УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
Ш 123
Рецензенты: доктор педагогических наук, доцент, профессор кафедры методики
преподавания математики Московского педагогического государственного
университета Е.И. Санина; доктор педагогических
наук, профессор Российского университета дружбы народов
В.И. Михеев; доктор физико-математических наук, доцент, профессор
кафедры математического анализа Московского государственного
университета имени М.В. Ломоносова К.А. Мирзоев;
кандидат физико-математических наук, старший преподаватель
кафедры математического анализа Поморского государственного
университета имени М.В. Ломоносова Н.Н. Конечная
Печатается по решению редакционно-издательского
Поморского университета
Шабанова, М.В.
Ш 123 Введение в математику: учебное пособие / М.В. Шабанова, С.Н. Котова,
И.Н. Попов, О.Л. Безумова; Поморский гос. ун-т им. М.В. Ломоносова.
- Архангельск: Поморский университет, 2008. - 203 с.
ISBN 978-5-88086-788-2
Учебное пособие предназначено для проведения курса «Введение в математику».
В нем раскрываются логические и теоретико-множественные основы математики,
значимость знания этих основ для продолжения математического образования
в вузе, содержатся учебные материалы для проведения аудиторных занятий и
организации самостоятельной работы студентов. Отличительными особенностями
данного пособия являются преемственность со школьным курсом математики, реализация
идей проблемного обучения и обучения через задачи.
Пособие адресовано студентам учреждений высшего профессионального образования,
обучающихся по специальности «Математика».
УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
совета
ISBN 978-5-88086-788-2
© Шабанова М.В., Котова С.Н.,
Попов И.Н., Безумова О.Л., 2008
© Поморский университет, 2008
Стр.2
Оглавление
Предисловие
Глава 1. Логические основы математики
1.1. Логическая структура математических утверждений и их
виды
1.2. Основные логические операции и кванторы
1.3. Логические формулы и законы логики
1.4. Применение логических формул к записи математических
утверждений
1.5. Необходимое и достаточное условия
1.6. Логические основы математических доказательств
Глава 2. Элементы теории множеств
2.1. Множества и способы их задания
2.2. Операции над множествами
7
14
28
34
48
54
70
78
2.3. Произведение множеств. Бинарные отношения и их свойства
Глава
3. Функции
3.1. Понятие функционального отношения
3.2. Виды функций
3.3. Операции над функциями
91
2.4. Специальные виды бинарных отношений на множестве. 102
115
120
127
5
Стр.3
3.4. Свойства числовых функций
3.5. Построения эскизов графиков числовых функций
Глава 4. Элементы теории равносильности уравнений
и неравенств
4.1. Равносильность уравнений и неравенств
4.2. Решение уравнений и неравенств с модулями
4.3. Доказательство неравенств
Приложения
Приложение 1. Основные требования к реферату
Библиографический список
195
Приложение 2. Примерные задания для контрольной работы.. 198
200
161
176
185
138
153
Стр.4
Предисловие
Предлагаемая вниманию читателя книга является учебным пособием
по курсу «Введение в математику». Его основная цель - подготовка
студентов к изучению базовых вузовских математических дисциплин:
математический анализ, аналитическая геометрия, алгебра и
теория чисел.
Пособие состоит из четырех основных разделов.
Изучение материала, представленного в первой главе «Логические
основы математики», позволит познакомиться с логической
структурой математического языка, условиями и методами установления
истинности математических утверждений, правилами их символической
записи.
Изучение материала, представленного во второй главе «Элементы
теории множеств», позволяет овладеть системой исходных понятий,
общих для всех математических теорий: множество, отношение,
мощность и др., - осмыслить роль этих понятий в математике и ее
развитии.
Третья глава «Функции» посвящена углублению и обобщению
школьных знаний о числовых функциях на основе теоретикомножественных
представлений. Ее изучение позволяет познакомиться
с трактовками понятия функции, которые используются в различных
вузовских курсах математики, и причинами их сосуществования.
Четвертая глава «Элементы теории равносильности уравнений и
неравенств» посвящена углублению знаний о теоретических и методологических
основах решения основных видов школьных алгебраи5
Стр.5
ческих задач: решение уравнений (неравенств, систем), доказательство
неравенств. Умение решать эти задачи является базовым для решения
математических задач в вузе.
Все эти разделы являются традиционными для содержания вводных
курсов математики в вузе [24], [25], [36]. Основными отличиями
авторского подхода являются: проблемное изложение, тесная связь с
содержанием школьного курса математики, обучение через задачи и
ориентация на модульно-рейтинговую систему образования.
Весь материал, изложенный в том или ином параграфе, помогает
найти ответы на ключевые вопросы, поставленные в его начале.
В структуре параграфа нет традиционного разделения учебного материала
на «теоретический» и «задачный». Постановка задач и демонстрация
их решения осуществляются в ходе развертывания теории.
Задачи выступают средством мотивации к получению новых знаний,
играют подводящую роль, иллюстрируют содержание и особенности
применения теоретических фактов, выступают основой раскрытия
способов и области использования теории. Постановка творческих
заданий осуществляется в ходе изложения содержания параграфов.
Это призвано подчеркнуть связь их тематики с основным содержанием
курса. Требования к оформлению результатов выполнения
творческих заданий представлены в Приложении 1, а необходимая
литература - в библиографическом списке. Каждый параграф заканчивается
постановкой заданий для самостоятельной работы. Систематическое
выполнение этих заданий позволит подготовиться к итоговой
контрольной работе. Примерное содержание заданий контрольной
работы представлено в Приложении 2.
6
Стр.6