Приведены примеры численного моделирования, реализованные в среде Mathcad. <...> Первый раздел посвящен вопросам построения математических моделей механических систем в форме задачи Коши. <...> Особое внимание уделено различным методам получения дифференциальных уравнений движения механических систем. <...> Во втором разделе рассмотрены методы численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), а также функции математического программного приложения MathCAD, предназначенные для этих целей. <...> В остальных разделах рассмотрены примеры численного моделирования различного рода механического движения – движение в поле тяжести, в центрально-симметричных полях и механические колебания. <...> Такая модель в классической механике представляется в виде совокупности взаимодействующих бесструктурных элементов – материальных точек и (или) абсолютно твердых тел. <...> Описание механических систем в виде систем материальных точек или абсолютно твердых тел не всегда возможно. <...> Если механическая система представлена в виде системы материальных точек или абсолютно твердых тел, то для её моделирования используются обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка (системы с сосредоточенными параметрами), в случае модели сплош4 ной среды (системы с распределенными параметрами) необходимы дифференциальные уравнения с частными производными. <...> К прямой задаче механики можно отнести задачу финитного управления механической системой и задачи, связанные с определением сил реакций связей в механизмах. <...> Если элементы системы необходимо представить не только материальными точками, но и в виде недеформируемых твердых тел, то следует воспользоваться также дифференциальными уравнениями вращений этих тел с производными второго порядка от углов поворота или первого порядка от проекций угловых скоростей. <...> Упомянутые методы построения систем дифференциальных уравнений, описывающих динамику механической <...>
Численное_моделирование_механического_движения.pdf
УДК 531.01
ББК 22.21
Т 45
Рекомендовано к изданию учебно-методическим советом
Северного (Арктического) федерального университета
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической
физики САФУ им. М.В. Ломоносова М.К. Ессеев;
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры микросистемой
техники и цифровых технологий САФУ им. М.В. Ломоносова
Тягунин А.В.
Т45
Титов, А.К.
Численное моделирование механического движения: учебное пособие
/ А.К. Титов; Сев. (Арктич.) федер. ун-т им. М.В. Ломоносова
(Архангельск). – Архангельск: САФУ, 2017. –118 с.
ISBN 978-5-261-01162-0
Рассмотрены вопросы численного моделирования механического
движения. Изложены основы математических методов моделирования
в механике. Приведены примеры численного моделирования, реализованные
в среде Mathcad.
Предназначено для студентов инженерно-технических специальностей
и преподавателей-физиков.
УДК 531.01
ББК 22.21
ISBN 978-5-261-01162-0
© Титов А.К., 2017
© Северный (Арктический)
федеральный университет
им. М.В. Ломоносова, 2017
2
Стр.3
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .......................................................................................................... 3
1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ
СИСТЕМ .......................................................................................................... 4
1. Прямая и обратная задачи механики. Задача Коши и краевые
задачи .......................................................................................................... 4
1.2. Второй закон Ньютона ............................................................................. 8
1.3. Первые интегралы движения. Общие теоремы механики .................. 11
1.4. Уравнения динамики абсолютно твердого тела .................................. 17
1.5. Уравнения Лагранжа 2-го рода ............................................................. 23
1.6. Уравнения Гамильтона ........................................................................... 28
2. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
МЕХАНИКИ .................................................................................................. 32
2.1. Решение нелинейных уравнений .......................................................... 33
2.2. Алгоритмы численного решения задачи Коши для
обыкновенных дифференциальных уравнений ................................... 39
3. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ
ВОЗДУХА ...................................................................................................... 54
3.1. Математическая модель движения ....................................................... 54
3.2. Моделирование движения в среде Mathcad ......................................... 56
4. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ ................... 59
4.1. Задача двух тел ........................................................................................ 59
4.2. Центрально-симметричное поле ........................................................... 61
4.3. Дифференциальные уравнения движения ............................................ 62
4.4. Качественный анализ движения частицы в центральном поле ......... 65
4.5. Движение в кулоновском поле (гравитационное поле Земли) .......... 66
4.6. Пример трехмерного отображения орбит в Mathcad .......................... 69
4.7. Движение в поле Леннард–Джонса ...................................................... 73
5. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ДВУХ СИЛОВЫХ ЦЕНТРОВ .............................. 79
5.1. Математическая модель движении тела в поле двух
неподвижных центров ............................................................................ 79
5.2. Вычисления в Mathcad ........................................................................... 82
5.3. Движение в неинерциальной системе отсчета .................................... 85
5.4. Вычисления в MathCAD для неинерциальной системы отсчета ....... 89
117
Стр.118
6. МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ........................ 94
6.1. Математическая модель физического маятника ................................. 94
6.2. Моделирование движения стержня с закрепленной осью ................. 96
6.3. Вынужденные колебания пружинного маятника ................................ 99
6.4. Численное моделирование колебаний пружинного маятника ......... 101
6.5. Анимация вынужденных колебаний груза на пружине ................... 104
7. МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ДВОЙНОГО МАЯТНИКА .......... 109
7.1. Математическая модель колебаний двойного маятника .................. 109
7.2. Анимационная модель движения плоского двойного маятника .... 111
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ............................................................................... 116
118
Стр.119