Математика. Ч. 1 (190,00 руб.)

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

Стр.7

УДК 519.2 Рекомендовано к изданию методическим советом ПГУТИ, протокол № 1, от 01.02.2016 г. Рецензент: Зав каф.ЭиА ПГУТИ , д.ф.-м.н, доцент, Клюев Д.С. Алашеева, Е. А. А Математика: учебное пособие / Е. А. Алашеева. – Самара: ПГУТИ, 2016. –196 с. Учебное пособие «Математика. Часть 1» содержит такие разделы математики, как комплексные числа, векторная алгебра, аналитическая геометрия, теория пределов, теория исследования функций, разработано в соответствии с ФГОС ВО по направлению подготовки 09.03.02 «Информационные системы и технологии» и предназначено для студентов 1 курса факультета ИСТ для самостоятельной подготовки. ISBN ©, Алашеева Е.А., 2016 2

Стр.2

Содержание Лекция 1 ....................................................................................................................................................... 8 Комплексные числа. Основные понятия ............................................................................................... 8 Основные действия над комплексными числами .............................................................................. 12 Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................... 14 Контрольные вопросы .......................................................................................................................... 15 Лекция 2 ................................................................................................................................................. 16 Матрицы ................................................................................................................................................. 16 Определитель второго порядка ............................................................................................................ 16 Определитель третьего порядка........................................................................................................... 17 Определитель квадратной матрицы n-го порядка .............................................................................. 17 Свойства определителей ....................................................................................................................... 19 Вычисление определителя Вандермонда ............................................................................................ 21 Правило Крамера ................................................................................................................................... 23 Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................... 24 Контрольные вопросы .......................................................................................................................... 25 Лекция 3 ..................................................................................................................................................... 26 Основные операции над матрицами .................................................................................................... 26 Ранг матрицы ......................................................................................................................................... 30 Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................... 34 Контрольные вопросы .......................................................................................................................... 35 Лекция 4 ..................................................................................................................................................... 36 Решение систем m линейных уравнений с n неизвестными ........................................................ 36 Матричный метод решения систем линейных уравнений ................................................................ 39 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений ........................................................................ 41 Собственные значения и собственные вектора линейного оператора ............................................. 44 Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................... 45 Контрольные вопросы .......................................................................................................................... 46 Лекция 5 ..................................................................................................................................................... 47 Элементы векторной алгебры .............................................................................................................. 47 Линейные операции над векторами..................................................................................................... 47 Проекция вектора .................................................................................................................................. 49 Разложение вектора по базису ............................................................................................................. 50 Декартовы прямоугольные координаты ............................................................................................. 51 Координатное представление векторов .............................................................................................. 52 Скалярное произведение векторов ...................................................................................................... 54 Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................... 57 Контрольные вопросы .......................................................................................................................... 58 3

Стр.3

Лекция 6 ..................................................................................................................................................... 59 Векторное произведение двух векторов ............................................................................................. 59 Свойства векторного произведения .................................................................................................... 60 Координатная форма записи векторного произведения .................................................................... 61 Смешанное произведение векторов .................................................................................................... 63 Свойства смешанного произведения ................................................................................................... 63 Координатная форма записи смешанного произведения .................................................................. 64 Двойное векторное произведение трех векторов ............................................................................... 66 Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................... 67 Контрольные вопросы .......................................................................................................................... 67 Лекция 7 ..................................................................................................................................................... 68 Общее уравнение прямой ..................................................................................................................... 68 Уравнение прямой с угловым коэффициентом .................................................................................. 69 Уравнение прямой в отрезках .............................................................................................................. 70 Каноническое уравнение прямой ........................................................................................................ 71 Уравнение прямой, проходящей через две точки .............................................................................. 72 Параметрическое уравнение прямой ................................................................................................... 72 Взаимное расположение двух прямых ................................................................................................ 74 Нахождение угла между прямыми ...................................................................................................... 75 Нормальное уравнение прямой ............................................................................................................ 76 Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду ........................................................... 76 Нахождение расстояния от точки до прямой на плоскости .............................................................. 77 Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................... 79 Контрольные вопросы .......................................................................................................................... 80 Лекция 8 ..................................................................................................................................................... 81 Два способа задания плоскости в пространстве. ................................................................................ 81 Второй способ задания плоскости ....................................................................................................... 82 Исследование общего уравнения плоскости ...................................................................................... 83 Взаимное расположение плоскостей в пространстве ........................................................................ 85 Нормальное уравнение плоскости ....................................................................................................... 86 Расстояние от точки до плоскости ....................................................................................................... 87 Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................... 88 Контрольные вопросы .......................................................................................................................... 89 Лекция 9 ..................................................................................................................................................... 90 Общее уравнение прямой в пространстве .......................................................................................... 90 Каноническое уравнение прямой в пространстве .............................................................................. 90 Параметрическое уравнение прямой ................................................................................................... 91 Уравнение прямой проходящей через две точки ............................................................................... 92 4

Стр.4

Переход от канонического уравнения к общему ............................................................................... 92 Переход от общего уравнения к каноническому ............................................................................... 93 Основные задачи на прямую и плоскость в пространстве ................................................................ 95 Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................... 98 Контрольные вопросы .......................................................................................................................... 99 Лекция 10 ................................................................................................................................................. 100 Эллипс .................................................................................................................................................. 100 Гипербола ............................................................................................................................................. 102 Парабола............................................................................................................................................... 104 Канонические уравнения поверхностей второго порядка ............................................................... 107 Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................. 112 Контрольные вопросы ........................................................................................................................ 114 Лекция 11 ................................................................................................................................................. 115 Числовые последовательности .......................................................................................................... 115 Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности .................................................... 116 Предел последовательности ............................................................................................................... 117 Монотонные последовательности ..................................................................................................... 119 Предел функции .................................................................................................................................. 120 Бесконечные пределы ......................................................................................................................... 122 Теоремы о пределах. Неопределенные выражения ......................................................................... 122 Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................. 124 Контрольные вопросы ........................................................................................................................ 125 Лекция 12 ................................................................................................................................................. 126 Первый замечательный предел .......................................................................................................... 126 Второй замечательный предел ........................................................................................................... 127 Сравнение бесконечно малых ............................................................................................................ 129 Односторонние пределы ..................................................................................................................... 130 Непрерывность функции. Точки разрыва ......................................................................................... 131 Классификация точек разрыва ........................................................................................................... 132 Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................. 133 Контрольные вопросы ........................................................................................................................ 134 Лекция 13 ................................................................................................................................................. 135 Производная функции ........................................................................................................................ 135 Геометрический смысл производной ................................................................................................ 136 Производная суммы, произведения, частного .................................................................................. 138 Производная сложной функции ......................................................................................................... 139 Производная обратной функции ........................................................................................................ 141 Производная функции, заданной параметрически .......................................................................... 142 5

Стр.5

Таблица производных ......................................................................................................................... 143 Производная показательно степенной функции .............................................................................. 144 Производные высших порядков ........................................................................................................ 145 Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................. 146 Контрольные вопросы ........................................................................................................................ 147 Лекция 14 ................................................................................................................................................. 148 Дифференциал функции ..................................................................................................................... 148 Геометрическое значение дифференциала ....................................................................................... 148 Дифференциал суммы, произведения, частного .............................................................................. 149 Дифференциалы высоких порядков .................................................................................................. 150 Свойства дифференцируемых функций ............................................................................................ 151 Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей .......................................................................... 153 Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................. 155 Контрольные вопросы ........................................................................................................................ 156 Лекция 15 ................................................................................................................................................. 157 Условия возрастания и убывания функций ...................................................................................... 157 Необходимые условия экстремума .................................................................................................... 159 Первое достаточное условие экстремума ......................................................................................... 160 Второе достаточное условие экстремума ......................................................................................... 161 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке ............................................................. 163 Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................. 164 Контрольные вопросы ........................................................................................................................ 164 Лекция 16 ................................................................................................................................................. 165 Выпуклость и вогнутость кривой ...................................................................................................... 165 Достаточные условия выпуклости ..................................................................................................... 166 Точки перегиба. Условия наличия точек перегиба .......................................................................... 168 Асимптоты графика функции ............................................................................................................ 170 Общая схема исследования функции и построения графиков ........................................................ 173 Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................. 176 Контрольные вопросы ........................................................................................................................ 176 Глоссарий ................................................................................................................................................. 177 К лекции 1 ............................................................................................................................................ 177 К лекции 2 ............................................................................................................................................ 178 К лекции 3 ............................................................................................................................................ 180 К лекции 4 ............................................................................................................................................ 181 К лекции 5 ............................................................................................................................................ 183 К лекции 6 ............................................................................................................................................ 184 К лекции 7 ............................................................................................................................................ 186 6

Стр.6

К лекции 8 ............................................................................................................................................ 187 К лекции 9 ............................................................................................................................................ 187 К лекции 10 .......................................................................................................................................... 188 К лекции 11 .......................................................................................................................................... 189 К лекции 12 .......................................................................................................................................... 191 К лекции 13 .......................................................................................................................................... 192 К лекции 14 .......................................................................................................................................... 193 К лекции 15 .......................................................................................................................................... 194 К лекции 16 .......................................................................................................................................... 194 Литература ............................................................................................................................................... 196 7

Стр.7