Излагаемые основы теории сопровождаются большим количеством типовых задач с подробным решением. <...> 27 3.4 Свойства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве . <...> Согласно Федеральному государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования по специальности 10.05.02 – Информационная безопасность телекоммуникационных систем и по направлениям подготовки бакалавриата 10.03.01– Информационная безопасность, 11.03.02 - Инфокоммуникационные технологии и системы связи, 02.03.03 – Математическое обеспечение и администрирование информационных систем, в процессе освоения дисциплины «Математический анализ» у студента должны быть сформированы следующие общие и специальные компетенции: владеть культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, постановке цели и выбору путей ее достижения; логически верно выстраивать устную и письменную речь; владеть основами фундаментальных математических теорий, видеть их взаимосвязь и специфику каждой из них; формулировать математическую гипотезу в контексте изучаемых математических дисциплин, подтвердить ее или опровергнуть; применять основной аппарат фундаментальных и прикладных математических теорий к решению разнообразных теоретических и практических задач; строить и 5 исследовать математическую модель прикладной задачи, процесса, явления. <...> Цель настоящего учебного пособия – помочь студентам усвоить основные определения и теоремы раздела «Дифференцирование функций многих переменных», научиться находить аналитически и изображать геометрически область определения и область непрерывности функции двух и трех переменных, вычислять пределы и частные производные функций двух и более переменных, исследовать функции, заданные неявно, дифференцировать сложные функции одной и двух независимых переменных с двумя промежуточными аргументами, определять экстремумы функции двух переменных. <...> Далее предлагаются вопросы <...>
Математический_анализ._Функции_многих_переменных_Учебное_пособие.pdf
УДК 517.51
Б 20
Рекомендовано к изданию методическим советом ПГУТИ
протокол № 20 от 10 апреля 2015 года
Балабаева, Н. П.
Б 20 Математический анализ. Функции многих переменных:
учебное пособие / Н.П. Балабаева, Е.А. Энбом. – Самара : ПГУТИ,
2015. – 120 с.
Учебное пособие содержит теоретический и практический материал
по дифференцированию функций многих переменных. Излагаемые
основы теории сопровождаются большим количеством типовых задач с
подробным решением. В пособии приведены также вопросы для
самоконтроля, достаточное количество заданий для проведения
аудиторных занятий и организации самостоятельной работы учащихся.
Учебное пособие разработано в соответствии с ФГОС ВПО по
специальности 10.05.02 – Информационная безопасность телекоммуникационных
систем и по направлениям подготовки бакалавриата 10.03.01 –
Информационная безопасность, 11.03.02 - Инфокоммуникационные
технологии и системы связи, 02.03.03 – Математическое обеспечение и
администрирование информационных систем.
Предназначается для студентов первого курса очной и заочной
форм обучения.
© Балабаева Н. П., Энбом Е. А., 2015
2
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ..................................................................................... 5
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ
МНОЖЕСТВ .................................................................................... 7
1.1 Понятие n-мерного арифметического евклидова
пространства ............................................................................. 7
1.2 Основные понятия из теории множеств .............................. 10
§ 2. ФУНКЦИИ ДВУХ И БОЛЕЕ ПЕРЕМЕННЫХ .......................... 13
2.1 Определение функции двух переменных. Область
существования функции двух переменных ......................... 15
2.2 График функции двух переменных ...................................... 18
2.3 Понятие функции трех переменных ..................................... 19
2.4 Понятие функции n переменных .......................................... 21
§ 3. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ДВУХ
ПЕРЕМЕННЫХ ............................................................................. 24
3.1 Понятие предела функции двух переменных ...................... 24
3.2 Непрерывность функции двух переменных ........................ 25
3.3 Свойства функций, непрерывных в точке ........................... 27
3.4 Свойства функций, непрерывных на замкнутом
ограниченном множестве ...................................................... 28
3.5 Свойства функций, непрерывных в области ....................... 28
§ 4. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ ............................................................................. 29
4.1 Понятие частных производных ............................................. 29
4.2 Геометрический смысл частных производных функции
двух переменных .................................................................... 32
4.3 Частные производные высших порядков ............................ 34
§ 5. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ. ПОЛНЫЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ ............................................................................. 39
5.1 Полное приращение функции ............................................... 39
5.2 Понятие дифференцируемой функции ................................ 39
3
Стр.3
5.3 Касательная плоскость к поверхности ................................. 42
5.4 Дифференциал функции ........................................................ 42
5.5 Применение дифференциала к приближенным
вычислениям ........................................................................... 44
5.6 Дифференциалы высших порядков ...................................... 45
§ 6. СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ ................................................................ 49
6.1 Понятие сложной функции .................................................... 49
6.2 Производная сложной функции ............................................ 51
6.3 Дифференциал сложной функции. Свойство
инвариантности дифференциала сложной функции .......... 53
6.4 Дифференциалы высших порядков сложной функции ...... 54
§ 7. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ ................................................................. 58
7.1 Неявная функция одной переменной ................................... 58
7.2 Неявная функция двух переменных ..................................... 61
§ 8. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ .............. 65
8.1 Определение максимума и минимума функции двух
переменных ............................................................................. 65
8.2 Необходимое условие существования экстремума ............ 66
8.3 Достаточное условие существования экстремума .............. 68
§ 9. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ
ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ............................................ 72
ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ ........................... 80
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ ....... 94
ГЛОССАРИЙ ...................................................................................... 106
Приложение 1 ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ........................................ 112
Приложение 2 ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ............... 114
ЛИТЕРАТУРА ..................................................................................... 119
4
Стр.4