Министерство образования и науки России Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технологический университет» О. М. Дегтярева, Р. Н. Хузиахметова, А. Р. Хузиахметова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. <...> Лившиц ISBN 978-5-7882-1912-7 © Дегтярева О. М., Хузиахметова Р. Н., Хузиахметова А. Р., 2016 © Казанский национальный исследовательский технологический университет, 2016 2 ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ Учебное пособие содержит краткие теоретические сведения по курсу высшей математики, подборку практических задач с ответами, помогающих при освоении материала, а также при прохождении промежуточного и итогового тестирования согласно ГОСТам для выпускников технологического университета для следующих блоков линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия, элементы математического анализа для функций одной переменной. <...> 0 0 0 0.1 Квадратная матрица называется симметрической, если аij= aji, т.е. элементы матрицы, симметричные относительно главной диагонали, равны. <...> Треугольной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. <...> Рангом матрицы А называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. <...> Элементарными преобразованиями матрицы называются: 1) транспонирование; 2) перестановка строк (столбцов); 3) вычеркивание строки (столбца), все элементы которой равны нулю; 4) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля; 5) прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца). <...> Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях. <...> Он совпадает с числом ненулевых строк этой матрицы, приведенной с помощью элементарных преобразований к квазитреугольной форме: RgA = r. <...> Матрица А–1 называется обратной для квадратной матрицы А, если АА–1 = А–1А = Е. <...> Элементарными преобразованиями системы называются преобразования <...>
Высшая_математика._Материалы_для_подготовки_бакалавров_и_специалистов__учебное_пособие__в_3_ч._Ч._I..pdf
УДК 517(075)
ББК 22.11я7
Дегтярева О. М.
Высшая математика. Материалы для подготовки бакалавров
и специалистов : учебное пособие : в 3 ч. Ч. I. / О. М. Дегтярева,
Р. Н. Хузиахметова, А. Р. Хузиахметова; М-во образ. и науки России,
Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2016. – 104 с.
ISBN 978-5-7882-1912-7
Содержит краткие теоретические сведения и примеры решения
задач по основным разделам высшей математики.
Адресовано студентам бакалаврской подготовки и специалистам,
обучающимся в КНИТУ.
Подготовлено на кафедре высшей математики.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Казанского национального исследовательского технологического
университета
Рецензенты: д-р техн. наук, проф. КазНЦ РАН Е. К. Вачагина
канд. техн. наук, доц. каф. ЭОП КГЭУ С. А. Лившиц
ISBN 978-5-7882-1912-7 © Дегтярева О. М., Хузиахметова Р. Н.,
Хузиахметова А. Р., 2016
© Казанский национальный исследовательский
технологический университет, 2016
2
Стр.2
СОДЕРЖАНИЕ
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
1.1. Матрицы
1.2. Действия с матрицами
Задачи и упражнения
Ответы
1.3. Определители
Задачи и упражнения
Ответы
1.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений
Задачи и упражнения
Ответы
2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
2.1. Основные понятия. Линейные операции над векторами
2.2. Декартовы координаты вектора
2.3. Скалярное произведение векторов
2.4. Векторное произведение векторов
2.5. Смешанное произведение векторов
Задачи и упражнения
Ответы
3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
И В ПРОСТРАНСТВЕ
3.1. Прямая на плоскости
3.2. Плоскость в пространстве
3.3. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой
и плоскости
3.4. Кривые II порядка
3.5. Преобразования параллельного переноса осей координат
4. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Задачи и упражнения
Ответы
5. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
5.1. Функции одной переменной
5.2. Пределы функции одной переменной
5.3. Непрерывные функции одной переменной
Задачи и упражнения
Ответы
103
3
5
6
8
9
10
11
11
14
17
19
21
23
24
25
26
34
36
37
38
40
42
43
45
49
50
51
54
55
58
Стр.103
6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
6.1. Дифференцируемые функции одной переменной
6.2. Исследование функций одной переменной
Задачи и упражнения
Ответы
7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
7.1. Понятие ФНП
7.2. Частные приращения и частные производные. Полный
дифференциал
7.3. Частные производные высших порядков
7.4. Производные сложных функций
7.5. Неявные функции, их дифференцирование
7.6. Уравнение касательной и нормальной плоскости к кривой в R3
7.7. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
Задачи и упражнения
Ответы
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
59
62
65
78
89
89
90
90
90
91
92
92
97
102
Редактор Е. И. Шевченко
Подписано в печать 29.04.2016
Бумага офсетная
6,5 уч.-изд. л.
Печать ризографическая
Тираж 100 экз.
Формат 60×84 1/16
6,04 усл. печ. л.
Заказ «C» 89
Издательство Казанского национального исследовательского
технологического университета
Офсетная лаборатория Казанского национального
исследовательского технологического университета
420015, Казань, К. Маркса, 68
104
Стр.104