Может быть использовано инженерами и математиками-прикладниками для самостоятельного изучения курса «Функциональный анализ». <...> В нем содержатся задачи и упражнения по курсу «Функциональный анализ». <...> Материал учебного пособия охватывает теорию пространств: метрических, линейных нормированных, гильбертовых (гл. <...> 4) дается применение предыдущего материала к изучению линейных интегральных уравнений и к операторному методу решения задачи Штурма — Лиувилля. <...> Задачник может быть использован инженерами и математикамиприкладниками для самостоятельного изучения курса «Функциональный анализ». <...> обозначает метрическое пространство с метрикой ρ, если же метрика ρ фиксирована, то пишем просто X. <...> В этом случае говорят, что последовательность {xn} (n N) элементов метрического пространства X сходится к пределу x0 X по метрике пространства X. <...> Элементы пространства — непрерывные функции, заданные на отрезке [a, b]. <...> Сходимость последовательности по метрике пространства означает равномерную сходимость последовательности непрерывных функций xn(t) к (непрерывной) функции x0(t): 4. <...> Элементы пространства — непрерывные функции, заданные на отрезке [a, b]. <...> Сходимость последовательности xn Dk[a, b] к элементу x0 Dk[a, b] означает равномерную сходимости последовательности xn(t) и ее производных до k-го порядка включительно к функции x0(t) и ее производным соответствующего порядка. <...> Мера Лебега на конечном промежутке [a, b] это неотрицательная счетно-аддитивная функции E, определенная на специальном классе множеств («измеримых по Лебегу»). <...> Для открытого множества G, являющегося объединением конечного или счетного числа непересекающихся интервалов n, полагают (G) n , где |Δn| — длина интервала Δn. n Для замкнутого множества F = [a, b] \ G полагают (F) = b – a – (F). <...> Множество A [a, b] называется измеримым по Лебегу, если для любого ε > 0 существует такое открытое множество G и такое замкнутое множество F , что F A G и (G) – (F) < ε. <...> Мерой измеримого <...>
Задачи_и_упражнения_по_функциональному_анализу.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Б.П. Осиленкер
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ
Учебно-практическое пособие
Москва 2015
1
Стр.1
УДК 512.91 (07)
ББК 22.143я73
О-45
Р е ц е н з е н т ы :
доктор физ.-мат. наук, профессор А.В. Петров,
Российский государственный геологоразведочный университет;
доктор физ.-мат. наук, профессор И.М. Петрушко,
Национальный исследовательский университет МЭИ
Под редакцией А.Ю. Лемина
Осиленкер, Б.П.
О-45 Задачи и упражнения по функциональному анализу : учебнопрактическое
пособие / Б.П. Осиленкер ; М-во образования и науки Рос.
Федерации, Нац. исследоват. Моск. гос. строит. ун-т. Москва : НИУ
МГСУ, 2015. 128 с.
ISBN 978-5-7264-1186-6
Содержит основные теоретические положения по функциональному
анализу. Материал дается в виде определений, теорем и формул, а затем
проводится разбор решений типовых задач. Пособие адресовано студентам
технического вуза. Основное внимание уделено задачам технического
и вычислительного характера и задачам, позволяющим глубже уяснить
теоретическое понятие и результат.
Для студентов специалитета, обучающихся по специальности
230401.65 Прикладная математика. Может быть использовано инженерами
и математиками-прикладниками для самостоятельного изучения
курса «Функциональный анализ».
УДК 512.91 (07)
ББК 22.143я73
ISBN 978-5-7264-1186-6
2
НИУ МГСУ, 2015
Стр.2
О Г Л А В Л Е Н И Е
ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................. ....3
1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ................................................. ....4
1.1. Понятие метрического пространства.
Полнота метрических пространств .................................................. ....4
1.2. Множества в метрических пространствах ............................... ..14
1.3. Операторы и функционалы в метрических пространствах .... ..22
2. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА ..................................................... ..26
2.1. Линейные нормированные пространства.
Банаховы пространства .................................................................... ..26
2.2. Гильбертовы пространства. Ортогональные системы
в гильбертовых пространствах......................................................... ..34
2.3. Ряды Фурье по ортогональным системам в гильбертовом
пространстве. Построение элемента наилучшегоприближения ... ..42
3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ЛИНЕЙНЫЕ
ФУНКЦИОНАЛЫ В ЛИНЕЙНЫХ НОРМИРОВАННЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ ................................................................................ ..50
3.1. Непрерывность, ограниченность и норма линейного
оператора ........................................................................................... ..50
3.2. Спектр линейного оператора .................................................... ..56
3.3. Вполне непрерывные операторы в линейных
нормированных пространствах. Вполне непрерывные
самосопряженные операторы ........................................................... ..60
3.4. Обобщенные функции ............................................................... ..65
4. ПРИЛОЖЕНИЯ К ЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ И К ЗАДАЧЕ ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ ................ ..76
4.1. Линейные интегральные уравнения ......................................... ..76
4.2. Методы решения интегральных уравнений Фредгольма
и Вольтерра второго рода ................................................................. ..77
4.3. Метод функций Грина для краевой задачи
Штурма — Лиувилля ........................................................................ ..81
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ................................................................. ..90
Задачи к главе 1 ................................................................................. ..90
Задачи к главе 2 ................................................................................. ..97
Задачи к главе 3 ................................................................................. 108
Задачи к главе 4 ................................................................................. 121
Библиографический список ................................................................... 130
131
Стр.131