В результате появления ЭВМ(электронно-вычислительных машин или, как часто говорят, компьютеров) с программным управлением менее чем за пятьдесят лет скорость выполнения арифметических операций возросла от 0,1 операции в секунду при ручном счете до 1012 операций на современных серийных ЭВМ, т. е. примерно в 1013 раз. <...> Правильнее будет сказать, что достижения в области использования ЭВМобусловлены сочетанием ряда существенных факторов, без пропорционального развития которых они были бы много скромнее: 1) увеличение быстродействия ЭВМ, расширение памяти, совершенствование структуры ЭВМ, неуклонное снижение стоимости арифметической операции и единицы памяти; 2) разработка программных средств общения с ЭВМ, включающая создание операционных систем, языков программирования, библиотек и пакетов стандартных программ, снижение требований (в случае персональных ЭВМ) к математической и программистской культуре; Введение 11 3) рост понимания процессов и явлений науки, техники, природы и общества и создание их математических моделей; 4) совершенствование методов решения традиционных математических и прикладных задач и создание методов решения новых задач; 5) рост понимания возможностей применения ЭВМсреди широких слоев общества; распространение так называемой компьютерной грамотности; координация усилий специалистов разного профиля по использованию вычислительной техники. <...> Часто неустранимую погрешность подразделяют на две части: а) неустранимой погрешностью называют лишь погрешность, являющуюся следствием неточности задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи; б) погрешность, являющуюся следствием несоответствия математического описания задачи реальности, называют, соответственно, погрешностью математической модели. <...> Как только принимается такое описание задачи, решение уже приобретает неустранимую погрешность, в частности, потому, что реальное Рис. <...> Вычислительная <...>
Численные_методы_(2).pdf
ББКУДК 519.6 (075)22.193
Б30
Московского государственного университета
имени М. В. Ломоносова
по решению Ученого совета
Печатается
Бахвалов Н. С.
Б30 Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков,
Г. М. Кобельков. — 12-е изд., электрон. —М. : Лаборатория
знаний, 2024. — 639 с. — (Классический университетский учебник).
— Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". —
Загл. с титул. экрана. —Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-875-3
Классический учебник по численным методам, переработанный
с учетом современных тенденций в вычислительных методах. В данном
издании устранены неточности и опечатки, имевшиеся в предыдущих
изданиях, упрощены некоторые доказательства.
Для студентов и преподавателей вузов, а также для специалистов,
использующих численные методы в своей работе.
ББКУДК 519.6 (075)22.193
Деривативное издание на основе печатного аналога: Численные
методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. — 11-е
изд. —М. : Лаборатория знаний, 2023. — 636 с. : ил. — (Классический
университетский учебник). — ISBN 978-5-93208-359-8.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель
вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты
компенсации
ISBN 978-5-93208-875-3
© Лаборатория знаний, 2015
© МГУ им. М. В. Ломоносова,
художественное оформление, 2003
Стр.5
Предисловие
Предисловие к третьему изданию
Введение
1 Погрешность результата численного решения задачи
5
7
9
17
§ 1. Источники и классификация погрешности . . . ..... .... ..... . 17
§ 2. Запись чисел в ЭВМ....... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 21
§ 3. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи
данных. .... .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 22
§ 4. О вычислительной погрешности . .... ..... .... ..... .... ..... . 25
§ 5. Погрешность функции . ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 27
§ 6. Обратная задача ... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 32
2 Интерполяция и численное дифференцирование
35
§ 1. Постановка задачи приближения функций . . . ..... .... ..... . 36
§ 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа . .... ..... .... ..... . 39
§ 3. Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена
Лагранжа . . .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 43
§ 4. Разделенные разности и их свойства . .... .... ..... .... ..... . 43
§ 5. Интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями
. ... .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 45
§ 6. Разделенные разности и интерполирование с кратными узлами
.. ..... .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 48
§ 7. Уравнения в конечных разностях. ... ..... .... ..... .... ..... . 51
§ 8. Многочлены Чебышева. ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 58
§ 9. Минимизация оценки остаточного члена интерполяционной
формулы. .. .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 62
§ 10. Конечные разности . .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 65
§ 11. Интерполяционные формулы для таблиц с постоянным шагом.
... ..... .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 68
§ 12. Составление таблиц .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 71
§ 13. О погрешности округления при интерполяции .... .... ..... . 74
§ 14. Применения аппарата интерполирования. Обратная интерполяция
. ..... .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 75
§ 15. Численное дифференцирование . . .... ..... .... ..... .... ..... . 76
§ 16. О вычислительной погрешности формул численного дифференцирования
. . ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 83
§ 17. Рациональная интерполяция ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 85
Стр.634
634
3 Численное интегрирование
Оглавление
86
§ 1. Простейшие квадратурные формулы. Метод неопределенных
коэффициентов ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 86
§ 2. Оценки погрешности квадратуры .... ..... .... ..... .... ..... . 89
§ 3. Квадратурные формулы Ньютона—Котеса. ... ..... .... ..... . 94
§ 4. Ортогональные многочлены . ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 99
§ 5. Квадратурные формулы Гаусса .. .... ..... .... ..... .... ..... . 106
§ 6. Практическая оценка погрешности элементарных квадратурных
формул ... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 113
§ 7. Интегрирование быстро осциллирующих функций .... ..... . 116
§ 8. Повышение точности интегрирования за счет разбиения отрезка
на равные части ...... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 119
§ 9. О постановках задач оптимизации. .. ..... .... ..... .... ..... . 124
§ 10. Постановка задачи оптимизации квадратур .. ..... .... ..... . 129
§ 11. Оптимизация распределения узлов квадратурной формулы 131
§ 12. Примеры оптимизации распределения узлов . ..... .... ..... . 137
§ 13. Главный член погрешности . ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 140
§ 14. Правило Рунге практической оценки погрешности. ... ..... . 144
§ 15. Уточнение результата интерполяцией более высокого порядка
точности ... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 148
§ 16. Вычисление интегралов в нерегулярном случае ... .... ..... . 150
§ 17. Принципы построения стандартных программ с автоматическим
выбором шага .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 157
4 Приближение функций и смежные вопросы
164
§ 1. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве
.. .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 164
§ 2. Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве и вопросы,
возникающие при его практическом построении . . . . 166
§ 3. Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразование
Фурье . .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 171
§ 4. Быстрое преобразование Фурье .. .... ..... .... ..... .... ..... . 175
§ 5. Наилучшее равномерное приближение .... .... ..... .... ..... . 178
§ 6. Примеры наилучшего равномерного приближения .... ..... . 181
§ 7. О форме записи многочлена. .... .... ..... .... ..... .... ..... . 187
§ 8. Интерполяция и приближение сплайнами .... ..... .... ..... . 191
5 Многомерные задачи
201
§ 1. Метод неопределенных коэффициентов . . . .... ..... .... ..... . 202
§ 2. Метод наименьших квадратов и регуляризация . . . .... ..... . 203
§ 3. Примеры регуляризации .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 206
§ 4. Сведение многомерных задач к одномерным . ..... .... ..... . 212
§ 5. Интерполяция функций в треугольнике . . .... ..... .... ..... . 220
§ 6. Оценка погрешности численного интегрирования на равномерной
сетке .. ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 222
§ 7. Оценка снизу погрешности численного интегрирования . . . . . 225
§ 8. Метод Монте-Карло . ... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 232
Стр.635
Оглавление
635
§ 9. Обсуждение правомерности использования недетерминированных
методов решения задач . . .... ..... .... ..... .... ..... . 236
§ 10. Ускорение сходимости метода Монте-Карло .. ..... .... ..... . 239
§ 11. О выборе метода решения задачи ... ..... .... ..... .... ..... . 243
6 Численные методы алгебры
250
§ 1. Методы последовательного исключения неизвестных . . ..... . 253
§ 2. Метод отражений .. .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 262
§ 3. Метод простой итерации . ... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 265
§ 4. Особенности реализации метода простой итерации на ЭВМ 268
§5. δ2-процесс практической оценки погрешности и ускорения
сходимости . .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 271
§ 6. Оптимизация скорости сходимости итерационных процессов 275
§ 7. Метод Зейделя ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 285
§ 8. Метод наискорейшего градиентного спуска . .. ..... .... ..... . 290
§ 9. Метод сопряженных градиентов . .... ..... .... ..... .... ..... . 294
§ 10. Итерационные методы с использованием спектрально-эквивалентных
операторов . . ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 301
§ 12. Проблема собственных значений . .... ..... .... ..... .... ..... . 315
§ 13. Решение полной проблемы собственных значений при помощи
QR-алгоритма .. .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 320
7 Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации
§
11. Погрешность приближенного решения системы уравнений и
обусловленность матриц. Регуляризация . . .... ..... .... ..... . 304
325
§ 1. Метод простой итерации и смежные вопросы .... .... ..... . 327
§ 2. Метод Ньютона решения нелинейных уравнений . .... ..... . 331
§ 3. Методы спуска ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 337
§ 4. Другие методы сведения многомерных задач к задачам
меньшей размерности .. ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 342
364
§ 5. Решение стационарных задач путем установления .... ..... . 345
§ 6. Что и как оптимизировать? ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 353
8 Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений
§ 1. Решение задачи Коши с помощью формулы Тейлора ..... . 365
§ 2. Методы Рунге—Кутта .. ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 367
§ 3. Методы с контролем погрешности на шаге .. ..... .... ..... . 373
§ 4. Оценки погрешности одношаговых методов .. ..... .... ..... . 375
§ 5. Конечно-разностные методы ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 380
§ 6. Метод неопределенных коэффициентов . . . .... ..... .... ..... . 383
§ 7. Исследование свойств конечно-разностных методов на модельных
задачах ... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 387
§ 8. Оценка погрешности конечно-разностных методов .... ..... . 392
§ 9. Особенности интегрирования систем уравнений ... .... ..... . 400
§ 10. Методы численного интегрирования уравнений второго порядка
. ..... .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 412
Стр.636
636
Оглавление
§ 11. Оптимизация распределения узлов интегрирования ... ..... . 415
9 Численные методы решения краевых задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений
420
§ 1. Простейшие методы решения краевой задачи для уравнений
второго порядка .... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 420
§ 2. Функция Грина сеточной краевой задачи .... ..... .... ..... . 426
§ 3. Решение простейшей краевой сеточной задачи . ... .... ..... . 431
§ 4. Замыкания вычислительных алгоритмов . .... ..... .... ..... . 439
§ 5. Обсуждение постановок краевых задач для линейных систем
первого порядка .... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 447
§ 6. Алгоритмы решения краевых задач для систем уравнений
первого порядка .... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 452
§ 7. Нелинейные краевые задачи ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 458
§ 8. Аппроксимации специального типа . . ..... .... ..... .... ..... . 464
§ 9. Конечно-разностные методы отыскания собственных значений
... ..... .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 476
§ 10. Построение численных методов с помощью вариационных
принципов . .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 479
§ 11. Улучшение сходимости вариационных методов в нерегулярном
случае .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 489
§ 12. Влияние вычислительной погрешности в зависимости от
формы записи конечно-разностного уравнения .... .... ..... . 491
10 Методы решения уравнений в частных производных
498
§ 1. Основные понятия теории метода сеток . . .... ..... .... ..... . 500
§ 2. Аппроксимация простейших гиперболических задач . . ..... . 508
§ 3. Принцип замороженных коэффициентов . . .... ..... .... ..... . 524
§ 4. Численное решение нелинейных задач с разрывными решениями
. ..... .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 527
§ 5. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения
... ..... .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 531
§ 6. Разностная аппроксимация эллиптических уравнений ...... . 546
§ 7. Решение параболических уравнений с несколькими пространственными
переменными. ... .... ..... .... ..... .... ..... . 569
§ 8. Методы решения сеточных эллиптических уравнений. ..... . 583
11 Численные методы решения интегральных уравнений
602
§ 1. Решение интегральных уравнений методом замены интеграла
квадратурной суммой .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 602
§ 2. Решение интегральных уравнений с помощью замены ядра
на вырожденное .... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 607
§ 3. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода .. ..... . 611
Заключение
Список литературы
Предметный указатель
620
624
629
Стр.637