ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ Учебное пособие Оригинал-макет подготовлен компанией ООО «Оригинал-макет» www.o-maket.ru; тел. <...> Здесь опорный конспект по математике понимается расширительно в той мере, в какой он может заменить минимальный конспект для учащихся. <...> Во второй половине столетия в ней была выделена часть, названная линейной алгеброй, включающая в себя теорию систем линейных уравнений и связанную с ней теорию определителей и матриц. <...> Значение систем линейных уравнений объясняется не только тем, что они являются простейшими системами алгебраических уравнений, но и тем, что их решение составляет существенную часть решения разнообразных практических задач. <...> Матрицы и определители были введены в рассмотрение для решения и исследования систем линейных уравнений. <...> Элементарными преобразованиями над системой линейных уравнений вида (1.1) называются: 1) перестановка местами двух любых ее уравнений; 2) умножение всех членов любого уравнения системы на любое отличное от нуля число; 3) почленное сложение любых двух ее уравнений. <...> На практике обычно объединяют последние два элементарных преобразования в одно и рассматривают два основных типа: 1-й тип — перестановка местами уравнений системы; 2-й тип — почленное сложение двух любых ее уравнений, все члены одного из которых предварительно умножены на одно и то же число. <...> При т = п матрица А называется квадратной матрицей п-го , коэффициентом при котором является aik =1 2, , . , , а все остальные элементы равны нулю. <...> Квадратная матрица называется единичной, если ее элементы aii =1, i системы (1.1) удобно объединить в пря Раздел 1. <...> 13 той матрице A1 * основан метод Гаусса, или метод последовательного На приведении расширенной матрицы А* системы (1.1) к ступенча Раздел 1. <...> Метод Гаусса не дает явных формул, выражающих решение системы линейных уравнений через элементы ее расширенной матрицы. <...> Проблема отыскания таких формул приводит к понятию определителя. <...> Пусть дана квадратная матрица 2-го <...>
Линейная_алгебра_и_аналитическая_геометрия._Опорный_конспект.pdf
УДК [512.8+516.0](075.8)
ББК 22.12ÿ73
Ë59
Электронные версии книг
на сайте www.prospekt.org
Авторы:
Â. È. Антонов — ä-ð òåõí. íàóê, ïðîô.;
Ì. Â. Лагунова — êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîö.;
Í. È. Лобкова — êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô.;
Þ. Ä. Максимов — êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô.;
Â. Ì. Ñåì¸íîâ — êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîö.;
Þ. À. Хватов — êàíä. òåõí. íàóê, ïðîô.
Ë59
Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Опорный конспект:
ó÷åá. ïîñîáèå. — Москва : Ïðîñïåêò, 2015. — 144 ñ.
ISBN 978-5-392-16893-4
Книга представляет собой учебное пособие по курсу линейной алгебры
и аналитической геометрии. В ней собраны и объяснены базовые понятия,
определения и формулировки, а также содержатся разобранные примеры, типовые
задачи и вопросы для самопроверки.
Учебное пособие предназначено для начального и быстрого ознакомления с
курсом линейной алгебры и аналитической геометрии, а также для повторения и
закрепления ранее изученного материала.
Для студентов и преподавателей вечерних, заочных и дневных отделений как
технических, так и экономических вузов.
УДК [512.8+516.0](075.8)
ББК 22.12ÿ73
Учебное издание
Антонов Валерий Иванович,
Лагунова Марина Витальевна,
Лобкова Наталья Ивановна и др.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ
Учебное пособие
Оригинал-макет подготовлен компанией ООО «Оригинал-макет»
www.o-maket.ru; òåë.: (495) 726-18-84
Печать öèôðîâàÿ. Ïå÷. ë. 9,0. Тираж 50 ýêç. Заказ ¹
ООО «Проспект»
¹ 77.99.60.953.Ä.004173.04.09 от 17.04.2009 ã.
Подписано в печать 15.08.2014. Формат 60ƀ90 1
Санитарно-эпидемиологическое заключение
/16
111020, ã. Ìîñêâà, óë. Áîðîâàÿ, ä. 7, ñòð. 4.
.
ISBN 978-5-392-16893-4
© Коллектив àâòîðîâ, 2010
© ООО «Ïðîñïåêò», 2010
Стр.2
содержАНие
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Введение к курсу математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
раздел 1. лиНеЙНАЯ АлГеБрА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
Глава 1. определители и системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
§ 1. Системы линейных уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса . . . . . . . . . .8
§ 2. Определители 2 и 3-го порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
§ 3. Определители высших порядков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
Глава 2. Матрицы и действия с ними. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
§ 1. Линейные операции с матрицами и их свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
§ 2. Операция умножения матриц и ее свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
§ 3. Операция транспонирования матриц и ее свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
§ 4. Обратная матрица. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
§ 5. Понятие о ранге матрицы. Ранг ступенчатой матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Глава 3. общая теория линейных систем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
§ 1. Крамеровские системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
§ 2. Решение произвольных систем линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
§ 3. Однородные системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
Дополнение к разделу 1 «Линейная алгебра» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
раздел 2. веКТорНАЯ АлГеБрА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
Глава 1. линейные операции над векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
§ 1. Понятие вектора. Равные векторы. Коллинеарные
и компланарные векторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
§ 2. Операция сложения векторов и ее свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
§ 3. Операция умножения вектора на число и ее свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
§ 4. Понятие линейной зависимости и линейной независимости системы
векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
§ 5. Геометрический смысл линейной зависимости векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . .67
§ 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система
координат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
§ 7. Полярная система координат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73
§ 8. Задача о делении отрезка в данном отношении. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75
Глава 2. операции умножения векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
§ 1. Проекция вектора на ось и ее свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
§ 2. Скалярное произведение двух векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78
§ 3. Векторное произведение двух векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81
§ 4. Смешанное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
138
Стр.138
§ 5. Векторное и смешанное произведения векторов,
заданных разложениями в прямоугольном базисе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
раздел 3. АНАлиТиЧесКАЯ ГеоМеТриЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Глава 1. Геометрия прямых и плоскостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
§ 1. Понятие об уравнении плоской линии. Алгебраические линии.
Теорема об инвариантности порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
§ 2. Прямая как линия первого порядка. Общее управление прямой
на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через данную точку
перпендикулярно заданному вектору . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91
§ 3. Различные виды задания прямой на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92
§ 4. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Вычисление
угла между двумя прямыми. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
§ 5. Расстояние от точки до прямой на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97
§ 6. Понятие об уравнении поверхности. Алгебраические поверхности.
Теорема об инвариантности порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
§ 7. Плоскость как поверхность первого порядка. Общее уравнение
плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
перпендикулярно заданному вектору . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
§ 8. Расстояние от точки до плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
§ 9. Уравнения линии в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
§ 10. Различные виды уравнений прямой в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
§ 11. Взаимное расположение прямой и плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110
Глава 2. Кривые второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
§ 1. Общее уравнение линии второго порядка. Классификация
линий второго порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
§ 2. Эллипс и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114
§ 3. Гипербола и ее свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
§ 4. Парабола и ее свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
Глава 3. Поверхности второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
§ 1. Общее уравнение поверхности второго порядка. Классификация
поверхностей второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
§ 2. Эллипсоид . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
§ 3. Гиперболоиды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
§ 4. Конус второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
§ 5. Параболоиды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
§ 6. Цилиндры второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
§ 7. Поверхности вращения второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Дополнение к разделам 2—3 «Векторная алгебра» и
«Аналитическая геометрия» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
ЛИТЕРАТУРА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
СОДЕРЖАНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Стр.139