Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению 5-е издание (электронное) Под редакцией В. К. Романко Москва БИНОМ. <...> ISBN 978-5-9963-2662-4 Задачник обеспечивает практические занятия по курсу «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление». <...> Методы решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами. <...> Методы решения линейных систем уравнений с постоянными коэффициентами . <...> Поведение фазовых траекторий в окрестности грубых положений равновесия. <...> Поведение фазовых траекторий в окрестности негрубых положений равновесия и на всей фазовой плоскости . <...> Автономные системы дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка . <...> Приближенное изображение интегральных кривых уравнений Пусть семейство плоских непрерывно дифференцируемых кривых задано уравнением Φ(x, y,C)= 0,где y—неявная функция x при каждом значении параметра C. <...> Если система уравнений ∂Φ ∂x + ∂Φ ∂y · y =0, Φ(x, y,C)=0 позволяет исключить параметр C, то получается дифференциальное уравнение заданного семейства кривых. <...> Составить дифференциальное уравнение семейства кривых tg y = Ce−x2 . <...> Чтобы приближенно построить интегральные кривые дифференциtg y,по 6 Глава 1. <...> Построить приближенно интегральные кривые уравнения y = y −3x. <...> Значит, слева от прямой y =3x интегральные кривые—это графики возрастающих решений y = y(x) уравнения, а справа от прямой y =3x интегральные кривые—графики убывающих решений уравнения. <...> Изоклина y =3x +1 пересекает интегральные кривые в точках, в которых касательные к ним образуют Поэтому интегральные кривые не могут ни пересекаться, ни касаться. сосью Ox углы π 4 . <...> Составление уравнений заданного семейства плоских кривых 7 РИС. <...> Пусть y = ϕ(x)—решение уравнения y = f(x, y) с непрерывной функцией f(x, y) на всей плоскости (x, y). <...> Пусть f(x, y)—непрерывно дифференцируемая функция на всей плоскости (x, y) ипусть f(x, y)—периодическая функция по x периода T и ∂f(x, y) ∂y > 0. <...> Однородные уравнения Для решения уравнения с разделяющимися <...>
Сборник_задач_по_дифференциальным_уравнениям_и вариационному_исчислению.pdf
СБОРНИК
ЗАДАЧ
по дифференциальным
уравнениям
и вариационному
исчислению
Под редакцией
В. К. Романко
6-е издание, электронное
Москва
Лаборатория знаний
2020
Стр.2
ББКУДК 517.9
22.161.1
C23
В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В. В. Власов,
Л. И. Коваленко
А в т о р с к и й к о л л е к т и в:
C23
Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному
исчислению / В. К. Романко, Н. Х. Агаханов,
В. В. Власов, Л. И. Коваленко ; под ред. В. К. Романко. —
6-е изд., электрон. —М. : Лаборатория знаний, 2020. — 222 с. —
Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". —Загл.
с титул. экрана. —Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-799-8
Задачник обеспечивает практические занятия по курсу «Дифференциальные
уравнения и вариационное исчисление».
В начале каждого параграфа приводятся решения типовых заББКУДК
517.9
дач. Ко всем задачам даны ответы.
Для студентов физико-математических, инженерно-физических
и экономических специальностей.
22.161.1
Деривативное издание на основе печатного аналога: Сборник
задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению
/ В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В. В. Власов, Л. И. Коваленко
; под ред. В. К. Романко. — 6-е изд. —М. : Лаборатория знаний,
2020. — 219 с. : ил. —ISBN 978-5-00101-254-2.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты
авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя
возмещения убытков или выплаты компенсации
ISBN 978-5-00101-799-8
○c Лаборатория знаний, 2015
Стр.3
Оглавление
Предисловие . .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка .. .
§ 1. Составление уравнений заданного семейства плоских кривых. Приближенное
изображение интегральных кривых уравнений. . . . . . . . . .
4
5
5
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории.
Однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
§ 3. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и уравнения
Риккати .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 17
§§5. Исследование задачи Коши... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 29
§ 4. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
Замена переменных .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 24
6. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной.
Особые решения. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 38
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка .. 45
§ 7. Основные типы уравнений, допускающие понижение порядка
уравнения .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 45
§ 8. Методы решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
Уравнения Эйлера .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 56
§ 9. Методы решения линейных уравнений второго порядка с переменными
коэффициентами . .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 75
§ 10. Теорема Штурма. Граничные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений. 94
§ 11. Методы решения линейных систем уравнений с постоянными
коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
§ 12. Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами. . . . . 129
Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений
.. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 135
§ 13. Поведение фазовых траекторий в окрестности грубых положений
равновесия.. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 135
§ 14. Поведение фазовых траекторий в окрестности негрубых положений
равновесия и на всей фазовой плоскости .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 148
6. Первые интегралы. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 159
§1§ 15. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Глава 5. Автономные системы дифференциальные уравнения
в частных производных первого порядка .. .. .. . 166
§§ 17. Линейные однородные уравнения .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 166
18. Квазилинейные и нелинейные уравнения .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 182
Глава 6. Элементы вариационного исчисления .. .. .. .. .. .. .. .. 189
§§ 19. Простейшая вариационная задача .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 189
22. Достаточные условия строгого слабого локального экстремума в простейшей
вариационной задаче . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 216
Список литературы . .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 219
§ 20. Обобщения простейшей вариационной задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
§ 21. Изопериметрическая задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Стр.4