Классификация событий Для изучения и описания реальных событий, характеризую щих различные случайные явления, рассмотрим математическую схему абстрактных событий и классифицируем эти события. <...> Тогда X 7 — невозможное событие, X 6 — достоверное событие, X — число четное — случай ное событие. <...> Элементарным событием ω называется непосредственный ис ход эксперимента E. <...> Множество всех элементарных событий называется простран ством элементарных событий и обозначается Ω. <...> Произведение событий также обозначается несколькими спо Πk k Логические обозначения: A и B, A и B и C. <...> На диаграмме Венна произведение событий AB изображается общей частью областей, изображающих события A и B (рис. <...> Роль достоверного события I во многом похожа на роль едини цы, а роль невозможного события — на роль нуля 0. <...> Алгебра событий Очевидно, что ABC = , т. е. все три события несовместны в сово купности, но попарно совместны. и – Несовместными будут все элементарные события, события A A. <...> Полной группой событий называется мно жество событий, сумма которых есть достоверное событие: A1 + A2 + . <...> Примерами полной группы событий являются все элементар ные события ω пространства Ω. <...> На диаграмме Венна полная группа событий заполняет весь квадрат. <...> События A и – A также образуют полную группу. <...> Заметим, что элементарное событие ω эксперимента E обладает характеристическим свойством, которое может служить определением элементарного события: каким бы ни было событие A, порожденное экспериментом E, всегда либо ω⊂ A, либо ω⊂ . <...> A) = (AI + AB) + – AB = A(I + B) + – AB = Глава 2 ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ Вероятность — второе фундаментальное понятие в теории ве роятностей после случайного события. <...> Вероятность реального события есть мера его объективной воз можности. <...> Относительная частота события и ее свойства Рассмотрим опыт E, который можно повторять неоднократно. <...> Относительная частота события A обозначается символом P*(A). <...> Таким образом, P*(A) = . — n µ (1.1) Практика <...>
Теория_вероятностей._Опорный_конспект.pdf
УДК 519.2(075.8)
ББК 22.17я73
М17
Электронные версии книг
на сайте www.prospekt.org
М17
Максимов Ю. Д.
Теория вероятностей : опорный конспект. — Москва : Проспект,
2015. — 88 с.
ISBN 978-5-392-18667-9
Данное учебное пособие представляет собой опорный конспект, посвященный
теории вероятностей. Вводятся и изучаются фундаментальные понятия — случайное
событие, вероятность, случайная величина, функциональные, графические и числовые
характеристики случайных величин. Учебное пособие может быть использовано
как студентами технических и экономических вузов для первичного ознакомления с
материалом, закрепления полученных знаний и навыков, восстановления ранее изученного,
так и преподавателями.
УДК 519.2(075.8)
ББК 22.17я73
Издательство не несет ответственности за достоверность, полноту и актуальность
содержания произведения. Из содержания этого произведения не могут вытекать
никакие правовые притязания к Издательству.
Учебное издание
Максимов Юрий Дмитриевич
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Опорный конспект
Печать офсетная. Печ. л. 5,5. Тираж 500 (1-й завод 100) экз. Заказ №.
ООО «Проспект»
Оригинал-макет подготовлен компанией ООО «Оригинал-макет»
www.o-maket.ru; тел.: (495) 726-18-84
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.60.953.Д.004173.04.09 от 17.04.2009 г.
Подписано в печать 16.03.2015. Формат 60×90 1
/16
111020, г. Москва, ул. Боровая, д. 7, стр. 4.
ISBN 978-5-392-18667-9
© Максимов Ю. Д., 2015
© ООО «Проспект», 2015
Стр.2
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ..........................................................................
Глава 1. Алгебра событий .......................................................
§ 1. Предмет теории вероятностей .........................................
§ 2. Классификация событий ................................................
§ 3. Действия над событиями ................................................
Контрольные вопросы и задачи для самопроверки ......................
Глава 2. Вероятность события .................................................
§ 1. Относительная частота события и ее свойства....................
§ 2. Статистическое определение вероятности .........................
§ 3. Аксиоматическое определение вероятности ......................
§ 4. Классическое определение вероятности ............................
§ 5. Геометрическое определение вероятности .........................
§ 6. Субъективное определение вероятности ...........................
Контрольные вопросы и задачи для самопроверки ......................
Глава 3. Комбинаторика .........................................................
§ 1. Комбинаторный принцип «умножения» ...........................
§ 2. Размещения (Arrangements, англ.) ..................................
§ 3. Перестановки (Permutations, англ.) .................................
§ 4. Сочетания (Combinations, англ.) ......................................
§ 5. Размещения с повторениями (Variationen mit Wiederholung,
нем.)............................................................................
Контрольные вопросы и задачи для самопроверки ......................
Глава 4. Алгебра вероятностей ................................................
§ 1. Условная вероятность ....................................................
§ 2. Правило умножения вероятностей...................................
§ 3. Независимость событий. Правило умножения вероятностей
взаимно независимых событий........................................
§ 4. Правила сложения вероятностей .....................................
§ 5. Формулы полной вероятности и Байеса ............................
§ 6. Схема Бернулли проведения независимых испытаний. Би
номиальная вероятность ................................................
§ 7. Приближенная формула Пуассона для вычисления биноми
альной вероятности .......................................................
Контрольные вопросы и задачи для самопроверки ......................
Глава 5. Одномерная случайная величина ................................
§ 1. Определение случайной величины ...................................
§ 2. Дискретная случайная величина .....................................
3
4
4
4
6
9
10
10
11
12
13
15
16
16
18
18
19
20
21
22
24
25
25
25
26
28
29
30
31
32
33
33
34
Стр.83
84
Содержание
§ 3. Числовые характеристики дискретной случайной величины
§ 4. Производящая функция (вероятностей) ...........................
§ 5. Биномиальное, Пуассона, геометрическое распределения ...
§ 6. Непрерывная случайная величина...................................
§ 7. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
§ 8. Нормальное, показательное, равномерное распределения ...
Контрольные вопросы и задачи для самопроверки ......................
Глава 6. Двумерная случайная величина ..................................
§ 1. Двумерная случайная величина, ее функция распределения
§ 2. Дискретная двумерная случайная величина, ее таблица рас
пределения...................................................................
§ 3. Непрерывная двумерная случайная величина. Плотность
вероятности..................................................................
§ 4. Примеры двумерных непрерывных распределений ............
§ 5. Зависимость и независимость двух случайных величин ......
§ 6. Математическое ожидание функции двумерной случайной
величины .....................................................................
§ 7. Корреляционный момент и коэффициент корреляции........
Контрольные вопросы и задачи для самопроверки ......................
Глава 7. nмерная случайная величина ....................................
§ 1. Основные определения ...................................................
§ 2. Числовые характеристики nмерной случайной величины
Контрольные вопросы и задачи для самопроверки ......................
Глава 8. Предельные теоремы..................................................
§ 1. Неравенства Маркова и Чебышёва ...................................
§ 2. Теоремы Чебышёва и Бернулли. Сходимость по вероятности
§ 3. Центральная предельная теорема для случая одинаково рас
пределенных слагаемых .................................................
Контрольные вопросы и задачи для самопроверки ......................
Литература ...........................................................................
Таблица значений нормированной функции Лапласа ..................
Перечень компетенций (знаний, умений и навыков), которыми дол
жен овладеть студент, изучив теорию вероятностей ....................
Образцы задач для контрольных работ ......................................
Ответы и решения задач для самопроверки ................................
Ответы к образцам задач для контрольных работ .......................
36
40
41
44
46
48
54
55
55
56
58
59
60
62
63
66
68
68
69
70
71
71
72
73
75
76
77
78
80
81
82
Стр.84