3098 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ» Задания к типовому расчету по дисциплине «Комплексный анализ» Ю.И. Денисенко Липецк Липецкий государственный технический университет 2015 УДК 515.17(07) Д332 Рецензент-канд. физ.-мат. наук, проф. <...> : задания к типовому расчету по дисциплине «Комплексный анализ» / Ю.И. Денисенко. <...> «Комплексный анализ» Педназначены для самостоятельной работы студентов направлений 010800.62 «Механика и математическое моделирование» и 220100.62 «Системный анализ» по дисциплине «Комплексный анализ» и студентов всех специальностей, на которых изучается теория функций комплексного переменного. <...> Элементарные функции комплексного переменного и их свойства. <...> Аналитическая функция комплексного переменного и их свойства. <...> Интеграл по комплексному переменному, сведение к интегралу по действительному переменному. <...> Разложение аналитической функции в ряд Лорана, формулы Коши для коэффициентов. <...> Изолированные особые точки: существенная особая точка, бесконечно удаленная точка. <...> Применения вычетов к вычислению интегралов по комплексному переменному. <...> Вычеты, применения вычетов к решению систем дифференциальных уравнений и интегральных уравнений. <...> Доказать теорему об извлечении корней из комплексных чисел. <...> Вывести формулы косинуса и синуса тройного аргумента. <...> Вывести формулы логарифма произведения и логарифма частного. <...> Вывести формулы связи между sh z и sinz, сh z и cosz, а также основное гиперболическое тождество. <...> Доказать признаки Даламбера и Коши абсолютной сходимости ряда комплексных чисел. <...> Какова область однолистности у функции w = zn? <...> Доказать теорему о сведении интеграла от функции комплексного переменного по кривой к определённому интегралу <...>
Типовой_расчет_по_дисциплине_«Комплексный_анализ».pdf
3098
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра высшей математики
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ»
Задания
к типовому расчету
по дисциплине «Комплексный анализ»
Ю.И. Денисенко
Липецк
Липецкий государственный технический университет
2015
Стр.1
УДК 515.17(07)
Д332
Рецензент-канд. физ.-мат. наук, проф. Ю.Д. Ермолаев
Денисенко, Ю.И.
Д332 Типовой расчет по дисциплине «Комплексный анализ».[Текст]: задания к
типовому расчету по дисциплине «Комплексный анализ»
/ Ю.И. Денисенко. – Липецк: Изд-во Липецкого государственного
технического университета, 2015. – 17 с.
Метод. указ. соответствуют дисциплине «Комплексный анализ» и содержат
варианты заданий к типовому расчету по данной дисциплине.
«Комплексный анализ»
Педназначены для самостоятельной работы студентов направлений 010800.62
«Механика и математическое моделирование» и 220100.62 «Системный
анализ» по дисциплине «Комплексный анализ» и студентов всех
специальностей, на которых изучается теория функций комплексного
переменного.
Библиогр. 7 назв.
© ФГБОУ ВПО «Липецкий
государственный технический
университет», 2015
4
Стр.2
Справочный материал
Тригонометрические и гиперболические формулы
1. sh z = – i sin iz;
2. сh z = cos iz;
3. sin iz = – i sh z;
4. cos iz = ch z;
5. sin 2z = 2 sin z cos z;
6. cos 2z = cos 2 z – sin 2 z = 2 cos 2 z – 1 = 1 – 2 sin 2 z;
7. cos 2z = ½(1 + cos2z);
8. sin 2z = ½ (1 – cos2z);
9. sin z1 cos z2 = ½ [sin (z1 - z2) + sin (z1 + z2)];
10. cos z1 cos z2 = ½ [сos (z1 - z2) + cos (z1 + z2)];
11. sin z1 cos z2 = ½ [sin (z1 - z2) + sin (z1 + z2)];
12. ch 2 z – sh 2 z = 1;
13. sh 2z = 2 sh z ch z;
14. ch 2z = ch 2z + sh 2z;
15. sh (z1 + z2) = sh z1 ch z2 + sh z2 ch z1;
16. sh (z1 - z2) = sh z1 ch z2 - sh z2 ch z1;
17. ch (z1 + z2) = ch z1 ch z2 + sh z2 sh z1;
18. ch (z1 - z2) = ch z1 ch z2 - sh z2 sh z1;
19. sh z1 sh z2 = ½ [сh (z1 - z2) – ch (z1 + z2)];
20. ch z1 ch z2 = ½ [сh (z1 - z2) + ch (z1 + z2)];
21. sh z1 ch z2 = ½ [sh (z1 - z2) + sh (z1 + z2)].
Некоторые элементарные функции комплексного переменного
Корень n –й степени:
n__
n__
w = z = r ( cos((φ + 2πk) /n) + sin((φ + 2πk) /n), где k = 0, ±1, ±2,…,
______
r = x2 + y2 , Arctg
Показательная функция:
x.y
w = ez = ex+iy = ex (cos y +i siny).
Логарифмическая функция:
w = Lnz = ln|z| + i Arg z = ln r + i (φ + 2πk).
Тригонометрические функции:
5
Стр.3