычислительной математики и прикладных информационных технологий факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.
Кому рекомендованоРекомендуется для студентов 3-го и 4-го курсов факультета прикладной математики, информатики и механики.
Гудович, А.Н. Элементы численных методов. Вып. 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа [Электронный ресурс] / Н.Н. Гудович, А.Н. Гудович .— Воронеж : Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2012 .— 21 с. — 21 с. — Режим доступа: https://rucont.ru/efd/683720

Предпросмотр (выдержки из произведения)

Элементы_численных_методов._Вып._1._Интерполяция_алгебраическими_многочленами._Многочлен_Лагранжа_.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» А.Н. Гудович, Н.Н. Гудович ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ Выпуск 1 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ. МНОГОЧЛЕН ЛАГРАНЖА Учебно-методическое пособие для вузов Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета 2012
Стр.1
§ 1. Понятие интерполяционного многочлена Термин «интерполяция» имеет латинское происхождение. Латинское слово interpolatio образовано с помощью приставки inter (между, внутри) и глагола polire (восстанавливать, ремонтировать) и потому означает восстановление фрагмента массива данных по предыдущему и последующему фрагментам. Например, интерполяция в летописи – это восстановление утраченного фрагмента летописи на основе анализа предшествующего и последующего текста. В математике под задачей интерполяции первоначально понимали восстановление значения функции в точке, расположенной между заданными точками a, b, по известным значениям f(a), f(b) функции в этих точках. Пусть − заданные точки, x0=a, x1=b f(x0)=f(a), f(x1)=f(b) (1) (2) − заданные значения функции в этих точках, а x* – внутренняя точка отрезка [a, b]. Для приближенного решения задачи интерполяции рассмотрим многочлен первой степени p1(x)=a0+a1 x (3) и подберем его коэффициенты a0, a1 так, чтобы в точках x0, x1 этот многочлен принимал те же значения, что и функция f, т.е. подберем из условий a0+a1 x0=f(x0), a0+a1 x1=f(x1). (4) Решая систему (4) относительно неизвестных a0, a1, подставляя полученные значения этих коэффициентов в выражение для многочлена p1 и вычисляя значение p1(x*), получим число, которое и принимается в качестве приближенного значения функции f в интересующей нас внутренней точке x*: Описанный прием нахождения приближенных значений функции наf(x*) ≅ p1(x*). зывают линейной интерполяцией, поскольку в качестве этих приближений здесь используются значения многочлена (3) первой степени, т.е. значения линейной функции. При этом сам многочлен (3) называют интерполяционным многочленом первой степени, построенным по значениям (2) функции f в узлах интерполяции (1). 3
Стр.3
Мы ознакомились с понятием интерполяции на простых частных случаях. Рассмотрим теперь общую ситуацию. Пусть f – заданная на отрезке [ a , b ] функция, а x0, x1, ... , xn (11) − попарно различные точки этого отрезка. Определение 2. Интерполяционным многочленом степени не выше n (обозначение pn (x; {xi}i=0, ... , n; f)) называют многочлен вида p( x ) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn , значения которого в точках (11) совпадают со значениями функции f: pn ( x k ; { xi }i=0, ... , n ; f )= f (x k ), k = 0, 1, ... , n; (12) (13) при этом точки (11) называют узлами интерполяции, а функцию f − интерполируемой функцией. Замечание 3. Многочлен pn( x; {xi}, f ) как функция переменной x зависит, во-первых, от функции f и, во-вторых, от выбора узлов интерполяции (11), что и отражено в обозначении. В том случае, когда ясно, о каком наборе узлов и какой функции идет речь, естественно использовать более простое обозначение: pn(x). Теорема 4. Для любого набора (11) попарно различных узлов интерполяции на отрезке [a,b] и любой заданной на [a,b] функции f интерполяционный многочлен pn( x; {xi}; f ) существует и единственен. Доказательство. Воспользовавшись формулой (12), перепишем условия (13) в виде: a0 + a1xk + a2(xk)2 + ... + am(xk)m + ... + an(xk)n = f(xk), k=0,1, ... ,n. Если набор узлов (11) зафиксировать, то соотношения (14) можно рас(14) сматривать как систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов a0, a1, ... , am, ... , an интерполяционного многочлена pn(x; {xi}, f ), и потому вопрос о существовании и единственности этого многочлена эквивалентен вопросу об однозначной разрешимости этой системы при любых правых частях f(x0), f(x1), ... , f(xk), ... , f(xn). (15) Матрица системы (14) имеет специальный вид: её m-тый ( m=0,1, ... ,n ) столбец составлен из m-тых степеней чисел (11). Матрицы такого типа в ал6
Стр.6
гебре называют матрицами Вандермонда; для построения матрицы B этого класса выбирают (не обязательно различные ) числа b0, b1, ... , bk, ... , bn, (16) возводят их в m-тую степень и полученный упорядоченный набор чисел (b0)m, (b1)m, ... , (bk)m, ... , (bn)m записывают в виде m-того столбца матрицы B. Известен способ вычисления определителя такой матрицы: сначала следует образовать всевозможные разности bi – bj чисел (16), а затем их перемножить: det B = ∏>i j , i>j ( b b ) . i − j (17) (18) В нашем случае роль чисел (16) играют числа (11): bk=xk, k=0,1, ... ,n. В силу предположения о том, что узлы интерполяции – попарно различные точки отрезка [a,b], разности (17), а значит, и их произведение (18) – определитель системы (14) – отличны от нуля. Но тогда система однозначно разрешима при любых правых частях (15), что и гарантирует существование и единственность интерполяционного многочлена. Замечание 5. Проведенные рассуждения указывают и способ построения интерполяционного многочлена: по заданным узлам интерполяции (11) и значениям (15) интерполируемой функции составляем систему (14), решаем её относительно a0, a1, ... , an и подставляем полученные ai в (12). Такой способ построения pn(x) называют методом неопределённых коэффициентов. Замечание 6. Если в результате решения системы (14) для старших коэффициентов an, an-1, ... , an-r будут получены нулевые значения, то фактическая степень интерполяционного многочлена окажется строго меньше n (по этой причине в определении 2 мы говорим о многочлене степени не выше n, а не о многочлене n-ой степени). Замечание 7. Укажем, что в определении 2 и теореме 4 не предполагается, что крайние точки набора узлов (11) совпадают с концами отрезка [a, b], а точки (11) занумерованы в порядке возрастания. Считается лишь, что узлы интерполяции – попарно различные точки отрезка [a, b], в которых известны значения функции f. Выбор набора узлов влияет на коэффициенты 7
Стр.7
интерполяционного многочлена, поскольку узлы интерполяции входят в матрицу системы (14). Что же касается нумерации узлов в пределах выбранного набора узлов интерполяции, то она не существенна, так как перенумерация узлов соответствует перестановке уравнений системы, что, очевидно, не влияет на решение. § 2. Погрешность интерполяции Изучим теперь вопрос о погрешности интерполяционного многочлена. Определение 8. Погрешностью интерполяционного многочлена в точке x∈[a,b] (или погрешностью интерполяции в точке x ) называется величина rn(x) = f(x) – pn(x), случая. Упражнение 9. Пусть функция f есть многочлен 2-ой степени. Вывести формулу для погрешности линейной интерполяции. Решение. В данном случае n=1, так что имеем два узла интерполяции x0, x1. При n=1 погрешность интерполяции (19) есть разность многочлена второй степени f и многочлена первой степени p1. Поэтому она является многочленом второй степени. Известны корни этого многочлена – ими являются узлы интерполяции. Следовательно, для погрешности интерполяции справедливо представление: f(x)−p1(x)=K(x−x0)(x−x1), (20) где K – некоторая константа. Для ее нахождения дважды дифференцируем полученное равенство (20). Тогда, поскольку вторая производная от многочлена первой степени p1 равна нулю, а вторая производная от правой части K (x−x0)(x−x1)=K(x2−(x0+x1)x+x0 x1) равенства (20) равна, очевидно, K(2!), приходим к соотношению f ( x ) ( 2! )K . ′′ = грешности интерполяции выражение f(x)−p1(x)=(1/2!) (21) (22) Вычисляя отсюда K и подставляя результат в (20), получим для поf ( x )( x x0 )( x x ).1 8 ′′ − − (23) (19) т.е. разность значений функции и многочлена в точке x. Исследование вопроса о погрешности начнем с рассмотрения частного
Стр.8
Усложним задачу, заменив предположение о том, что приближаемая функция f есть многочлен степени 2, более общим предположением о существовании у этой функции непрерывных производных до второго порядка включительно. Теорема 10. Пусть f ∈C2[a, b], Тогда для погрешности линейной интерполяции в любой точке x отрезка [a, b], отличной от узлов интерполяции, справедлива формула где ξ (x) – точка, принадлежащая наименьшему отрезку вещественной оси, содержащему точку x и узлы интерполяции: ξ(x)∈[ min{x, x0, x1}, max{x, x0, x1} ] ⊆ [a,b]. 2! f ( x ) p ( x ) 1 − 1 = (25) Доказательство. При проведении доказательства нам придется различать точку x*, в которой оценивается погрешность интерполяции, и переменную x, по которой будут дифференцироваться функции. Итак, зафиксируем отличную от узлов интерполяции точку x∗ и по аналогии с (20) подберем константу K* так, чтобы выполнялось равенство f(x∗) – p1(x∗) = K∗(x∗−x0)(x∗−x1). (26) Для этого, очевидно, следует взять в качестве константы K* величину K∗= ( f(x∗) – p1(x∗) ) / (x∗−x0)(x*−x1) Отметим, что отличие формул (20) и (26) состоит в том, что константа K в формуле (20) (случай многочлена степени 2) – одна и та же для всех x, тогда как константа в формуле (26) (случай дважды непрерывно дифференцируемой функции) зависит от выбора точки x*, что и отражено в обозначении этой константы. Составим теперь вспомогательную функцию переменной x h(x) = f(x) – p1(x) – K ∗(x – x0)(x – x1) . (27) Равенство (26) означает, что в точке x* функция (27) обращается в ноль. Кроме того, она равна нулю и в узлах интерполяции x0, x1, поскольку при подстановке в формулу (27) вместо x узла интерполяции третье слагаемое в правой части этой формулы обратится в ноль, а разность f−p1 окажется равной нулю в силу совпадения в узле интерполяции значения функции и интерполяционного многочлена. Переобозначим эти три корня функции h 9 f ( ( x ))( x x0 )( x x ), ′′ ξ − − 1 (24)
Стр.9
символами yi набор корней (0), i=0, 1, 2, чтобы получить упорядоченный по возрастанию y0 (0) < y1 (0) < y2 В случае же x0
Стр.10

Облако ключевых слов *


* - вычисляется автоматически