ФГУП «РОССИЙСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЯДЕРНЫЙ ЦЕНТР – ВНИИЭФ» А. А. Тренькин ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФРАКТАЛОВ: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ И НЕКОТОРЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Учебное издание Саров 2007 ББК 22.15я73 Т66 УДК 514 (075.8) Тренькин А. А. <...> Введение в теорию фракталов: математические аспекты и некоторые физические приложения. <...> ISBN 978-5-9515-0088-5 В данном издании представлены основные идеи и понятия фрактальной геометрии: вводится понятие фрактальной размерности, рассматриваются основные фрактальные множества, некоторые физические приложения, дается представ-ление о математическом аппарате дробного интегро-дифференцирования и его физической трактовке. <...> ISBN 978-5-9515-0088-5 2 © ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2007 ПРЕДИСЛОВИЕ Стремительное проникновение идей фрактальной геометрии в различные области естествознания приводит к необходимости давать начальные сведения по теории фракталов студентам инженерно-физических специальностей. <...> Однако большая часть литературы представляет собой статьи в научных журналах, а также специальные монографии и не подходит для первоначального ознакомления, остальная литература – научнопопулярная и не дает представления о математическом аппарате дробного интегродифференцирования и его физической трактовке. <...> Пособие ставит своей целью дать первоначальное представление о фрактальной геометрии: вводится понятие фрактальной размерности, рассматриваются основные фрактальные множества, некоторые физические приложения, а также дается представление о математическом аппарате дробного интегродифференцирования и его физической трактовке. <...> До недавнего времени геометрические модели различных природных конструкций традиционно строились на основе сравнительно простых геометрических фигур (геометрия Евклида): прямых, многоугольников, окружностей, сфер и т. д. <...> Одним из таких понятий является понятие фрактала. <...> Понятие точного самоподобия характерно лишь для так называемых регулярных фракталов. <...> Поэтому <...>
Введение_в_теорию_фракталов.pdf
ФГУП «РОССИЙСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЯДЕРНЫЙ ЦЕНТР – ВНИИЭФ»
А. А. Тренькин
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФРАКТАЛОВ:
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ
И НЕКОТОРЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Учебное издание
Саров
2007
Стр.2
ББК 22.15я73
Т66
УДК 514 (075.8)
Тренькин А. А.
Введение в теорию фракталов: математические аспекты и некоторые
физические приложения. Учебное издание. – Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ,
2007. – 39 с.: ил.
ISBN 978-5-9515-0088-5
В данном издании представлены основные идеи и понятия
фрактальной геометрии: вводится понятие фрактальной размерности,
рассматриваются основные фрактальные множества,
некоторые физические приложения, дается представ-ление о математическом
аппарате дробного интегро-дифференцирования
и его физической трактовке.
Для студентов инженерно-физических специальностей.
ISBN 978-5-9515-0088-5
2
© ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2007
Стр.3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Стремительное проникновение идей фрактальной геометрии в
различные области естествознания приводит к необходимости давать
начальные сведения по теории фракталов студентам инженерно-физических
специальностей. В настоящее время поток научных
публикаций, связанных с фракталами, лавинообразно растет. Однако
большая часть литературы представляет собой статьи в научных
журналах, а также специальные монографии и не подходит для
первоначального ознакомления, остальная литература – научнопопулярная
и не дает представления о математическом аппарате
дробного интегродифференцирования и его физической трактовке.
Пособие ставит своей целью дать первоначальное представление о
фрактальной геометрии: вводится понятие фрактальной размерности,
рассматриваются основные фрактальные множества, некоторые
физические приложения, а также дается представление о математическом
аппарате дробного интегродифференцирования и его
физической трактовке.
3
Стр.4
СОДЕРЖАНИЕ
1. Понятие фрактала...................................................................... 3
2. Фрактальная размерность.........................................................
3. Фрактальные множества...........................................................
4
6
3.1. Канторово множество................................................…… 6
3.2. Снежинка Кох.................................................................... 9
3.3. Салфетка и ковер Серпинского........................................ 10
4. Фракталы в физике..................................................................... 12
4.1. Клеточная размерность..................................................... 12
4.2. Массовая размерность....................................................... 13
4.3. Ограниченная диффузией агрегация (ОДА)................... 14
4.4. Образование «вязких пальцев»........................................ 15
4.5. Фрактальные временные ряды......................................... 16
4.6. Фрактальные поверхности раздела сред как основа
дробных показателей частоты.......................................... 20
4.7. Фрактальные траектории квантово-механических
частиц…………………………......................................... 24
5. Интегралы и производные дробного порядка
во фрактальной геометрии....................................................... 26
5.1. Интегральное уравнение Абеля....................................... 27
5.2. Дробные операторы Римана – Лиувилля....................... 30
6. Физическая интерпретация дробных операторов................... 32
6.1. Одномерное движение частицы во фрактальной
среде................................................................................... 32
6.2. Уравнение переноса в дробных производных................ 33
Список использованной литературы............................................ 37
39
Стр.40
Тренькин Алексей Александрович
Введение в теорию фракталов:
математические аспекты
и некоторые физические приложения
Учебное издание
Редактор Л. В. Мазан
Корректор Л. В. Степченкова
Компьютерная подготовка оригинала-макета В. М. Князькова
_____________________________________________________
Подписано в печать 12.02.2007. Формат 60×84/16
Печать офсетная. Усл. печ. л. ~2,3. Уч. изд. л. ~1,7
Тираж экз. Зак. тип. 407-2007
_____________________________________________________
Отпечатано в Издательско-полиграфическом комплексе
ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ»
607188, г. Саров Нижегородской обл.
40
Стр.41