МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
В.В. Смагин
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ВВОДНЫЙ КУРС
Учебное пособие для вузов
Воронежский государственный университет
Математический факультет
2017
Стр.1
— 3 —
Содержание
Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Глава I. Метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
§§ 1. Вспомогательные неравенства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Определения и примеры метрических пространств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
§§ 5. Полнота метрических пространств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6. Точки прикосновения и замыкание множеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§§ 3. Шары и ограниченные множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4. Сходимость в метрических пространствах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
§§ 7. Замкнутые множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8. Внутренние точки и внутренность множеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
§§ 9. Открытые множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10. Открытые и замкнутые множества на прямой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
§§11. Некоторые теоремы о полных пространствах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
12. Множества первой и второй категорий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
§§13. Сепарабельные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
14. Непрерывные отображения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
§§15. Принцип сжимающих отображений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
16. Компактные множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
§§17. Вполне ограниченные множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
18. Критерии относительной компактности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Глава II. Линейные нормированные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . .43
§§19. Линейные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
§§21. Определения и примеры нормированных пространств. . . . . . . . . . . . . . . . 49
22. Ряды в нормированных пространствах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
§§23. Фактор-пространство линейного нормированного пространства. . . . . . 53
24. Эквивалентные нормы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
§§25. Разрешимость интегральных уравнений Вольтерра второго рода. . . . .58
26. Компактность и конечномерность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
§§29. Ортогональные системы элементов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66
30. Ряды Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
§§27. Пространства со скалярным произведением. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
28. Свойство ортогональности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
20. Фактор-пространство линейного пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Стр.3
— 6 —
Доказательство. Для p = 1 неравенство (4) очевидно. Рассмотрим случай
p > 1. Из (2) и равенства (p − 1)q = p следует оценка
n
k=1 |uk + vk|p ≤
n
k=1 |uk|p
n
k=1 |uk| |uk + vk|p−1 +
1/p nk=1 |uk + vk|(p−1)q
1/p
же упомянутая сумма равна нулю, то неравенство (4) очевидно. ♥
§2. Определения и примеры метрических пространств
Если n
k=1 |uk +vk|p = 0, то из (5) следует (4), так как 1−1/q = 1/p. Если
n
k=1 |uk|p
+
n
k=1 |vk|p
1/p
n
k=1 |uk + vk|p
Пусть X — произвольное непустое множество. Пусть каждой паре его элементов
x, y ∈ X поставлено в соответствие действительное число ρ(x, y) такое,
что для всех x, y, z ∈ X выполняются следующие аксиомы:
1. ρ(x, y) ≥ 0, ρ(x, y) = 0 ←→ x = y;
2. ρ(x, y) = ρ(y, x) (аксиома симметрии);
3. ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) (неравенство треугольника).
В таком случае число ρ(x, y) называется расстояние между x и y или метрикой
в множестве X. А само множество вместе с метрикой {X, ρ} называется
метрическим пространством.
2.1.• Задачи:
ρ1(x, y) = ρ1/2(x, y),
Пусть ρ(x, y) – метрика в X. Показать, что метриками в X являются:
ρ2(x, y) = ln[1 + ρ(x, y)],
ρ3(x, y) = min{1, ρ(x, y)},
ρ4(x, y) = ρ(x, y)[1 + ρ(x, y)]−1.
2.2. Показать, что аксиомы метрики эквивалентны двум условиям:
1) ρ(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y, 2) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(y, z).
2.3. Пусть X – множество с метрикой ρ(x, y). Показать, что для любых
элементов x, y, u, v ∈ {X, ρ}:
a) |ρ(x, y) − ρ(x, u)| ≤ ρ(y, u), б) |ρ(x, u) − ρ(y, v)| ≤ ρ(x, y) + ρ(u, v).
Примеры метрических пространств.
1. R1 – множество вещественных чисел (либо C1 – множество комплексных
чисел) с метрикой ρ(x, y) = |x − y|.
1/q
+
n
k=1 |vk|p
n
k=1 |vk| |uk + vk|p−1 ≤
1/p nk=1 |uk + vk|(p−1)q
1/q
.
1/q
=
(5)
Стр.6
— 7 —
2. X – произвольное непустое множество с дискретной метрикой
ρ(x, y) = 0, x = y
1, x = y
.
3. Rn – множество n – мерных векторов x = (x1, x2, . . . , xn) с вещественными
координатами (либо Cn – множество n – мерных векторов с комплексными
координатами) с метрикой, где 1 ≤ p < ∞,
ρ(x, y) = ρp(x, y) =
Эти метрические пространства далее будем обозначать Rn
n
k=1 |xk − yk|p
1/p
.
p и Cn
p соответственно.
Заметим, что аксиома треугольника здесь следует из неравенства Минковского
(4).
4. Вновь рассмотрим множество Rn (либо Cn). Метрику здесь зададим
выражением
ρ(x, y) = ρ∞(x, y) = max
Эти метрические пространства далее будем обозначать Rn
1≤k≤n |xk − yk|.
ственно.
5. Через C[a, b] обозначим пространство числовых функций, непрерывных
∞ и Cn
ρ(x, y) = max
a≤t≤b |x(t) − y(t)|.
6. Через C1[a, b] обозначим пространство числовых функций, непрерывных
на отрезке [a, b], где на функциях x, y ∈ C1[a, b] метрика задается выражением
ρ(x, y) = b
a |x(t) − y(t)| dt.
Тогда ϕ(t) ≡ 0 на [a, b].
Доказательство. Если ϕ(t) ≡ 0, то (∃c ∈ [a, b]) [ϕ(c) > 0]. В силу непрерывности
функции ϕ(t) имеется в [a, b] целый отрезок [α, β] c такой, что
(∀t ∈ [α, β])[ ϕ(t) ≥ ϕ(c)/2 > 0 ]. Получим далее
Для обоснования первой аксиомы метрики понадобится
Лемма 1. Пусть на [a, b] функция ϕ(t) ≥ 0, непрерывна и b
b
a
ϕ(t) dt =
β
α
ϕ(t) dt + t/∈(α,β)
ϕ(t) dt ≥
β
α
ϕ(t) dt ≥ (β − α)ϕ(c)/2 > 0,
a ϕ(t) dt = 0.
∞ соответна
отрезке [a, b], где на функциях x, y ∈ C[a, b] метрика задается выражением
Стр.7
— 8 —
что противоречит условию леммы. ♥
7. Через M[a, b] обозначим пространство числовых функций, определенных
и ограниченных на отрезке [a, b], то есть таких, что supa≤t≤b |x(t)| < ∞.
На функциях x, y ∈ M[a, b] метрика задается выражением
ρ(x, y) = sup
a≤t≤b |x(t) − y(t)|.
Определение корректно, так как для всех t ∈ [a, b]
|x(t) − y(t)| ≤ |x(t)| + |y(t)| ≤ sup
a≤t≤b |x(t)| + sup
a≤t≤b |y(t)| = C < ∞.
8. Через lp, где 1 ≤ p < ∞, обозначим пространство числовых последовательностей
x = (x1, x2, . . . , xk, . . .), суммируемых с p-ой степенью, то есть
таких, что ∞k=1 |xk|p < ∞. Метрика на элементах x, y ∈ lp задается выражением
ρ(x,
y) = ρp(x, y) =
Определение метрики корректно (ряд в (6) сходится), так как для всех k ∈ N
справедлива оценка |xk − yk|p ≤ 2p(|xk|p + |yk|p).
Докажем неравенство треугольника. Для любого n ∈ N из неравенства
∞
k=1 |xk − yk|p
Минковского для x, y, z ∈ lp следует оценка
n
k=1 |xk − yk|p
1/p
≤
Так как все ряды ∞k=1 |xk − yk|p, ∞k=1 |xk − zk|p и ∞k=1 |zk − yk|p сходятся,
то неравенство треугольника следует из (7) при n →∞.
n
k=1 |xk − zk|p
1/p
+
n
k=1 |zk − yk|p
9. Через m обозначим пространство ограниченных числовых последовательностей
x = (x1, x2, . . . , xk, . . .), то есть таких, что supk∈N |xk| < ∞. Метрика
на элементах x, y ∈ m задается выражением
ρ(x, y) = sup
k∈N |xk − yk|.
10. Через s обозначим пространство произвольных числовых последовательностей
x = (x1, x2, . . . , xk, . . .). Метрика на элементах x, y ∈ s задается
выражением
ρ(x, y) = ∞k=1
2k (1 + |xk − yk|) .
|xk − yk|
(8)
1/p
.
(7)
1/p
.
(6)
Стр.8
— 9 —
Определение метрики корректно (ряд в (8) сходится). Аксиома треугольника
следует из простого неравенства α(1 + α)−1 ≤ β(1 + β)−1, где 0 ≤ α ≤ β.
2.4.• Задачи:
Показать, что ρ(x, y) = |arctg(x − y)| является метрикой на R1.
2.5. Пусть функция ϕ(t) определена и дважды непрерывно дифференцируема
при t ≥ 0. Кроме того, ϕ(0) = 0, ϕ(t) > 0 и ϕ(t) ≤ 0. Показать, что
ρ(x, y) = ϕ(|x − y|) является метрикой на R1.
диуса r ≥ 0 с центром в точке x0 ∈ X называется множество
B(x0, r) = {x ∈ X | ρ(x, x0) < r}
3.1.• Задачи:
В метрическом пространстве {X, ρ} открытым (замкнутым) шаром ра(B[x0,
r] = {x ∈ X | ρ(x, x0) ≤ r} ) .
§3. Шары и ограниченные множества
ρ2(x, y) = (|x1 − y1|2 + |x2 − y2|2)1/2, ρ∞(x, y) = max{|x1 − y1|, |x2 − y2|}
построить замкнутые шары B[(0, 0), 1].
На плоскости R2 с метриками ρ1(x, y) = |x1 − y1| + |x2 − y2|,
3.2. Может ли в метрическом пространстве шар радиуса 4 быть строгим
подмножеством шара радиуса 3 ?
3.3. Показать, что если шар радиуса 7 в метрическом пространстве содержится
в шаре радиуса 3, то эти шары совпадают.
В метрическом пространстве {X, ρ} множество M ⊂ X называется ограниченным,
если в X существует замкнутый шар конечного радиуса, содержащий
это множество.
3.4.• Задачи:
чено. Показать, что
Пусть в метрическом пространстве {X, ρ} множество M ⊂ X ограни(∀x0
∈ X)(∃r > 0)(M ⊂ B[x0, r]).
3.5. Пусть множества A и B ограничены в метрическом пространстве
{X, ρ}. Показать, что множество A ∪ B также ограничено в {X, ρ}.
3.6. Доказать, что множество M ⊂ C[a, b] ограничено тогда и только тогда,
когда (∃K > 0)(∀x ∈ M)(∀t ∈ [a, b])(|x(t)| ≤ K).
3.7. Пусть {x(t)} – множество дифференцируемых на [a, b] функций таких,
что (∃K1 ≥ 0)(∃K2 ≥ 0)(∀x)(∀t ∈ [a, b]) [(|x(a)| ≤ K1) ∧ (|x(t)| ≤ K2)] .
Доказать, что множество {x(t)} ограничено в пространстве C[a, b].
Стр.9
— 10 —
Пусть {X, ρ} – метрическое пространство. Последовательность элементов
§4. Сходимость в метрических пространствах
{xn} ⊂ X сходится к элементу x ∈ X по метрике, если ρ(xn, x) → 0 при
n → ∞. При этом используются обозначения limn→∞xn = x, либо xn → x при
n →∞.
Свойства сходящихся последовательностей.
1. В метрическом пространстве любая подпоследовательность сходящейся
последовательности сходится, причем, к тому же пределу.
Доказательство. Пусть {xn} ⊂ X сходится к элементу x ∈ X и {xnk
{xn}. Тогда числовая последовательность {ρ(xnk
ρ(xnk, x) → 0 при k →∞. ♥
} ⊂
, x)} ⊂ {ρ(xn, x)}. Поэтому
2. Последовательность в метрическом пространстве может иметь не
более одного предела.
Доказательство. Пусть {xn} ⊂ X такая, что xn → a и xn → b при n →∞.
Из оценки 0 ≤ ρ(a, b) ≤ ρ(a, xn)+ρ(xn, b) при n →∞ получим ρ(a, b) = 0, то
есть a = b. ♥
3. Всякая сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
ограничена.
Доказательство. Пусть {xn} ⊂ X такая, что xn → x при n → ∞. Тогда
ρ(xn, x) → 0 и, следовательно, числовая последовательность {ρ(xn, x)}
ограничена, то есть (∃r > 0) (∀n ∈ N) [ ρ(xn, x) ≤ r ]. Таким образом, последовательность
{xn} ⊂ B[x, r]. ♥
4. Пусть в метрическом пространстве даны две последовательности:
xn → x и yn → y при n →∞. Тогда ρ(xn, yn) → ρ(x, y) при n →∞.
Доказательство следует из неравенства (задача 2.3(б))
4.1.• Задачa.
|ρ(xn, yn) − ρ(x, y)| ≤ ρ(xn, x) + ρ(yn, y). ♥
ется xn → x и ρ(xn, yn) → 0, то yn → x.
Сходимость в пространстве Rn
где xm = (xm
1 , xm
2 , . . . , xm
ρ(xm, x) =
Но это возможно тогда и только тогда, когда xm
n
k=1 |xm
Показать, что если в метрическом пространстве при n →∞ выполняp
.
Пусть 1 ≤ p < ∞, последовательность {xm} ⊂ Rn
p и xm → x при m →∞,
k − xk|p
→ 0.
n ), x = (x1, x2, . . . , xn). Это означает, что при m→∞
1/p
k → xk при m→∞ для всех
Стр.10