МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
БУРЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Н. Б. Цыренжапов, И. Б. Юмов
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
Рекомендовано УМС БГУ в качестве учебного пособия для обучающихся
по направлениям подготовки 09.03.03 Прикладная математика и
информатика, 01.03.02 Прикладная математика и информатика, 02.03.01
Математика и компьютерные науки, 02.03.03 Математическое
обеспечение и администрирование информационных систем, 38.03.02
Менеджмент, 38.03.01 Экономика, 38.03.05 Бизнес-информатика, 38.03.04
Государственное и муниципальное управление, 38.03.03 Управление
персоналом
Улан-Удэ
Издательство Бурятского госуниверситета
2018
Стр.1
УДК 519.2
ББК 22.171, 22.172
Ц 975
Утверждено к печати
редакционно-издательским советом
Бурятского государственного университета
Рецензенты
А. В. Урбаханов, канд. физ.-мат. наук, доц. ВСГУТУ
В. В. Кибирев, канд. физ.-мат. наук, проф. БГУ
Текст печатается в авторской редакции
Цыренжапов Н. Б.
Ц 975 Элементы теории вероятностей и математической
статистике: учебное пособие / Н. Б. Цыренжапов,
И. Б. Юмов. ― Улан-Удэ: Издательство Бурятского госуниверситета,
2018. ― 140 с. ISBN 978-5-9793-1205-7
Пособие содержит материал программы по теории вероятностей
и математической статистике. Приведены необходимые
теоретические сведения и формулы, даны решения типовых задач,
помещены задачи для самостоятельного решения,
сопровождающиеся ответами.
Предназначено для обучающихся по разным направлениям
подготовки.
УДК 519.2
ББК 22.171, 22.172
ISBN 978-5-9793-1205-7
2
© Н. Б. Цыренжапов, И. Б. Юмов, 2018
Стр.2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебное пособие состоит из двух частей: теории
вероятностей и математической статистики.
В основу теории вероятностей легли результаты работ
Б. Паскаля (1623–1662), П. де Ферма (1601–1665), Г. Галилея
(1564–1642), Я. Бернулли (1654–1705), П. С. Лапласа (1749–1827),
А. де Муавра (1667–1754) и других ученых. В XIX в. теория
вероятностей сформировалась как стройная математическая
дисциплина благодаря работам выдающегося русского ученого
П. Л. Чебышева (1821–1894) и его учеников А. А. Маркова
(1856–1922) и А. М. Ляпунова (1857–1918). В ХХ в. значительный
вклад в развитие современной теории вероятностей внесли
отечественные ученые: С.Н. Бернштейн, А. Н. Колмогоров,
Б. В. Гнеденко, B. C. Пугачев, В. И. Романовский, Н. В. Смирнов,
А. Я. Хинчин и др. Широкую известность приобрели
фундаментальные работы зарубежных ученых: Г. Крамера,
Д. Неймана, Р. Фишера, М. Кендалла, А. Стьюарта и др.
Настоящее издание представляет собой учебное пособие для
дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»
в рамках реализации образовательной программы высшего
образования по направлениям подготовки: 01.03.02 «Прикладная
математика и информатика», 02.03.01 «Математика и
компьютерные науки», 02.03.03 «Математическое обеспечение и
администрирование информационных систем», 09.03.03
«Прикладная информатика», 38.03.01 «Экономика», 38.03.02
«Менеджмент», 38.03.03 «Управление персоналом», 38.03.04
«Государственное и муниципальное управление», 38.03.05
«Бизнес-информатика» очной/заочной формы обучения и
подготовлено в соответствии с требованиями Федерального
государственного образовательного стандарта высшего
образования.
3
Стр.3
Дисциплина «Теория вероятностей и математическая
статистика» относится к обязательным дисциплинам базовой части
Блока 1 в структуре соответствующих образовательных программ.
Изучение дисциплины направлено на формирование
следующих общепрофессиональных компетенций
для математических и инженерно-технических направлений:
готовность использовать фундаментальные знания в
области теории вероятностей и математической статистики в
будущей профессиональной деятельности;
для экономических направлений:
способность выбрать инструментальные средства для
обработки экономических данных в соответствии с поставленной
задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать
полученные выводы.
Основная задача настоящего учебного пособия – заложить
основы научной теории вероятностей и математической
статистики как ветви математического анализа, овладеть теорией и
практикой решения задач по теории вероятностей и уметь
самостоятельно применять их к решению прикладных задач.
Теорию вероятностей можно определить как раздел
математики, в котором изучаются закономерности, присущие
массовым случайным явлениям. Знание этих закономерностей
позволяет прогнозировать характеристики процессов и явлений, в
которых присутствуют случайные события. Методы теории
вероятностей широко применяются при математической обработке
результатов измерений, а также в экономике, статистике,
страховом деле, теории массового обслуживания.
В первой части пособия рассматриваются основные понятия
теории вероятностей: случайные события, их виды, различные
определения вероятности, основные теоремы вычисления
вероятностей; случайные величины, виды случайных величин,
числовые характеристики, законы распределения.
Вторая часть пособия посвящена математической статистике.
4
Стр.4
Математическая статистика – это раздел математики,
занимающийся разработкой методов сбора, систематизации и
обработки результатов наблюдений (измерений) с целью познания
закономерностей случайных массовых явлений. Математическая
статистика использует математический аппарат и выводы теории
вероятностей.
Переходным звеном от теории вероятностей к
математической статистике является закон больших чисел и
предельные теоремы.
В данной части пособия излагаются основы выборочного
метода, теории оценок и проверка статистических гипотез.
Пособие содержит материал программы по теории
вероятностей и математической статистике. Приведены
необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения
типовых задач, помещены задачи для самостоятельного решения,
сопровождающиеся ответами.
5
Стр.5
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ……………………………………………………………………………….……3
РАЗДЕЛ I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ…………………………………………….………6
1. CЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ……………………………………………………………………6
1.1. Понятие о случайном событии. Виды случайных событий ................... 6
1.2. Определения вероятности появления события ........................................... 7
1.3. Нахождение вероятности появления события с использованием
формул комбинаторики ................................................................................................... 15
Задачи .......................................................................................................................................... 20
1.4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ........................................................... 22
1.4.1. Теоремы сложения и умножения вероятностей .................................... 22
Следствия теорем сложения и умножения вероятностей ............................ 28
1.4.2. Формула полной вероятности .......................................................................... 29
1.4.3. Вероятность гипотез. Формулы Байеса ...................................................... 31
Задачи .......................................................................................................................................... 33
1.4.4. Схема независимых испытаний. Формула Бернулли. ......................... 36
1.4.5. Формула Пуассона .................................................................................................... 38
1.4.6. Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа .................... 40
1.4.7. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности
в независимых испытаниях ............................................................................................ 44
Задачи .......................................................................................................................................... 46
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ ............................................................................................... 49
2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ………………………………………………………………50
2.1. Случайная величина. Виды случайных величин. Закон
распределения случайной величины. ...................................................................... 50
2.2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной
величины. Примеры дискретных распределений ............................................ 51
2.3. Числовые характеристики дискретной случайной величины. ......... 57
Задачи .......................................................................................................................................... 63
2.4. Интегральная функция распределения .......................................................... 66
вероятностей случайной величины и ее свойства ........................................... 66
2.5. Дифференциальная функция распределения вероятностей
непрерывной случайной величины .......................................................................... 71
2.6. Числовые характеристики непрерывных случайных величин ........ 74
2.7. Равномерное, показательное и нормальное распределения ............. 79
Задачи .......................................................................................................................................... 84
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ ............................................................................................... 88
3. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 89
3.1 Закон больших чисел. Неравенство Чебышева ........................................... 89
138
Стр.138
3.2. Теорема Чебышева ...................................................................................................... 91
3.3. Теорема Бернулли ....................................................................................................... 92
Задачи .......................................................................................................................................... 92
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ ............................................................................................... 93
РАЗДЕЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА………………………………94
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ....................... 94
1.1. Генеральная и выборочная совокупность. Вариационный ряд.
Эмпирическая функция распределения .................................................................. 94
1.2. Графическое изображение вариационных рядов. Полигон и
гистограмма ............................................................................................................................. 97
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ ............................................................................................ 100
Задачи ....................................................................................................................................... 100
2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ........... 101
2.1. Точечные оценки ................................................................................................. 101
2.2. Основные свойства оценок .................................................................................. 103
2.3. Построение точечных оценок. Метод максимального
правдоподобия. Метод моментов ............................................................................ 105
2.4. Интервальные оценки. Понятие доверительного интервала ........ 111
2.5 Доверительный интервал для математического ожидания
нормальной величины ................................................................................................... 112
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ ............................................................................................ 118
Задачи ....................................................................................................................................... 118
3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ......................................................... 120
3.1. Понятие статистической гипотезы ................................................................ 120
3.2. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности.
Критерий Пирсона ............................................................................................................ 122
4. МЕТОД РЕГРЕССИОННОГО СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА...............…128
4.1. Метод наименьших квадратов .......................................................................... 127
4.2. Линии регрессии. Корреляция .......................................................................... 130
Задачи ....................................................................................................................................... 131
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ ............................................................................................ 131
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК…………...………………………………….…….133
ПРИЛОЖЕНИЯ…………………………………………………………………………………....135
139
Стр.139