ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА . <...> Учебным планом третьего семестра предусмотрено выполнение контрольно-курсовой работы ККР. <...> Пособие содержит задания по выполнению ККР, а также решения некоторых задач, тщательный разбор которых поможет студенту выполнить данную контрольную работу. <...> Задача Коши Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется выражение вида: F x y y y ,, y ( , , , 1) 2) Так, например: y f ( , )yx y 2y ( )n 0 или dx F x y dy ( , , , d y dx 2 2 , , , или dx f ( , )yx dy d y dx n n ) 0 , то есть, уравнение, содержащее неизвестную функцию y y( )x и её производные до n-го порядка. - это дифференциальное уравнение первого порядка; 0 - дифференциальное уравнение второго порядка. старшей производной, содержащейся в нём. <...> Решением дифференциального уравнения называется любая функция при подстановке в уравнение обращает его в тождество. <...> Проверить (самостоятельно), будут ли функции x x решениями дифференциального уравнения y Решение: y cos ; y sin ; y C xsin ; y C x C xcos y 0. <...> Простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка 1) Уравнение с разделёнными переменными f ( )x y 1( ) Решая первое уравнение, получим dy f x dx)( Интегрируя, найдём общее решение y Решая второе, получим f y dy ( ) f x dx . <...> Определяя из этого уравнения решения y ( )x , следует проверить, является ли оно решением исходного уравнения. <...> Если не является, его следует отбросить, а если является, то проверить, входит ли оно в общий интеграл. <...> Решить уравнение y x( 3)dx y( 3)xdy x x dx y 3 Интегрируя, получим общий интеграл: (1 3) x В этом уравнении M( ) ( )yRx y 0 является особым. <...> Найти общее решение Решение: dx dy dy y e интегрируя, найдем общее решение e y gx e <...>
МАТЕМАТИКА.Часть_III._Учебно-методическое_пособие_Тула.pdf
АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ИНСТИТУТ ЗАКОНОВЕДЕНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ ВПА
КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
И ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ПРИКЛАДНОЙ ПОДГОТОВКИ
Рождественский К.Н.
МАТЕМАТИКА
Часть III
Учебно-методическое пособие
Тула 2017
Стр.1
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................................................................................ 3
ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ................................................................... 4
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. ЗАДАЧА КОШИ .............................. 4
2. ПРОСТЕЙШИЕ ТИПЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ........................................................... 5
3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА ........................... 8
4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ...................................................................... 10
5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ .................. 13
6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. МЕТОД ЛАГРАНЖА ................................................. 14
7. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И
СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ ....................................................................................................................................... 16
8. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ........................................................................................................................................ 20
9. ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ К ЭКОНОМИКЕ И МЕНЕДЖМЕНТУ .................... 23
ТРЕНИРОВОЧНЫЙ ТЕСТ ...................................................................................................................................................... 26
ГЛАВА 2. РЯДЫ ................................................................................................................................................................. 31
1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ............................................................................................................................................................ 31
2. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ .......................................................................................................... 33
3. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ. ПРИЗНАК ЛЕЙБНИЦА ......................................................................................................... 35
4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ............................................................................................................................................. 37
5. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ .......................................................................................................................................................... 38
6. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ............................................................................................................... 41
7. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ .............................................................................................. 42
ТРЕНИРОВОЧНЫЙ ТЕСТ ...................................................................................................................................................... 43
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА .............................................. 46
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ..................................................................................................................................................... 46
2. АЛГЕБРА СОБЫТИЙ (ОПЕРАЦИИ НАД СЛУЧАЙНЫМИ СОБЫТИЯМИ) ............................................................................... 46
3. СТАТИСТИЧЕСКОЕ И КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ ............................................................................ 47
4. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ: РАЗМЕЩЕНИЯ, ПЕРЕСТАНОВКИ, СОЧЕТАНИЯ ............................................................... 47
5. ЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ ЗАВИСИМЫХ
СОБЫТИЙ ............................................................................................................................................................................ 49
7. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ СОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ ...................................................................................................... 50
8. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ ................................................................................................................................ 51
9. ФОРМУЛА БЕЙЕСА ......................................................................................................................................................... 53
10. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ ................................................................................................................................................... 54
11. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ .............................................................................................................................................. 56
12. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ......................................................................... 59
13. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. ТЕОРЕМА ЧЕБЫШЕВА .......................................................................................................... 61
14. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД ........................................................................ 62
15. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ....................................................................................... 65
16. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ......................................................................................... 66
ПРАКТИКУМ ....................................................................................................................................................................... 70
ТРЕНИРОВОЧНЫЙ ТЕСТ ..................................................................................................................................................... 78
КОНТРОЛЬНО-КУРСОВАЯ РАБОТА .......................................................................................................................... 81
ЧАСТЬ I. «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» ................................................................................................................ 81
ЧАСТЬ II. ТЕМА «РЯДЫ» .................................................................................................................................................... 83
ЛИТЕРАТУРА ..................................................................................................................................................................... 84
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ........................................................................................................ 85
2
Стр.2