Министерство образования и науки России Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технологический университет» М. Х. Бренерман КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Учебное пособие Казань Издательство КНИТУ 2016 УДК 517.5 ББК 22.161 Б 87 Бренерман М. Х. <...> Комплексный анализ : учебное пособие / М. Х. Бренерман; М-во образ. и науки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. <...> Дубровин ISBN 978-5-7882-1871-7 © Бренерман М. Х., 2016 © Казанский национальный исследовательский технологический университет, 2016 Содержание Предисловие . <...> Классический комплексный анализ и был создан такими титанами, как Эйлер, Коши, Гаусс, Риман, и уже поэтому безоговорочно подлежит изучению. <...> Простей1 ший пример: в вещественной области ряд Тейлора функции непонятной причине перестает сходиться при 1 x 2 по x 1 . <...> С одной стороны, для нормального понимания предмета мы включили сведения по топологии комплексной плоскости. <...> В свое оправдание скажем, что знаменитая теорема Римана (наверное, вершина всего классического комплексного анализа!) во всех упомянутых брендах приводится, но не доказывается. <...> При выводе интегральной формулы Коши предполагается аналитичность функции на границе. <...> Комплексная плоскость Введем следующие определения и обозначения. <...> Обычно комплексные числа записываются в виде z a bi или z x i y . <...> Комплексные числа с нулевой вещественной частью вида bi называются чисто мнимыми. <...> 1 Рассматривают также неоднозначно определяемый «большой» аргумент: Arg arg 2 , 0, 1, 2,. z z k k В этом случае для уточнения arg z называют главным значением аргумента. <...> Если в (7) аргумент взят в главном значении: Arg arg Определение 8. <...> Над числами, записанными в тригонометрической форме, удобно производить умножение (деление). <...> Доказать этот факт позволяет тригонометрическая форма записи. <...> Точку xX назовем предельной для множества MX , если любая окрестность точки x содержит в себе хотя бы одну точку <...>
Комплексный_анализ__учебное_пособие.pdf
УДК 517.5
ББК 22.161
Б 87
Бренерман М. Х.
Комплексный анализ : учебное пособие / М. Х. Бренерман;
М-во образ. и науки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань :
Изд-во КНИТУ, 2016. – 127 с.
ISBN 978-5-7882-1871-7
Представлен материал по теории функций комплексной
переменной, соответствующий ФГОС и программе дисциплины
«Комплексный анализ» по специальности 01.03.02 «Прикладная
математика и информатика». Содержит более 250 задач для
практических занятий.
Предназначено студентам всех технических специальностей, по
которым элементы комплексного анализа входят в программу курса
высшей математики, а также преподавателям.
Подготовлено на кафедре высшей математики.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Казанского национального исследовательского технологического
университета.
Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. каф. высшей
математики КГЭУ Ф. Н. Гарифьянов
канд. физ.-мат. наук, доц. каф. математической
статистики К(П)ФУ В. Т. Дубровин
ISBN 978-5-7882-1871-7 © Бренерман М. Х., 2016
© Казанский национальный исследовательский
технологический университет, 2016
Стр.2
Содержание
Предисловие ............................................................................................... 4
Часть 1. Теория
§1. Операции над комплексными числами. Комплексная плоскость . 6
§2. Топология комплексной плоскости ............................................... 12
§3. Дифференцирование функций комплексной переменной ........... 19
§4. Основные элементарные функции комплексной переменной .... 28
§5. Интегрирование функций комплексной переменной ................. 32
§6 Представление аналитических функций рядами .......................... 45
§7. Изолированные особые точки, их классификация. Вычеты ........ 58
§8. Логарифмический вычет. Принцип аргумента ............................. 64
§9. Приложения вычетов к вычислению определенных
интегралов ........................................................................................ 67
§10. Конформные отображения.............................................................. 72
Часть 2. Практические занятия
§11. Операции над комплексными числами.
Области на плоскости ..................................................................... 82
§12. Дифференцируемость функций комплексной переменной.
Условия Коши-Римана .................................................................... 85
§13. Непосредственное интегрирование функций
комплексной переменной. Интегральная формула Коши ........... 91
§14. Ряды Тейлора и Лорана ................................................................... 97
§15. Изолированные особые точки, их классификация ..................... 105
§16. Вычеты. Вычисление интегралов с помощью вычетов ............. 109
Приложение 1. Необходимые справочные сведения из
вещественного анализа............................................... 118
Приложение 2. Образцы контрольных работ ...................................... 123
Приложение 3. Примерная программа экзамена (зачета)
по комплексному анализу .......................................... 125
Литература ............................................................................................. 127
3
Стр.3