Условимся в дальнейшем для краткости под термином «твердое тело» или просто «тело» понимать абсолютно твердое тело, если не будет оговорено противное. <...> При исследовании этих вопросов придется вводить некоторые новые величины, характеризующие движение тел (угловая скорость ускорение нахождение способов их вычисления. <...> Убедимся, что для задания положения тела достаточно задать положения любых его точек А, В, С, не лежащих на одной прямой. <...> . A ( ( 2 A ( C 2 A 2 Вывод: для задания положения тела в пространстве надо знать значения шести независимых величин – шести координат точек A, B, C. <...> Положение точки в пространстве декартовой прямоугольной системы координат определяется тремя независимыми координатами x, y , z . <...> Обратим сейчас внимание на то, что для декартовой системы три координаты 72 F x y z геометрически означает, что ( , ( , , ) 0 (точка свободна) независимы, и мы связали их тоже с тремя обобщенными координатами: 1q , 2q , 3q . <...> Это значит, что независимых обобщенных координат остается три – столько же, сколько независимых декартовых. <...> Разумеется, в состав обобщенных координат могут войти некоторые (а то и все) декартовы координаты. <...> Из выше изложенного следует, что как бы ни была выбрана система независимых обобщенных координат (это можно сделать бесконечным множеством способов), – число их будет одинаково во всех системах. <...> Для задания или определения движения системы точек надо задать или определить n функций q ( )ti степеней свободы системы i , где iq – независимые обобщенные координаты, а n – число ( 1, 2, ., n). <...> Из изложенного выше следует, что свободное твердое тело имеет 6 степеней свободы. <...> Система точек, составляющих твердое тело, конечно, не свободна: на нее наложено множество внутренних связей, которые не позволяют изменяться расстояниям между любыми двумя точками, так что выражение «свободное твердое тело» надо понимать в том смысле, что нет других внешних и внутренних связей, которые могли бы лишь уменьшить <...>
Теоретическая_механика_Кинематика._Ч._2.pdf
V. КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
1. Абсолютно твердое тело. Число степеней свободы. Абсолютно
твердым телом называется такая механическая система материальных
точек, в которой расстояния между любыми двумя точками остаются
неизменными, как бы система не двигалась. Условимся в дальнейшем для
краткости под термином «твердое тело» или просто «тело» понимать
абсолютно твердое тело, если не будет оговорено противное. В кинематике
должны быть поставлены и разрешены следующие задачи:
1) найти способы задания (описания) движения тела;
2) найти способы нахождения (описания) движения точек,
принадлежащих телу, вычисления их скоростей и ускорений.
При исследовании этих вопросов придется вводить некоторые новые
величины, характеризующие движение тел (угловая скорость
ускорение
нахождение способов их вычисления.
Займемся задачей отыскания способов задания движения твердого
тела, т. е. отыскания его положения в
каждый момент времени движения
относительной данной системы
координат. Убедимся, что для задания
положения тела достаточно задать
положения любых его точек А, В, С,
не лежащих на одной прямой.
Действительно, если точка А займет
положение 1А , В – 1В , С – 1С (при
этом
А1 1 1СВ конгруэнтен АВС
), то
z
A
B
D1
0
x
B1
положение любой точки тела D определится, т.к. расстояния от точки D до
Рис. 38
70
A1
C1
y
D
C
, угловое
). В задачи кинематики входит определение этих величин и
Стр.2
точек А, В, С, измениться не могут, т.е. A D AD11
, B D BD11
Из двух возможных положений 1D (если D не принадлежит АВС
, C D CD11
) нужное
.
можно выбрать, зная направление обхода (по или против часовой стрелки)
точек A,B,C, видимых из точки D: оно должно сохраниться для 1А , 1В , 1С
относительно 1D .
Другое доказательство можно получить аналитическим способом. Три
координаты точки D связаны с координатами точек A, B, C тремя
соотношениями:
(xD x ) yD y ) z z ) AD const,
2
2
A
(xD xB ) yD y ) z z ) BD const,
2
(xD xC ) yD yC ) z zC ) CD const.
(
(
(
A
2
B
2
( D
( D
( D
2
2
Числа AD2 , BD2 , CD2 зависят от положения точек A, B, C. Из трех
соотношений три величины – Dx , Dy , Dz – могут быть выражены как
функции остальных величин. Три точки A, B, C имеют 9 координат, но эти
координаты не являются независимыми, т. к. должны удовлетворять трем
соотношениям, выражающим неизменность длин AB, BC , CA:
(
(xA xB ) yA y ) zA z ) AB const,
2
2
B
(xB xC ) yB yC ) zB zC ) BC const,
2
Значит, независимых среди этих координат: 9 3 6
(xC x ) yC y ) z z ) CA const.
.
A
(
(
2
A
( C
2
A
2
Вывод: для задания положения тела в пространстве надо знать значения
шести независимых величин – шести координат точек A, B, C.
Введем некоторые новые понятия. Положение точки в пространстве
декартовой прямоугольной системы координат определяется тремя
независимыми координатами x, y , z . Эти координаты «независимы»,
потому что каждая может принимать любые значения независимо от
значений двух других. Координаты x, y , z – зависимы, если одна или две из
них определяются значениями двух или одной, т. е. связаны уравнениями:
71
2
(
(
2
2
2
B
2
2
2
B
2
2
A
2
2
Стр.3