МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Т. Н. Глушакова, К. П. Лазарев, Ю. В. Бондаренко
ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ
ПРОСТРАНСТВА
Учебно-методическое пособие для вузов
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2015
Стр.1
СОДЕРЖАНИЕ
1. Евклидовы пространства .............................................................................. 4
1.1. Основные понятия ............................................................................... 4
1.2. Простейшие примеры евклидовых пространств .............................. 4
1.3. Свойства евклидовых пространств .................................................... 5
1.4. Матрица Грама ..................................................................................... 8
1.4.1. Определение матрицы Грама................................................... 8
1.4.2. Свойства матрицы Грама ......................................................... 8
1.5. Ортогональные матрицы ..................................................................... 10
1.6. Проектирование ................................................................................... 12
1.7. Метод ортогонализации О. Ю. Шмидта ............................................ 15
1.8. Ортогональное дополнение ................................................................ 20
1.9. Изоморфизм евклидовых пространств .............................................. 21
2. Унитарные пространства .............................................................................. 22
2.1. Основные понятия ............................................................................... 22
2.2. Свойства унитарных пространств ...................................................... 22
2.3. Матрица Грама ..................................................................................... 23
3. Задачи для самоподготовки ......................................................................... 24
Литература ......................................................................................................... 25
3
Стр.3
жду векторами:
С помощью скалярного произведения можно ввести понятие угла ме(,
)
cos
Из (4) следует, что
следует, что cos 1≤ .
Определение 4. Линейное пространство E называется нормированным,
если для любого элемента x E∈ определена числовая характеристика
– норма вектора x , удовлетворяющая следующим условиям:
1)
2) x =
x 0≥ при x 0≠ и x 0= при x 0= ;
x для любых R∈ ;
3) для любых ,x yE
∈ x yx y+≤ + .
Теорема 2. Евклидово пространство нормировано, если в нем определена
норма вектора по формуле x = xx .
(, )
Доказательство.
1. Для любого ненулевого вектора x E∈
xxx (, ) 0
== .
2. () ()
x+= + + = (
3. ()(
2
)
≤+ ⋅
2
x xy y+ = ()x y
щим образом:
x ,, ⋅ x .
2
== ⋅
22 2
y xy xy x + + y x x
+
xx x x =
,
.
С помощью нормы понятие угла между векторами вводится следуюx
y
cos
если (, ) 0
= ⋅x y
(, )
Замечание. Если x y= , то cos 1= .
Определение 5. Два вектора ,x yE
.
∈ называются ортогональными,
x y = .
Теорема 3 (теорема Пифагора). Сумма квадратов катетов равна
квадрату гипотенузы.
Доказательство.
Пусть ,x y – ортогональные векторы, то есть (, ) 0
x y x + y x yx x x y)
+
2
= (
, )( ,
+
=
2(
,
6
(y yx x)
, )( ,
,
) + += += +
(y y)
x y = . Рассмотрим
22
x y
y x
,
xxx (, ) 0=> , для x 0=
=
(, ) ( , )
xy
xx y y ≤1, поэтому
(, )
⋅
2
(, ) ( , )
xy
xxy y
⋅
.
(, ) ( , )
xy
xx y y
(, )
⋅
≤1, откуда
) (, ) 2(, ) ( , )
= +
x y y y
+ ≤
.
φ
φ
λ
λ
λλ
λ
λλλ
φ
φ
Стр.6
Следствие. Пусть 12
лярных векторов, то есть
(, )xx =
ij
тогда
x xx x xx x xx x x1
(, )+ xk
12 kk )
++ + ( , )kk = x1
++ + = ++ + ++ + = ( 1,
xxx x
+
+
2
12
если ff == = 1,ij
≠
(, )ij ij
Определение 7. ij
Определение 6. Система векторов 12f ,, , nff E∈
.
0,ij
Утверждение 2. Если векторы if (1,= образуют ортонорминазывается
символом Кронекера.
in)
,
рованную систему, то они линейно независимы.
Доказательство.
Предположим противное: векторы i
(, , , ) 0n
11 2 2
f
≠ , что линейная комбинация
11 2 2
Умножим (8) скалярно на if (1,in)
()( 11 fi )
in
1, ,
ff fnn 0 .
,
++ + =
f + ++ = ++ ++ = fi )
С другой стороны, ()f = . Таким образом, 0i
nn iff f,, ,
0, 0i
i fi
= , получим
(
(
n n iff )
,
f (1,= линейно зависимы,
in)
,
то есть существует такой нетривиальный (ненулевой) набор коэффициентов
12
(8)
i .
= для всех
= , что противоречит предположению.
Теорема 4. В n -мерном евклидовом пространстве E существует ортонормированный
базис.
Доказательство проведем методом математической индукции.
Пусть dim 1E = ,
тогда == ⋅
1
1
f – ненулевой базисный вектор. Положим e1 = f ,
1
f 1
1
eff
ff
11
11
мерности (1)n − построен ортонормированный базис 12 1 и E E′⊂ ,
dimE n= .
= . Пусть в произвольном пространстве E′ разee
e −
1
,, , n
ортонормированный базис. Возьмем вектор nf E∈ ,
вектор nf на E′ . Положим nn n
nn1 1n
то ye e=+ ++ −− . Подберем коэффициенты i in)
7
11 2 2
f yh
e
hE′⊥ . Так как n
(1,2 ,
= ,
Докажем, что в n -мерном пространстве E также можно построить
f E′∉ . Спроектируем
n
=+ , где nyE′∈ , n
yE′∈ ,
(, )
2
12 12 k
2
.
ортонормирована,
0,
xi
ij
≠=
2
0,
ij
≠
,
x ,, , n
xx
– совокупность взаимно перпендикуα
α
δ
δ
αα
α
αα
αα
α
α
α
α
α
α
ε
αα
Стр.7
таким образом, чтобы nn n
−− −
he y
( ,)
В результате (, )in iye in, 1)=−
11 ii i( ,)e ei −
=
зис ie (1,2 ,in)
,
ni n ),) ( ,)
ee − .
e +
+
iei +
1 1
− −− i =
(1,2 , . Положим ne = fn
1.4. Матрица Грама
1.4.1. Определение матрицы Грама
Выведем формулу для скалярного произведения в общем случае.
Пусть E – n -мерное евклидово пространство, 1
Возьмем произвольные векторы ,x yE
e . Найдем
∈ . Пусть =+ ++ nn
11 2 2
ye e=+ ++ nn
11 2 2
(, )xy e ej
== =
==
e ,
j j
e
Пусть ge e=ij (, )i
j
где
=
1
,
n
=
1
,
n
11
. Из (9) следует, что
nn
Γ=
gg
gg
1
Определение 8. Матрица
Γ=
gg
gg
1
называется матрицей Грама.
Если 1
ee
(, )xy== .
==
ij
11
1.4.2. Свойства матрицы Грама
1. Матрица Грама – симметрическая.
Действительно, так как (, ) ( , )
x yy x=
8
, то ge e ej i===g .
ij (, ) ( , )
i
j
e
ji
т
ij
nnn
,, n – ортонормированный базис, то Γ= I и
nn
11 1n
nnn
11 1n
.
(, )xy== Γ ,
==
gij i j
ij
т
nn n
ii
ij i
11 1
n
( , ) i j
i
j=1
.
(9)
,, n – базис в E.
x ee e ,
ee
( ,) ( ,)
f n
i ni
i
=
.
Таким образом, в пространстве E построен ортонормированный ба=
.
hf y E′=− ⊥ или ni
he
⊥ (1,2 ,in, 1)=−
этого скалярно умножим nh на векторы i in, 1)=−e (1,2 , . Получим
0 ( ,) (== −( 11
+ −−n ne e y e −
n 1 1ne e yn ei
. Для
α
α
αα
α
αα
α
ξξ
ξ
η
ξ
η
ξ
ηη
η
ξ
ξ ξ
η
η η
ξ
ξ
η
η
ξ
η
ξ
η
Стр.8
2. Найдем связь матриц Грама в разных базисах.
Пусть E – n -мерное евклидово пространство,
в E. Разложим базисные векторы je′ (1, 2,
n
хода Ss = от базиса {}n
{}n
(1, 2, ,in)
={}n
Γ= , ( , )jge e′′ ′
n
′′ ={}n
g
ij
i
ij i j ,1
i
j
ki k i ,1
g
ij i j=
,1
ij
ki k mj m
,
= , получим iki
j 1
i
ese
=
′ = . Элементы ki
eii= 1 к базису e =j 1{}n
k
′j
Пусть Γ= , ( , )jge e=
ij =
ge e′′ ′== =
k== =
s e s e )
тогда
Если 12
дует, что
Γ=′ S > .
2
Теорема 5. Пусть 12 – произвольные элементы n -мерного
x,, , n
xx
евклидова пространства E, тогда
11 1 2
Γ=
*0, ) (, )
(, ) ( , )
(, ) (, ) (, )
(, ) (
xx xx xx
xx xx
xx xx
21 2 2
если векторы i ik)
= линейно зависимы.
,
(1,ik)
,
Доказательство.
1. Пусть i
x (1,ik)
,
E, E′ – линейная оболочка, натянутая на векторы i
качестве векторов нового базиса векторы i ik)
пространства E. Тогда в силу (13) *0
2. Пусть векторы ix (1,ik)
,
= – линейно независимые векторы пространства
x (1,= . Возьмем в
,
ik)
,
ров старого базиса – ортонормированные базисные векторы je (1,= , k)
Γ> .
такой нетривиальный набор коэффициентов
12
9
(14)
x (1,= , а в качестве вектоj
=
линейно зависимы, тогда существует
(, , , ) 0k ≠ ,
xx1
2
(, )
xx
x (1,= линейно независимы, и *0
Γ= , если векторы i
x
k
k
>
,
0
(13)
,, , n
11 1
.
(, ) ( . (10)
– матрица Грама в базисе {}n
n nn
s (e , )s
ki k m mj
e
m km=1
Γ=′ SS S
Γ=′ SS
т
Γ ,
=
km=1
=1
Перепишем соотношение (10) в матричном виде:
т
⋅ Γ ⋅ = ⋅ Γ .
2
(11)
(12)
ee e – ортонормированный базис, то Γ= 1 и из (12) слеe
=j 1 , тогда
nn
s gki km mj
s
– матрица Грама в базисе {}n
′j
eii= 1,
{}n
j = по векторам i
s образуют матрицу переeii=
{}n
, n)
1,
e =j 1 – базисы
e
′j
α
αα
Стр.9
что линейная комбинация
11 2 2xx x
(
– нулевой элемент пространства E).
Умножим (15) скалярно на i
++ +
11 1(, )xx x x
11 2(, )xx x x
Числа i ik)
(1,= являются решениями линейной однородной сис
(, )xx x x
,
11 2 2
темы (16). Если бы ее определитель *Γ был отличен от нуля, то по правилу
Крамера система (16) имела бы только нулевое решение, что противоречит
предположению (14).
Пример. Пусть в 3-мерном евклидовом пространстве дан канонический
базис 1e = (1,0,0) , e = (0,1, 0) , e = (0, 0,1) . Построить в этом базисе
2
(, )
2 2
6 3
3
матрицу Грама для следующей билинейной формы:
1
3
2 1
3
3
gb(, ) 1==,
gb(, ) 5== ,
11
22
тогда
Γ=
102
053
236
.
1.5. Ортогональные матрицы
Пусть E – n -мерное евклидово пространство, { }ie , { }ie′ (1,= –in)
,
ортонормированные базисы пространства E, тогда Γ и ′Γ – единичные
матрицы и в силу (11)
I SS
=⋅ ,
т
где Ss = – матрица перехода от базиса {}n
Из (17) следует, что 1
={}n
ki k i ,1
SS
−
= .
т
Определение 9. Матрица S называется ортогональной, если
т
SS−1
= .
10
(18)
eii= 1 к базису e =j 1{}n
′j
.
(17)
Решение.
e e1 1
e
2 2
e
gg (, ) 0
gg (, ) 3
21
32
1 2
b e2 3
b x y = x y1 + + +++ + x y .
5x y xyxyxy1 23 32
2 3x y
31
3
12==b e e = , gg (, ) 2
23== e = , == ,
1 3
33
e e3 3
13==b e e = ,
gb(, ) 6
++ +
2 2 2
2 2 1
( , )
( , )
kk
( , )
++ + =
kk
x (1,= , получим систему
x x1 =
ik)
,
kk
kk
++ +
( , ) 0
=
( , ) 0
x x2
k ( , ) 0
xk xk
=
(16)
(15)
θ
α
αα
αα
θ
αα
α
α
α
αα
α
Стр.10