Высшая математика в вопросах и ответах (5000,00 руб.)

Стр.2

Стр.166

Стр.167

Стр.168

Стр.169

Стр.170

Стр.171

Стр.172

Стр.173

Стр.174

Стр.175

Стр.176

УДК 51(075.8) ББК 22.1ÿ73 Ê82 Электронные версии книг на сайте www.prospekt.org Под редакцией доктора физико-математических наук, профессора, академика РАН Â. À. Ильина Крицков Ë. Â. Высшая математика в вопросах и ответах: учеб. пособие / под ред. Ê82 Â. À. Èëüèíà. — Москва : Ïðîñïåêò, 2014. — 176 ñ. ISBN 978-5-392-14372-6 Данное пособие предлагает краткое изложение курса высшей математики для студентов вузов. Учебный материал изложен в удобной форме ответов на ключевые вопросы и содержит такие разделы, как аналитическая геометрия, математический анализ, дифференциальные уравнения и т. д. В пособии приведены все основные определения и утверждения курса, многие из которых снабжены примерами, разъяснениями и иллюстрациями. Для студентов, обучающихся по техническим специальностям. УДК 51(075.8) ББК 22.1ÿ73 Учебное издание Крицков Леонид Владимирович ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ Учебное пособие Оригинал-макет подготовлен компанией ООО «Оригинал-макет» www.o-maket.ru; òåë.: (495) 726-18-84 Санитарно-эпидемиологическое заключение ¹ 77.99.60.953.Ä.004173.04.09 от 17.04.2009 ã. Подписано в печать 25.02.2014. Формат 60ƀ90 1 111020, ã. Ìîñêâà, óë. Áîðîâàÿ, ä. 7, ñòð. 4. /16 . Печать îôñåòíàÿ. Ïå÷. ë. 11,0. Тираж 500 ýêç. Заказ ¹ ООО «Проспект» ISBN 978-5-392-14372-6 © Ë. Â. Êðèöêîâ, 2014 © ООО «Ïðîñïåêò», 2014

Стр.2

СОДЕРЖАНИЕ Глава 1. Вещественные числа. Множества вещественных чисел ....................................................3 Какие основные числовые множества рассматриваются в математике? .............................................................................3 Что такое рациональное число? .................................................3 Что относят к основным свойствам рациональных чисел? ........4 Какую роль играют бесконечные десятичные дроби при введении понятия вещественного числа? ............................5 Как сравнить вещественные числа? ...........................................5 Какие множества вещественных чисел называют ограниченными? .........................................................................6 Что называют точной верхней и точной нижней гранями множест ва? .................................................................................6 Как определить сумму и произведение вещественных чисел? .........................................................................................7 Какими свойствами обладают вещественные числа? .................8 В чем заключается аксиоматический метод введения вещественных чисел? .................................................................8 Какие типы множеств вещественных чисел часто используются в математике? ......................................................8 Глава 2. Системы координат и их простейшие применения ............................................................... 10 Что называют осью? ................................................................. 10 Что такое направленный отрезок на оси и его величина? ........ 10 Какие направленные отрезки называют равными? .................. 10 Какие операции над направленными отрезками называют линейными? ............................................................. 10 Как вводятся декартовы координаты на прямой? .................... 11

Стр.166

Содержание 167 Как найти величину и длину заданного направленного отрезка на оси? ......................................................................... 11 Как вводятся декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве? ............................................... 12 Как найти расстояние между точками на плоскости и в пространстве? ..................................................................... 13 Как найти координаты точки, делящей заданный отрезок в известном отношении? ............................................. 13 Как вводятся полярные координаты на плоскости? ................. 14 Как вводятся цилиндрические координаты в пространстве? ... 14 Как вводятся сферические координаты в пространстве? ......... 15 Что такое комплексные числа и как определяются алгебраические операции над ними? ........................................ 15 Какими основными свойствами обладают комплексные числа? ................................................................. 16 Что называется алгебраической формой записи комплексного числа? ................................................................ 17 В чем состоит операция сопряжения комплексных чисел и какими свойствами она обладает? ............................... 17 Как изображаются комплексные числа? .................................. 17 Что называется тригонометрической формой записи комплексного числа? ................................................................ 18 Как можно использовать тригонометрическую форму записи при умножении и делении комплексных чисел? .......... 18 Как извлекается корень степени n из комплексного числа? .... 19 Глава 3. Определители и системы линейных уравнений ................................................................. 20 Что называют квадратной матрицей? ...................................... 20 Что называют определителем второго порядка? ...................... 20 Как можно использовать определители второго порядка для исследования и отыскания решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными? ......................... 20 Что называют определителем третьего порядка? ..................... 21 Какими основными свойствами обладают определители? ....... 22

Стр.167

168 Содержание Как можно свести определитель третьего порядка к вычислению определителей второго порядка? ...................... 23 Как можно использовать определители третьего порядка для отыскания решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными? .......................................... 24 Как можно использовать определители для отыскания решений однородной системы двух линейных уравнений с тремя неизвестными? ............................................................. 25 Как можно использовать определители для исследования однородной системы трех уравнений с тремя неизвестными? .........................................................................25 Что можно сказать о множестве решений неоднородной системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными, если ее определитель равен нулю? ............................................ 26 Как можно ввести определители любого порядка? .................. 26 В чем состоит метод Гаусса исследования и отыскания решения линейной системы? ...................................................27 Глава 4. Векторная алгебра ........................................ 30 Что такое геометрический вектор? ........................................... 30 Какие операции над векторами принято называть линейными?..............................................................................30 Какими свойствами обладают линейные операции над векторами? ......................................................................... 31 В чем состоит критерий коллинеарности двух векторов?......... 31 Что такое проекция вектора на ось и каковы ее основные свойства? .............................................................. 31 Как определяются декартовы прямоугольные координаты вектора? ................................................................ 32 Что называется скалярным произведением векторов? ............. 32 Какими свойствами обладает скалярное произведение? .......... 33 Как найти скалярное произведение векторов, зная их координаты? ........................................................................ 33 Как определяется ориентация тройки векторов в пространстве? ........................................................................ 34 Что называется векторным произведением векторов? ............. 35 Что называется смешанным произведением векторов? ........... 35

Стр.168

Содержание 169 В чем состоит геометрический смысл векторного произведения? ..........................................................................35 В чем состоит геометрический смысл смешанного произведения? ..........................................................................36 Какими алгебраическими свойствами обладают векторное и смешанное произведения? ...................................36 Как найти векторное и смешанное произведения, зная координаты перемножаемых векторов? ...........................37 Что называют двойным векторным произведением? ............... 37 Глава 5. Преобразование декартовых прямоугольных координат ................................................................. 38 Как меняются координаты точки на плоскости при параллельном переносе системы координат и при повороте системы координат вокруг начала? ................. 38 Как меняются координаты точки в пространстве при параллельном переносе? .................................................... 39 Как связаны координаты точки пространства в двух произвольных системах координат с общим началом? ............ 39 Глава 6. Основы аналитической геометрии .................. 41 Что называется алгебраической линией n-го порядка? ............ 41 Что называется алгебраической поверхностью n-го порядка? ............................................................................ 41 Как можно описать линию в пространстве? ............................. 42 Как можно задать прямую линию на плоскости? ..................... 42 Как выяснить взаимное расположение двух прямых на плоскости? ........................................................................... 43 Как с помощью нормированного уравнения прямой найти расстояние от точки до прямой? .................................... 45 Как можно задать плоскость в пространстве? .......................... 45 Как выяснить взаимное расположение двух плоскостей? ........ 46 Как с помощью нормированного уравнения плоскости найти расстояние от точки до плоскости? ................................ 47 Как можно задать прямую линию в пространстве? .................. 47 Как выяснить взаимное расположение двух прямых в пространстве? ........................................................................ 48

Стр.169

170 Содержание Как выяснить взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве? .................................................... 49 Что называют стандартным упрощением уравнения линии второго порядка? ........................................................... 50 Какие линии второго порядка называют центральными? ........ 50 Какие центральные линии второго порядка относятся к эллиптическому типу, а какие — к гиперболическому? ......... 51 Какая линия называется эллипсом и каковы его основные свойства? .................................................................................. 51 Какая линия называется гиперболой и каковы ее основные свойства? .............................................................. 52 Какая линия второго порядка относится к нецентральным и каковы ее основные свойства? .................. 53 Каковы основные типы поверхностей второго порядка? ......... 54 Глава 7. Предел последовательности ........................... 57 Что называют числовыми последовательностями и какие арифметические операции допустимы над ними? ....... 57 Какие последовательности называют ограниченными? ........... 57 Какие последовательности называют бесконечно большими? ................................................................................58 Какие последовательности называют бесконечно малыми? .... 58 Какими основными свойствами обладают бесконечно малые последовательности? ..................................................... 59 Какие последовательности называют сходящимися? ............... 59 Какими основными свойствами обладают сходящиеся последовательности? ................................................................60 Какие последовательности называют монотонными и каким основным свойством они обладают? .......................... 61 Как определяется число е? ....................................................... 61 Что называют предельной точкой последовательности? .......... 62 В чем состоит утверждение теоремы Больцано–Веерштрасса? ..........................................................62 Какие множества называют замкнутыми? ................................ 63 Что называют верхним и нижним пределами последовательности? ................................................................63

Стр.170

Содержание 171 В чем состоит критерий Коши сходимости последовательности? ................................................................63 Глава 8. Функция и ее предел ..................................... 64 Что называется пределом функции в точке? ............................ 64 Что называется односторонним пределом функции в точке? .. 65 Как определяется предел функции при х → ∞? ........................ 66 В чем состоит критерий Коши существования предела функции? .................................................................................. 67 Какими арифметическими свойствами обладают функции, имеющие предел? ..................................................................... 67 Каким образом сравнивают две бесконечно малые и две бесконечно большие функции в данной точке? .............. 68 Глава 9. Непрерывность функции................................ 70 Какая функция называется непрерывной в точке? .................. 70 Что значит, что функция непрерывна на множестве Х? ...........70 Какие свойства непрерывных функций называют локальными? ............................................................................ 71 Какие утверждения характеризуют свойство непрерывной функции принимать любое промежуточное значение? ............ 72 Какие функции называют монотонными и каковы их основные свойства? ............................................................. 73 Что такое сложная функция и какие условия обеспечивают ее непрерывность? .................................................................... 75 Какие функции относятся к простейшим элементарным, как они определяются и каковы их основные свойства? .......... 75 Какой предел называют первым замечательным? .................... 81 Какой предел называют вторым замечательным? .................... 81 Как классифицируются точки разрыва функции? ................... 82 Какие свойства непрерывных функций относятся к ее глобальным свойствам? ..................................................... 83 Глава 10. Основы дифференциального исчисления ....... 85 Что называется производной функции в точке? ...................... 85 Каковы физический и геометрический смыслы производной? ...........................................................................85

Стр.171

172 Содержание Что называют правой и левой производными в точке? ............ 86 Какую функцию называют дифференцируемой в точке? ......... 87 Какая связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке? ....................................... 87 Что называется дифференциалом функции в точке? ............... 87 Как найти производную сложной функции в точке? ............... 88 В чем суть свойства инвариантности формы первого дифференциала? .......................................................................88 Как найти производную обратной функции? ........................... 89 Каковы правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного функций? ......................................... 89 Как найти производные простейших элементарных функций? .................................................................................. 89 Как найти производную степенно-показательной функции? ..................................................................................92 Что называется n-й производной функции? ............................ 92 Как можно найти n-е производные некоторых простейших элементарных функций? ...................................... 93 Какое правило носит название формулы Лейбница? ............... 93 Как определяются второй дифференциал и другие дифференциалы высших порядков? ......................................... 94 Обладают ли дифференциалы высших порядков свойством инвариантности формы? ......................................... 94 Глава 11. Теоремы о дифференцируемых функциях ....... 95 Что означает возрастание или убывание в точке и какие условия обеспечивают такое свойство функции? ........ 95 Что означает наличие у функции локального экстремума в точке и какое условие необходимо для этого свойства? ........ 95 В чем состоит теорема Ролля и каков ее геометрический смысл? ...................................................................................... 96 В чем состоит теорема Лагранжа и каков ее геометрический смысл? ...................................................................................... 96 Каковы основные следствия теоремы Лагранжа?.....................97 В чем состоит теорема Коши? .................................................. 97 Что называют неопределенностью типа 0 0 или типа ∞ ∞ ? ......... 98

Стр.172

Содержание 173 В чем состоит правило Лопиталя? ............................................ 99 Какое соотношение называют формулой Тейлора? .................. 99 Каковы основные разложения по формуле Маклорена? ........ 101 Какие условия достаточны для наличия экстремума в данной точке? ...................................................................... 102 Что называется краевым экстремумом и как его найти? ........ 103 Как определяется направление выпуклости графика функции и что такое точка перегиба?..................................... 103 Как выяснить направление выпуклости графика функции и найти его точки перегиба? .................................... 104 Что называют асимптотами графика функции и как их найти? ....................................................................... 105 Глава 12. Неопределенный интеграл ......................... 106 Что называют первообразной функцией? .............................. 106 Что называют неопределенным интегралом функции? .......... 106 Какими основными свойствами обладает неопределенный интеграл? .................................................... 106 Как выполнить замену переменной в неопределенном интеграле? .............................................................................. 108 В чем состоит метод интегрирования по частям? ................... 108 В чем состоит основной метод интегрирования рациональных дробей? ........................................................... 108 Какие другие классы функций можно проинтегрировать в элементарных функциях? .................................................... 110 Глава 13. Определенный интеграл ............................. 112 Что называется определенным интегралом функции? ........... 112 Какое необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла можно сформулировать с помощью верхних и нижних сумм? ...................................... 113 Каковы основные классы интегрируемых функций? ............. 114 Какими свойствами обладает определенный интеграл? ......... 114 В чем состоит формула Ньютона–Лейбница? ........................ 116 Что называется площадью плоской фигуры? ......................... 117 Как используется определенный интеграл для нахождения площади плоской фигуры? ........................... 117

Стр.173

174 Содержание Как используется определенный интеграл для нахождения объема тела вращения? ................................. 118 Как используется определенный интеграл для нахождения длины спрямляемой кривой? ....................... 119 Какие методы применяются для приближенного вычисления определенных интегралов? ................................. 120 Что называют несобственным интегралом? ........................... 122 Глава 14. Криволинейные интегралы ......................... 124 Что называется криволинейным интегралом первого рода? .......................................................................... 124 Что называется криволинейным интегралом второго рода? .......................................................................... 125 Как свести криволинейные интегралы к определенным интегралам? ............................................................................ 126 В каком случае криволинейный интеграл второго рода не зависит от пути интегрирования и как его при этом можно вычислить? .................................................................. 127 Глава 15. Дифференциальное исчисление функций многих переменных ................................................. 128 Что такое m-мерное евклидово пространство? ....................... 128 Какие основные типы множеств рассматриваются в m-мерном евклидовом пространстве? .................................. 128 Как определяется предел последовательности точек евклидова пространства? ........................................................ 130 Как формулируется критерий Коши сходимости последовательности точек в Rm? ............................................. 130 Как формулируется теорема Больцано–Веерштрасса в Rm? ................................................ 131 Как определяется предел функции m переменных? ............... 131 Какие функции m переменных называются непрерывными? ...................................................................... 132 Какая существует связь между непрерывностью функции m переменных по каждой своей переменной и обычной непрерывностью этой функции? ............................................ 133 Какими основными свойствами обладают непрерывные функции нескольких переменных? ........................................ 134

Стр.174

Содержание 175 Что называется частной производной функции? ................... 135 Какую функцию нескольких переменных называют дифференцируемой? ............................................................... 136 В чем состоит геометрический смысл условия дифференцируемости функции двух переменных? ................ 137 Какие условия достаточны для дифференцируемости функции нескольких переменных? ........................................ 138 В чем состоит правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных? .......................... 138 Что называют дифференциалом функции нескольких переменных и обладает ли он свойством инвариантности своей формы? .............................................. 139 Что называется производной по направлению и как ее найти с помощью градиента функции? .............................. 140 Как определяются частные производные высших порядков? .................................................................. 141 Какие условия обеспечивают независимость значения смешанных частных производных от порядка выполнения дифференцирования? ............................................................. 142 Как определяются дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных? ........................................ 143 Какой вид имеет формула Тейлора для функции нескольких переменных?........................................................ 144 Что называют локальным экстремумом функции нескольких переменных и какое условие для него необходимо? ........................................................................... 145 Какие условия обеспечивают локальный экстремум в стационарной точке функции нескольких переменных? ..... 146 Как найти максимальное и минимальное значение функции нескольких переменных? ........................................ 148 Что называют условным экстремумом функции? ................... 149 Как найти условный экстремум функции? ............................. 149 Глава 16. Двойные и тройные интегралы.................... 151 Как определяется двойной интеграл от функции двух переменных? ................................................................... 151 Для каких функций двух переменных существует двойной интеграл? .................................................................. 153

Стр.175

176 Содержание Какими основными свойствами обладает двойной интеграл? .................................................................. 154 Как свести двойной интеграл к повторному однократному? ........................................................................ 155 Как выполнить замену переменных в двойном интеграле? .............................................................................. 156 Как строится теория тройных интегралов? ............................ 157 Глава 17. Ряды ........................................................ 159 Что называют числовым рядом и как определяется его сумма? ............................................................................... 159 В чем состоит критерий Коши сходимости числового ряда и каковы его следствия? ................................................. 159 В чем состоит специфика изучения числовых рядов с неотрицательными членами? ............................................... 160 Каковы основные признаки сравнения числовых рядов с неотрицательными членами? ............................................... 161 В чем состоят признаки Даламбера и Коши сходимости/расходимости числового ряда? ........................... 161 Что понимается под абсолютной и условной сходимостью числового ряда? ................................................ 162 Что такое степенной ряд и что называют его радиусом сходимости? ............................................................................ 163 Какими свойствами обладает сумма степенного ряда на промежутке сходимости? ................................................... 164 Как разложить функцию в степенной ряд? ........................... 165

Стр.176