РОЩЕНКО МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Учебно-методическое пособие НОВОСИБИРСК 2016 1 УДК 517.2/. <...> Р 815 Математический анализ: дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной: учебно-методическое пособие / О.Е. Рощенко. <...> Каждый раздел содержит задачи для самостоятельного решения. <...> 3 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ – следует, влечет за собой – равносильно, эквивалентно, тогда и только тогда, необходимо и достаточно x – существует (квантор существования) – существует, найдется хотя бы один x x – существует единственный x x – для любого x, для каждого x : – любой, каждый, всякий – такой, что – «или» – «и» – пустое множество – строго принадлежит, содержится (символ принадлежности элемента множеству) , – принадлежит, содержится – не принадлежит, не содержится Df – область определения функции f E ()f – множество значений функции f R – множество положительных действительных чисел R ; – множество действительных чисел 0; A В – множество А является подмножеством множества В A \ B – разность множеств () 4 § 1. <...> Если задано правило f, по которому каждому элементу x из множества D поставлен в соответствие единственный элемент yE дана числовая функция yf () множество значений функции: . <...> Множество D – область определения функции, множество E – Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой говорят, что она является функцией от этого аргумента. <...> Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции. <...> Множество точек (x, f (x)) плоскости Oxy называется графиком функции y = f(x). <...> При аналитическом задании функция () yx может быть задана неявно, когда x и y связаны между собой уравнением вида (; ) 0Fx y . <...> Если уравнение можно разрешить относительно y, то получим функцию yf () Пример. <...> Нули функции находятся из решения уравнения () 0fx . <...> Всякую функцию, определяемую формулой <...>
Математический_анализ._Дифференциальное_и_интегральное_исчисление_функции_одной_переменной.pdf
УДК 517.2/.3(075.8)
Р 815
Рецензенты:
канд. пед. наук, доцент Е.А. Лебедева
нач. отдела специальных технологий обучения
и реабилитации ИСТР НГТУ И.Н. Прохорова
Рощенко О.Е.
Р 815
Математический анализ: дифференциальное и интегральное
исчисление функции одной переменной: учебно-методическое
пособие / О.Е. Рощенко. – Новосибирск: Изд-во НГТУ,
2016. – 60 с.
ISBN 978-5-7782-2945-7
Пособие предназначено для студентов с ограниченными возможностями
здоровья. В нем представлены важнейшие темы курса математического
анализа первого семестра. Оно содержит пять параграфов,
в каждом из которых даны теоретические положения, сопровождающиеся
большим количеством примеров, и тренировочные упражнения.
Пособие может быть рекомендовано для самостоятельной работы
студентов.
Работа подготовлена и утверждена Редакционно-издательским советом
в качестве учебно-методического пособия
УДК 517.2/.3(075.8)
ISBN 978-5-7782-2945-7
Рощенко О.Е., 2016
Новосибирский государственный
технический университет, 2016
2
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ................................................................................................................... 3
Основные обозначения ............................................................................................ 4
§ 1. Числовые функции одной действительной переменной ......................... 5
1. Понятие функции .............................................................................................. 5
2. Основные характеристики функций ............................................................... 6
3. Основные элементарные функции .................................................................. 7
4. Функции, заданные параметрически ............................................................. 14
5. Полярная система координат ......................................................................... 15
§ 2. Предел функции ............................................................................................ 16
1. Понятие предела. Раскрытие некоторых видов неопределённостей ......... 16
2. Замечательные пределы. Эквивалентности .................................................. 21
3. Непрерывность функции ................................................................................ 24
§ 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной ............. 28
1. Дифференцирование явно заданных функций ............................................. 28
2. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически ........ 32
3. Геометрический смысл производной ............................................................ 33
4. Правило Лопиталя .......................................................................................... 34
§ 4. Применение производной к исследованию функций ............................ 36
1. Условия возрастания и убывания функций .................................................. 36
2. Экстремумы функции ..................................................................................... 36
3. Условия выпуклости функций ....................................................................... 37
4. Точки перегиба ................................................................................................ 37
5. Асимптоты ....................................................................................................... 38
6. Построение графиков ..................................................................................... 38
58
Стр.58
§ 5. Неопределённый интеграл .......................................................................... 42
1. Первообразная функции и неопределённый интеграл ............................... 42
2. Основные методы интегрирования ............................................................... 43
3. Интегрирование дробей .................................................................................. 47
4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций ...................... 51
5. Интегрирование некоторых иррациональных функций ............................. 54
Библиографический список .................................................................................. 57
59
Стр.59