ISBN 978-5-9963-2642-6 Курс посвящен изучению динамики конечномерных голономных механических систем с идеальными связями. <...> Динамика обсуждается с привлечением уравнений Лагранжа, Гамильтона, уравнения Гамильтона—Якоби. <...> Вывод уравнений Лагранжа (только второго рода) проведен для систем, состоящих из материальных точек и твердых тел. <...> Уравнения Лагранжа использованы, в частности, для составления уравнений состояния электрических и электромеханических систем. <...> При формулировке условий равновесия и устойчивости по Ляпунову особое внимание уделено стационарно заданным системам, положение которых определено набором обобщенных координат (без участия времени). <...> В основу рассмотрения асимптотической устойчивости положена теорема Барбашина—Красовского. <...> При обсуждении первых интегралов уравнений Гамильтона особое внимание уделено «бесплатным» способам их нахождения: циклические и отделимые координаты, обобщенно консервативные системы, теорема Якоби—Пуассона. <...> Интегральные инварианты Пуанкаре и Пуанкаре—Картана использованы для замены переменных {время—состояние} и только {состояние} в уравнениях Гамильтона. <...> Как следствие замены переменных приведены уравнения Уиттекера, уравненияЯкоби, принцип Мопертюи—Лагранжа. <...> Основываясьна интегральных инвариантах и на теореме Ли Хуачжуна, доказаны критерии каноничности преобразований уравнений Гамильтона при различных выборах независимых переменных. <...> Изучен фазовый поток уравнений Гамильтона как каноническое преобразование. <...> Конечномерная механическая система —совокупность конечного числа материальных точек и конечного числа твердых тел. <...> Считая, что q(t)—известные функции t, вычислим полную производную от a по t: da dt = ˙a(t,q)= ∂a Из этого выражения следует ∂ ˙a ∂ ˙qk = ∂a ∂qk . <...> Выражение (1.2) влечет также формулу d dt ∂a ∂qk = ∂ ˙a ∂qk , (1.4) для вывода которой сравнивается результат вычисления производной по t в левой части формулы (1.4) с результатом дифференцирования <...>
Краткий_курс_аналитической_динамики.pdf
Г. Н. Яковенко
Краткий курс
аналитической
динамики
Рекомендовано
высших учебных заведений
Учебнометодическим объединением
Российской Федерации по образованию
в области прикладных математики и физики
в качестве учебного пособия
по теоретической физике
(теоретической механике)
для студентов высших учебных заведений
по направлению
«Прикладные математика и физика»
4е издание, электронное
Москва
Лаборатория знаний
2020
Стр.2
ББКУДК 531(075.8)
22.21
Я47
Издание осуществлено при поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований по проекту 02-01-00697 и
Совета Программ поддержки ведущих научных школ по
гранту НШ-2094.2003.1
Московского инженерно-физического института
(государственного университета),
д. ф.-м. н. М. Ю. Овчинников
кафедра теоретической физики
Рецензенты:
Яковенко Г. Н.
Я47 Краткий курс аналитической динамики / Г. Н. Яковенко.
— 4-е изд., электрон. —М. : Лаборатория знаний, 2020. —
240 с. —Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10".—
Загл. с титул. экрана. —Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-698-4
Курс посвящен изучению динамики конечномерных голономных
механических систем с идеальными связями. Динамика обсуждается
с привлечением уравнений Лагранжа, Гамильтона, уравнения
Гамильтона—Якоби. Методы аналитической динамики используются
для изучения вопросов устойчивости положения равновесия, поведения
электромеханических систем.
Книга предназначена для студентов, аспирантов и преподавателей
университетов, физико-технических и инженерно-физических
вузов. Она будет полезна студентам технических вузов при изучении
теоретической механики, а также специалистам, желающим углубить
и расширить свои знания в области механики.
ББКУДК 531(075.8)
22.21
Деривативное издание на основе печатного аналога: Краткий
курс аналитической динамики / Г. Н. Яковенко. —М. : БИНОМ. Лаборатория
знаний, 2004. — 237 с. : ил. — ISBN 5-94774-124-5.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты
авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя
возмещения убытков или выплаты компенсации
ISBN 978-5-00101-698-4
○c Лаборатория знаний, 2015
Стр.3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ..... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ...
Глава 1. Уравнения Лагранжа ... ........ ........ ........ ........ ...
§ 1. Основные определения. Кинематические формулы .... ...
3
5
5
§ 2. Структурная формула для уравнений Лагранжа ...... ... 12
§ 3. Голономные системы. Обобщенные координаты ........ ... 19
§ 4. Кинетическая энергия в обобщенных координатах ..... ... 30
§ 5. Уравнения Лагранжа .. ........ ........ ........ ........ ... 35
§ 6. Уравнения Лагранжа при отсутствии в механической системе
твердых тел ...... ........ ........ ........ ........ ... 41
§ 7. Стационарно заданные системы: консервативные, гироскопические,
диссипативные ....... ........ ........ ........ ... 51
§ 8. Обобщенный потенциал ........ ........ ........ ........ ... 55
§ 9. Обратная задача лагранжева формализма ..... ........ ... 57
§ 10. Электромеханические аналогии ........ ........ ........ ... 66
Глава 2. Равновесие ...... ........ ........ ........ ........ ........ ... 71
§ 11. Определение положения равновесия ... ........ ........ ... 71
§ 12. Критерий равновесия стационарно заданной системы . . . . . 73
§ 13. Потенциальный случай. Принцип возможных перемещений.
Условия равновесия твердого тела ........ ........ ... 76
Глава 3. Устойчивость положения равновесия консервативной системы
.. ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ... 83
§ 14. Устойчивость по Ляпунову. Функции Ляпунова ........ ... 83
§ 15. Теоремы Ляпунова и Четаева о характере устойчивости
нулевого решения ...... ........ ........ ........ ........ ... 85
§ 16. Устойчивость перманентных вращений свободного твердого
тела . ........ ........ ........ ........ ........ ........ ... 88
§ 17. Условия устойчивости и неустойчивости равновесия консервативной
системы . . . ........ ........ ........ ........ ... 91
Глава 4. Малые колебания консервативной системы ..... ........ ... 97
§ 18. Постановка задачи о малых колебаниях ....... ........ ... 97
§ 19. Решение задачи о малых колебаниях ... ........ ........ ... 99
§ 20. Нормальные координаты ....... ........ ........ ........ ... 103
§ 21. Реакция консервативной системы на периодическое воздействие
... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ... 106
§ 22. Случай нулевого корня в уравнении частот .... ........ ... 108
Глава 5. Асимптотическая устойчивость . ........ ........ ........ ... 109
§ 23. Теоремы Барбашина—Красовского и Ляпунова ........ ... 109
§ 24. Устойчивость диссипативных систем ... ........ ........ ... 112
Стр.237
Оглавление 237
§ 25. Устойчивость линейных автономных систем . . . ........ ... 115
§ 26. Устойчивые многочлены. Критерии Рауса—Гурвица и Михайлова
. ........ ........ ........ ........ ........ ........ ... 117
Глава 6. Гамильтонова механика . ........ ........ ........ ........ ... 135
§ 29. Канонические уравнения Гамильтона . . ........ ........ ... 135
§ 30. Первые интегралы гамильтоновых систем. Теорема Якоби—Пуассона.
Уравнения Уиттекера ... ........ ........ ... 137
§ 31. Принцип Гамильтона. Замена переменных в уравнениях
Лагранжа ...... ........ ........ ........ ........ ........ ... 144
§ 32. Теорема Эмми Нётер ... ........ ........ ........ ........ ... 151
§ 33. Характер экстремума действия по Гамильтону ........ ... 156
§ 34. Интегральные инварианты. Принцип Мопертюи—Лагранжа
...... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ... 171
§ 35. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема ..... ... 180
§ 36. Теорема Ли Хуачжуна о совокупности универсальных интегральных
инвариантов первого порядка ..... ........ ... 185
Глава 7. Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона—
Якоби . ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ... 191
§ 37. Канонические преобразования: определение, основной критерий
... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ... 191
§ 27. Устойчивость по линейному приближению ..... ........ ... 122
§ 28. Вынужденные движения автономной системы. Частотные
характеристики ........ ........ ........ ........ ........ ... 128
§ 38. Варианты выбора независимых переменных в основном
критерии ...... ........ ........ ........ ........ ........ ... 195
§ 39. Фазовый поток гамильтоновой системы и канонические
преобразования . ........ ........ ........ ........ ........ ... 205
§ 40. Следствия из основного критерия каноничности. Инволютивные
системы ........ ........ ........ ........ ........ ... 212
§ 41. Уравнение Гамильтона—Якоби . ........ ........ ........ ... 217
Литература ....... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ... 229
Предметный указатель ... ........ ........ ........ ........ ........ ... 231
Стр.238