«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ
РАБОТЫ ПО ТЕМЕ:
«ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ,
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ»
Учебно-методическое пособие
Издательский дом ВГУ
2016
Воронеж
Стр.1
Введение
Понятие предела последовательности и предела функции лежит
в основе современного понимания математического анализа. Умение
вычислять пределы используют на протяжении всего курса математического
анализа. Задачи с теоретическим содержанием позволяют
глубже понимать суть вопроса. Данная методическая разработка предназначена
для домашней контрольной работы. Примеры решаются
с помощью основных типовых методов, изложенных в [2]. Желаем
успехов.
3
Стр.3
Вариант 3
Пользуясь определением предела последовательности, доказать.
n
sin
1. limn→∞
n + 1
2n = 0,
2. limn→∞
6n + 5
2n + 1 = 3.
Вычислить пределы последовательностей.
3. limn→∞
5. limn→∞(n − 3√n3 − 5)n√n,
(3 − n)4 − (2 − n)4
(1 − n)3 − (1 + n)3 , 4. limn→∞
6. limn→∞(1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1)
n + 1
Вычислить пределы функций.
7. limx→−1
9. limx→0
(x3 − 2x − 1)(x + 1)
x4 + 4x2 − 5
3x2 − 5x
sin 3x
,
11. limx→∞(x2 − 1
x2
13. limx→0
)x4
62x − 7−2x
sin 3x − 2x,
15. limx→0 (1 + x · 2x
1 + x · 3x) 1
x2
,
,
,
√x2 − x
8. limx→1 √x2 − 1
3
10. limx→1
,
1 + cos 3x
sin2 7x
12. lim
x→ π
2
,
2cos2 x − 1
ln sin x
14. limx→−1 sin(x + 1),
x3 + 1
16. limx→1 (2x − 1
x )
17. Доказать, что limx→0 cos(x − 2) не существует.
6
√3 x−1
1
.
,
√n3 + 1 −√n − 1
√n3 + 1 −√n − 1
3
− 2n + 1
2 ) .
,
Стр.6
Вариант 4
Пользуясь определением предела последовательности, доказать.
1. limn→∞
cos(n2 − 1)
ln n
= 0,
3. limn→∞
(1 − n)4 − (1 + n)4
(1 + n)3 − (1 − n)3 ,
5. limn→∞(√(n2 + 1)(n2 − 4) −√n4 − 9),
Вычислить пределы функций.
7. limx→1 x3 + 2x2 − x − 2,
1 − cos2x
(2x2 − x − 1)2
9. limx→0 cos 7x − cos 3x,
,
13. limx→0 sin 2x − sin x,
2
15. limx→0(2 − 3x)sin x ,
17. Доказать, что limx→0 cos 1
8. limx→3
2. limn→∞
2n − 5
3n + 1 = 2
Вычислить пределы последовательностей.
4. limn→∞ √n8 ++n + 1 − n
4
√n2 − 1 + 7n2
3
6. limn→∞
2n+1 + 3n+1
2n + 3n .
,
3.
√x + 13 − 2√x + 1
x2 − 9
10. lim
x→ π
4
11. limx→∞(x − 1
x + 3)x+2
e5x − e3x
1 − sin 2x
(π − 4x)2 ,
12. limx→2 sin ln(x − 1),
14. limx→a
tg x − tg 2
tg x − tg a
ln x − ln a ,
16. limx→2 (cos x
cos 2) 1
x не существует.
x−2 .
,
7
Стр.7
Вариант 5
Пользуясь определением предела последовательности, доказать.
1. limn→∞ √n + 1
tg (1 − 1
n)
= 0,
2. limn→∞
3. limn→∞
5. limn→∞√(n5 − 8) − n√n(n2 + 5)
√n
(6 − n)2 − (6 + n)2
(6 + n)2 − (1 − n)2 ,
,
Вычислить пределы функций.
7. limx→−3
(x2 + 2x − 3)2
x3 + 4x2 + 3x ,
9. limx→0 tg(π(2 + x)),
4x
11. limx→∞(2x2 + 2
2x2 + 1)x2
13. limx→0
32x − 53x
arctg x + x3 ,
15. limx→0 (1 + sin x cos αx
1 + sin x cos βx)ctg3 x
,
,
8. limx→−2
10. limx→1
√x − 6 + 2
x3 + 8
3
,
1 + cos πx
tg2 πx
12. lim
x→ π
2
14. limx→0
,
√1 + sin x −√1 + tg x
x3
etg 2x − e−sin 2x
1 − sin x
16. limx→8 (2x − 7
x + 1 )
17. Доказать, что limx→0 sgn x не существует.
√3 x−2
1
.
,
,
7n − 1
n + 1 = 7.
Вычислить пределы последовательностей.
4. limn→∞
6. limn→∞
√3n − 1 − 3√125n3 + n
√n − n
5
1 + 2 + 3 + · · · + n
√9n4 + 1
.
,
8
Стр.8
Вариант 6
1. limn→∞ 3n = 0,
Пользуясь определением предела последовательности, доказать.
n
2. limn→∞
4n2 + 1
3n2 + 2 = 4
3.
Вычислить пределы последовательностей.
3. limn→∞
(n + 1)3 − (n − 1)2
(n − 1)3 − (n + 1)2 ,
5. limn→∞(√n2 − 3n + 2 − n),
4. limn→∞ (n + 4√n)√9 + n2
6. limn→∞
Вычислить пределы функций.
7. limx→−1
(x3 − 2x − 1)2
x4 + 2x + 1
9. limx→0 tg(2π(x + 0, 5)),
2x
11. limx→∞( 3x2 − 6x + 7
3x2 + 20x − 1)−x+1
13. limx→0
15. limx→1
e2x − e3x
tg x − x2 ,
1 − x
ln x ,
17. Доказать, что limx→0
tg x
|x|
,
8. limx→16 √√x − 2
4
10. lim
x→ π
2
, 12. lim
x→ π
x − 4,
tg 3x
tg x ,
14. limx→0 sin ax − sin bx,
1
2 (6x − π)2 ,
eax − ebx
ln sin 3x
16. lim
x→ π
4
не существует.
(tg x)
cos(3π
4 −x) .
n√n − 3√27n6 + n2
,
1 + 3 + · · · + (2n − 1)
1 + 2 + · · · + n
.
9
Стр.9
Вариант 7
1. limn→∞
Пользуясь определением предела последовательности, доказать.
9 − n3
n2
n! = 0,
2. limn→∞ 1 + 2n3 = −1
2.
Вычислить пределы последовательностей.
3. limn→∞
(1 + 2n)3 − 8n3
(1 + 2n)2 + 4n2 ,
5. limn→∞(n + 3√4 − n3),
4. limn→∞ √4n4 + 1 − 3
4
6. limn→∞(1 + 3 + · · · + (2n − 1)
n + 3
√n + 2 −√n2 + 2
√n4 − 1
Вычислить пределы функций.
7. limx→0
9. limx→0
(1 + x)3 − (1 + 3x)
x + x5
1 − cos3 x
4x2
,
11. limx→∞(x2 − 3x + 6
x2 + 5x + 1)x
3
13. limx→0 x − sin 9x,
35x − 2x
15. limx→0(1 + ln(1 + 3√x))sin4 3√x ,
x
,
,
8. limx→8
√9 + 2x − 5
√x − 2
3
10. limx→π
,
sin2 x − tg2 x
(x − π)4
12. limx→∞ √2x − sin x
14. limx→0
− 1
,
√1 + x sin x − 1
ex2
x − 3√x3 + 7
16. limx→1 (2x − 1
x )
17. Доказать, что limx→0 x sin x не существует.
√3 x−1
1
.
,
,
,
− n) .
10
Стр.10