МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Учебно-методическое пособие
Составитель
П. В. Садчиков
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2016
Стр.1
Введение
Одна из глубочайших мыслей И. Ньютона, которую он счёл нужным
засекретить и опубликовал лишь в виде анаграммы, состоит в следующем:
«Data aequatione quotcunque fluentes quantitae involvente
fluxiones invenire et vice versa». В переводе на современный математический
язык это означает: «Полезно решать дифференциальные уравнения».
В настоящее время теория дифференциальных уравнений представляет
собой трудно обозримый конгломерат большого количества разнообразных
идей и методов, в высшей степени полезный для всевозможных приложений
и постоянно стимулирующий теоретические исследования во
всех отделах математики.
В настоящем пособии излагаются основы теории обыкновенных
дифференциальных уравнений и методы интегрирования отдельных типов
уравнений первого и второго порядков. Изложение сопровождается
многочисленными обстоятельно разобранными примерами. В приложении
содержатся варианты индивидуальных заданий для самостоятельного
решения.
3
Стр.3
Определение 6. Функция y ϕ=
( )x
циального уравнения (2), если после замены y на ϕ( )x , y′ на ϕ( )x′
называется решением дифферен,
оно
обращается в тождество.
Определение 7. График решения дифференциального уравнения называется
интегральной кривой.
Определение 8. Условия
в силу которых функция y ϕ=
y y= при x x= ,
( )x
0
0
принимает заданное значение
(4)
y 0 в заданной
точке 0x , называют начальными условиями решения. Начальное условие
записывается в виде
yx y() или xx
00 0== .
y = 0
y
Определение 9. Общим решением дифференциального уравнения
первого порядка (2) называется функция y ϕ=
( , )Cx
y ϕ=
( , )Cx
извольную постоянную и удовлетворяющая условиям:
1) функция
, содержащая одну проявляется
решением дифференциального уравнения
при каждом фиксированном значении C ;
2) каково бы ни было условие (4), можно найти такое значение постоx
C ) удовлетворяет данному
янной C (C C=
0 ) , при котором функция y ϕ=
( , 0
начальному условию.
Определение 10. Частным решением дифференциального уравнения
первого порядка называется любая функция y ϕ=
( , )Cx
( , 0
щего решения y ϕ=
при конкретном значении постоянной C C= .
0
Определение 11. Задача отыскания решения дифференциального
уравнения первого порядка (2), удовлетворяющего заданному начальному
условию (4), называется задачей Коши.
Теорема 1 (существования и единственности решения задачи Коf
( , )yx
ши). Если в уравнении (3) функция
6
и ее частная производная
x C ) , полученная из об
Стр.6
f ( , )yxy
′
то существует единственное решение y y( )x=
ряющее начальному условию (4).
Геометрически общее решение
y ϕ=
непрерывны в некоторой области D , содержащей точку ( , 0
этого уравнения, удовлетво)
(
, )Cx
x0 y ,
представляет собой семейство
интегральных кривых на плоскости Оxy , зависящее от одной произвольной
постоянной C , а частное решение
y ϕ=
x
y
.
( , 0
ную кривую этого семейства, проходящую через заданную точку ( ; 0
Пример 3. Рассмотрим уравнение y −=′
ется функция y C x/=
x C ) – одну интегральx0
y .
)
Нетрудно проверить, что общим решением данного уравнения явля,
где C – произвольная постоянная. При различных
значениях C получаем различные решения.
Найдем частное решение, удовлетворяющее, например, начальным
условиям x = y = . Имеем 1 = ⋅С . Отсюда C = 1 и искомое частное решение
y = 1/ .
0 1, 0
x
1
1
бой семейство гипербол y C x/=
решение данного уравнения (рис. 1).
Геометрически общее решение данного уравнения представляет со,
каждая из которых изображает частное
Рис. 1
7
Стр.7
УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Определение 12. Уравнение вида
11 2
P() ( ) () ( ) 0+= (5)
x Q y dx P x Q y dy
2
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Разделим уравнение (5) на 21
() ( ) 0
+= . Проинтегрировав полученное уравнение почленно, получим
его общий интеграл:
Qy dyQy
()
2
1
()
0
.
Px Q y
dx
Px Q y+=
12
21
()
()
на 21
() ( ) 0
( )
( )
dy C
ет отдельно решить уравнение 21
Замечание 1. При почленном делении дифференциального уравнения
Px Q y ≠ могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следуPx
Q y = и установить те решения
() ( ) 0
дифференциального уравнения, которые не могут быть получены из общего
решения, – особые решения.
Замечание 2. Уравнение 12
разделяющимися переменными. Для этого достаточно положить
разделить переменные.
Пример 4. Решить уравнение () (
Преобразуем левую часть уравнения (1 )yx (1 ) 0
имеет вид (4). Делим обе части уравнения на x 0y ≠ : 11 0xy
yxy dx x − = .
dx
++ xy dy
)
0
++x y dy
dx
Найдем общий интеграл:
ln ln
x xy y = c, т.е. ln xy + x − y = .
++ −
8
c
− = . Оно
xy dy
+−+= .
yf () ( ) также сводится к уравнению с
′ =
′ =
x f
y
y dy
dx
и
Px Q y ≠ . Получим 1
2
Px dx
Px +
()
()
Стр.8
Здесь уравнение 21
Px Q y = имеет вид x 0y = . Его решение x 0= и y 0=
() ( ) 0
являются решениями дифференциального уравнения, но не входят в общий
интеграл. Значит, 0x = и
y 0= – особые решения.
ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
если (, )
Определение 13. Функция (, )gx y называется однородной порядка m ,
gx yλλ g x yλ=
m
(
,
) .
Определение 14. Уравнение вида
(, )
Px y dx Q x y dy+=, ) 0
(
(6)
называется однородным, если (, )Px y и (, )Qx y – однородные функции одного
порядка.
Однородное уравнение (6) может быть приведено к виду
С помощью подстановки
или
yf y
x
зуется в уравнение с разделяющимися переменными.
Пример 5. Найти общее решение уравнения 22
Qx y xy=
(, ) 2
′ =
.
y uy xu
x== однородное уравнение преобраЭто
уравнение однородное, так как функции Px y x y=− и
22
() 2
(, )
гда dy udx xdu=+ . Подставляем в исходное уравнение:
22 2
() 2−+ ⋅
22 2
(1
(1 ) 2
udx uxdu
2
0
x u x dx x ux xdu x ux udx = ,
xu u−+ +dx
⋅
+ 2 ⋅
⋅
2 ) 2ux du = ,
3
0
++ = – уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные
dx u duxu
+=+
2
1
2
9
0 и интегрируем:
0
– однородные функции второго порядка. Положим yux= , тоx
y dx xydy−+ = .
0
Стр.9
ln ln(1 )
2
x ycx+= .
22
x uc++ = → += .
2
1
x(1 )uc
Возвращаясь к исходным переменным, получим общий интеграл
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Определение 15. Дифференциальное уравнение первого порядка называется
линейным, если его можно записать в виде
yp () ()
′+= ,
x y
где ()p x и ()
qx – заданные функции.
Определение 16. Если q( ) 0≡x
однородным уравнением. Если q( ) 0≠x
, то уравнение (7) называется линейным
, то уравнение (7) называется линейным
неоднородным уравнением.
Рассмотрим два метода решения линейного уравнения (7) – метод
подстановки (метод Бернулли) и метод вариации произвольной постоянной
(метод Лагранжа).
Метод Бернулли
Решение уравнения (7) ищется в виде произведения двух других функций,
т.е. с помощью подстановки yuv= , где u u( )x=
и v v( )x=
чаем: u v u v p x u v q x=⋅⋅
функцию v v( )x=
y u v u v′⋅+⋅′=′
′ ⋅ + ⋅ ′ +
( )
– неизвестные
функции от x , причем одна из них произвольная, но не равная нулю.
Тогда
( ) или u v u (v p x v q x=⋅
′ +
( )
)
0 . Итак,
. Подставляя выражения y и y′ в уравнение (7), полу′
⋅ + ⋅
решим дифференциальное уравнение v′ + ( ) =⋅ vxp
10
так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е.
0 ,
dx + ( ) =⋅ vxp
dv
q x
(7)
( ) . Подберем
Стр.10