РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Стр.1

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.63

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ БУРЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ С. А. Ачитуев РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Рекомендовано УМС БГУ в качестве учебно-методического пособия для обучающихся по направлениям подготовки 01.03.01 Математика; 01.03.02 Прикладная математика и информатика; 02.03.03 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем Улан-Удэ Издательство Бурятского госуниверситета 2016

Стр.1

УДК 519.6 (075.8) ББК 22.311 я 73 А 975 Утверждено к печати редакционно-издательским советом Бурятского государственного университета Рецензенты Д. Ш. Ширапов доктор физико-математических наук, профессор В. В. Убодоев кандидат физико-математических наук, доцент Текст печатается в авторской редакции Ачитуев С. А. А 975 Разностные схемы решения задач математической физики : учебно-методическое пособие. — Улан-Удэ: Изд-во Бурятского государственного университета, 2016. — 64 с. ISBN 978-5-9793-0941-5 В учебно-методическом пособии приведены краткие теоретические сведения и даны практические рекомендации по решению задач обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных конечно-разностными методами. Пособие разработано для студентов Института математики и информатики. УДК 519.6 (075.8) ББК 22.311 я 73 © С. А. Ачитуев, 2016 ISBN 978-5-9793-0941-5 © Бурятский госуниверситет, 2016 2

Стр.2

ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящее учебное издание представляет собой учебнометодическое пособие для поддержки теоретического курса и руководство по выполнению практических лабораторных работ с индивидуальными заданиями одинаковой степени сложности. Разработано и подготовлено в соответствии с государственными образовательными стандартами дисциплины «Уравнения математической физики» в рамках реализации образовательной программы высшего образования по направлениям подготовки 01.03.01 Математика, 01.03.02 Прикладная математика и информатика, 02.03.03 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем очной формы обучения Дисциплина «Уравнения математической физики» относится к обязательным дисциплинам базовой части Б1. Б.2 в структуре образовательной программы. Пособие может быть использовано, как для работы под руководством преподавателя, так и для самостоятельного изучения. В результате освоения основных разделов пособия у выпускника по направлениям подготовки 01.03.01 «Математика», 01.03.02 «Прикладная математика и информатика», 02.03.03 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» должны быть сформированы следующие компетенции: ОПК-1 — готовность использовать фундаментальные знания в области математического анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей профессиональной деятельности; ПК-1 — способность к определению общих форм и закономерностей отдельной предметной области. В результате освоения дисциплины обучающийся должен: Знать: теоретические основы теории «Уравнений математической физики», методы решения основных уравнений математиче3

Стр.3

ской физики, как численными, так и аналитическими способами, основные определения и теоремы. Уметь: использовать теоретические знания при решении задач, связанных с обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями с частными производными 2-го порядка. Уметь классифицировать и приводить уравнения с частными производными к каноническому виду. Владеть: методами построения конечно-разностных схем и его решением; составлением программы на алгоритмическом языке и его отладка. Основной задачей настоящего учебно-методического пособия является закрепление теоретического материала и формирование навыков построения вычислительных алгоритмов для решения базовых задач, исследование свойств различных разностных схем (точность, сходимость, устойчивость и погрешность вычисления). Пособие состоит из двух разделов. Первый раздел включает тему «Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений», второй раздел — «Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных». В каждом разделе, помимо теоретического материала, содержится набор упражнений и заданий. В начале каждого параграфа приведены теоретические сведения, необходимые для решения задач. После каждого параграфа приведены задания, как для работы в аудитории, так и для самостоятельной работы. 4

Стр.4

Содержание Предисловие ………………………………………….... 3 I. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений ……………………... 5 1. 1. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений ……………………....... 5 1. 2. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений ……………………....... 19 1. 2.1. Метод сеток ……………………………….. 1. 2.2. Интегральный метод……………………....... 22 1. 2.3. Метод прогонки………………....................... 20 23 3. Методы сведения краевой задачи к задаче Коши…. 23 3.1. Метод стрельбы………………......................... 23 3.2. Метод дифференциальной прогонки 26 II. Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных………………..... 34 2.1. Смешанная задача для уравнения теплопроводности………………...................................... 34 2.2. Смешанная задача для волнового уравнения..... 42 2.3. Задача Дирихле для уравнения Лапласа.................. 46 2.3.1. Итерационные методы решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения в двухмерной области………………......................................................... 48 2.4. Аппроксимация. Устойчивость и сходимость разностных схем………………………………………..... 54 Библиографический список .............................................. 62 63

Стр.63