МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ
Практическое руководство
Составитель И. Д. Коструб
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2017
1
Стр.1
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ............................................................................................................... 4
1. Основные понятия и определения ................................................................. 4
2. Дифференциальные уравнения первого порядка ........................................ 5
3. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка.
Метод изоклин .................................................................................................... 7
4. Уравнения с разделяющимися переменными ........................................... 12
5. Некоторые задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям ....... 14
6. Однородные и приводящиеся к ним уравнения ......................................... 19
7. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель .... 22
8. Линейные уравнения первого порядка ....................................................... 25
9. Линейные уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами ... 29
10. Линейные уравнения с переменными коэффициентами ........................ 35
11. Системы линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами (случай простых корней) ........................ 38
12. Устойчивость по Ляпунову ........................................................................ 45
13. Спектральный признак устойчивости ....................................................... 50
14. Устойчивость по первому приближению ................................................. 52
15. Критерий Рауса-Гурвица ............................................................................ 55
Ответы ...................................................................................................... 58
Материалы для самопроверки ............................................................... 61
Справочные материалы .......................................................................... 63
Библиографический список ................................................................... 67
3
Стр.3
частная производная по y
( , 00 yx
Теорема (Коши). Пусть дано уравнение (3). Если функция f ( , )yx
f ( , )yxy
и её
непрерывны в некоторой области D
плоскости Oxy, то в некоторой окрестности любой внутренней точки
)
удовлетворяющее условию y y0 при x x0 .
Определение. Начальными условиями или условиями Коши называются
условия, которые задают значение функции 0y в фиксированной точке
x0 . Записываются они в такой форме
y x .
( 0) y0
y
Определение. Общим решением уравнения (3) называется функция
( , )Cx
, удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении
C.
ется функция y ( , 0Cx
янной
Определение. Частным решением уравнения (3) в области D называ),
полученная при определённом значении постоC
C0 .
Примеры. Рассмотрим различные уравнения при начальном условии
y(0) 1.
1. y 0. Его общее решение ( ) Cx Частное решение оши
.
получающееся при C 1.
2.
оши
Коши
К ( ) xx
3.
(x e)
y ay.
ax
y 1. Его общее решение x x C
1, получающееся при C 1.
( )
( )
, получающееся при C 1.
При написании этого раздела использовалась литература [1], [3], [4].
.
Его общее решение x Ceax
.
К ( ) 1x
,
Частное решение
Частное решение
этой области существует единственное решение уравнения (3),
6
Стр.6
3. Геометрический смысл дифференциального уравнения
первого порядка. Метод изоклин
y
Рассмотрим дифференциальное уравнение (3). Пусть его решение
( )x
, график которого есть непрерывная интегральная кривая, причём в
каждой её точке существует касательная. Из дифференциального уравнения
следует, что угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в
каждой её точке равен правой части этого уравнения. Значит, уравнение
первого порядка задаёт угловой коэффициент y касательной к интегральной
кривой как функцию двух переменных. Если каждой точке ( , )yx
ставить отрезок, направленный под углом наклона tagarc ( ( , ))yxf
сопок
оси
Ox, то получим поле направлений данного уравнения. Это и есть геометрический
смысл дифференциального уравнения первого порядка. Поле
направлений позволяет проанализировать решение дифференциального
уравнения и приблизительно построить интегральные кривые.
Определение. Изоклина – это геометрическое место точек, в которых
касательные к искомым интегральным кривым имеют одно и тоже направление.
Семейство
изоклин дифференциального уравнения (3) определяется
уравнением
f ( , ) kyx ,
(4)
где k – параметр. Придавая ему близкие числовые значения, мы получим
достаточно густую сеть изоклин, с помощью которых приближённо строятся
интегральные кривые рассматриваемого уравнения.
Примеры. С помощью метода изоклин приближённо начертить решения
уравнения: 1. y y x
2 2 2 x
.
7
Стр.7
Решение. Запишем уравнение семейства изоклин y x 222
или в более привычном виде y x 222
x
x
раболы с вертикальной осью симметрии. Построим их.
При
k 0 получаем изоклину y x 2 2 2 x
k
k . Изоклинами являются па.
Касательные, проведённые
к интегральным кривым в точке пересечения с изоклиной k 0, образуют
нулевой угол с осью Ox. Эта прямая делит плоскость на две части, в
каждой из которых производная имеет один и тот же знак, и именно на ней
находятся точки экстремума.
При k 1 изоклина y x 2 2 3 x
наклона касательных 4/ .
При
k 1 изоклина
. Интегральные кривые имеют угол
y x 2 2 1 x
угол наклона касательных 3 / 4 .
. Интегральные кривые имеют
Рис. 1
Проверим, встречаются ли среди изоклин интегральные кривые. Для
этого подставим уравнение семейства изоклин в наше дифференциальное
уравнение. Получим
2 2 2
x
x 22
x
8
k или 2x 2
k . Это равенство ни
Стр.8
при каком k не превратится в тождество. Значит, среди изоклин нет интегральных
кривых. Семейство интегральных кривых изображено на приводимом
ниже рис. 1.
2. Используя метод изоклин, приближённо начертить решения уравнения:
dx
dy
.
y x
y x
y . Изоклинами являются прямые, проходящие через начало
(1 )k x(1 )
координат.
При
Решение. Выпишем уравнение семейства изоклин
k
k 0 получаем изоклину y x .
y x
y x
k
или
Рис. 2
9
Стр.9
При k 1 получаем прямую x0 , интегральные кривые имеют угол
наклона касательных 4/ .
При
касательных 3 / 4 .
Рассмотрим перевёрнутое уравнение
изоклин
y x
y x
dy
dx
. Уравнение семейства
y x
y x
k . При k 0 получаем изоклину y , и на ней интеx
гральные
кривые имеют вертикальные касательные. Все прямые пересекаются
в начале координат. Расположение интегральных кривых см. на рис. 2.
3. С помощью метода изоклин приближённо начертить решения уравнения:
y 2x y .
Решение. Уравнение семейства изоклин 2x y k
рах построим сеть изоклин.
При
или в привычном
виде y 2x k . Изоклинами являются прямые. Как и в предыдущих примеk
0 получаем изоклину y 2 . Нулевая изоклина даёт уравнеx
ние
линии, на которой находятся точки максимума и минимума интегральных
кривых. Эта прямая делит плоскость на две части, в каждой из которых
производная имеет один и тот же знак. В нашем случае касательные, проведённые
к интегральным кривым в точке пересечения с изоклиной
разуют нулевой угол с осью Ox.
При
k 1 изоклина
наклона касательных 4/ .
При
k 1 изоклина
наклона касательных 3 / 4 .
Проверим, встречаются ли среди изоклин интегральные кривые. Для
этого подставим уравнение семейства изоклин в наше дифференциальное
уравнение. Получим
2 2 2 2
x
x
10
или 2 2 , т. е. мы получили тождество.
k 1 изоклина y 0, интегральные кривые имеют угол наклона
k 0, обy
2 1x , интегральные кривые имеют угол
y 2 2x
, интегральные кривые имеют угол
Стр.10