Пособие включает следующие разделы: векторы на плоскости и в пространстве, метод координат, прямые и кривые второго порядка на плоскости, плоскости, прямые и поверхности второго порядка в пространстве, геометрические преобразования, геометрические построения на плоскости. <...> По мнению авторов, будущему школьному учителю математики недостаточно освоить указанные разделы, необходимо понимать их взаимосвязь со школьной математикой и научиться применять их материал к решению задач элементарной геометрии. <...> Направленный отрезок называется нулевым, если его начало совпадает с его концом. <...> Условие рефлексивности выполнено, так как направленный отрезок коллинеарен сам себе. <...> Если даны направленный отрезок AB и точка С, то существует единственная точка D, для которой AB CD= . <...> В этом случае говорят, что направленный отрезок AB отложен от точки С. <...> Прежде чем приступить к изложению последнего, четвертого свойства операции произведения вектора на число, докажем теорему о коллинеарных векторах. <...> Теорема о коллинеарных векторах (теорема 1, § 2) позволяет выяснить этот смысл для линейной зависимой системы, состоящей из двух векторов. тогда, когда они коллинеарны. <...> Из следствия теоремы 1 вытекает, что базис плоскости образует линейно независимую систему векторов. <...> Произвольный базис плоскости называется аффинным или общим декартовым. <...> Если на плоскости дан базис, то любой ее вектор линейно выражается через векторы базиса, при этом коэффициенты разложения определяются единственным образом. <...> Обозначим векторы базиса через которой точки О: OE e= , OE e= . <...> Введем основное понятие аналитической геометрии — координаты вектора. <...> Таким образом, координаты вектора плоскости представляют собой упорядоченную пару чисел — коэффициенты разложения вектора по векторам базиса. <...> Координаты вектора будем заключать в фигурные скобки. <...> Так как векторы базиса не компланарны, то точка E3 не лежит в этой плоскости. <...> В этом случае будем также говорить <...>
Геометрия_1.pdf
УЧЕБНИК ДЛЯ ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ
С. Л. Атанасян, В. Г. Покровский
ГЕОМЕТРИЯ
1
Учебное пособие
для вузов
Допущено
Учебно-методическим объединением
по направлению педагогического образования
в качестве учебного пособия по направлению 050100
Педагогическое образование
3-E ИЗДАНИЕ, ЭЛЕКТРОННОЕ
Лаборатория знаний
2021
Москва
Стр.2
УДК 514
ББК 22.1
А92
Атанасян С. Л.
А92
Геометрия 1 : учебное пособие для вузов /
С. Л. Атанасян, В. Г. Покровский ; под ред. С. Л. Атанасяна.—3-е
изд., электрон.—М. : Лаборатория
знаний, 2021.—334 с.—Систем. требования: Adobe
Reader XI ; экран 10".—Загл. с титул. экрана.—
Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-507-3
В учебнике собран материал первой части единого
курса геометрии, изучение которого необходимо будущему
учителю математики для успешной работы со школьниками.
Изложение теоретического материала проиллюстрировано
типовыми примерами.
Для студентов, аспирантов и преподавателей математических
факультетов вузов.
УДК 514
ББК 22.1
Деривативное издание на основе печатного аналога: Геометрия
1 : учебное пособие для вузов / С. Л. Атанасян,
В. Г. Покровский ; под ред. С. Л. Атанасяна.—М. : БИНОМ.
Лаборатория знаний, 2014.—331 с. : ил.
ISBN 978-5-9963-1531-4.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты
авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя
возмещения убытков или выплаты компенсации
ISBN 978-5-93208-507-3
©Лаборатория знаний, 2015
Стр.3
оглаВление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Глава I. Векторы и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
§ 1. Векторы на плоскости и в пространстве . . . . . . . . . . . . 5
§ 2. Линейные операции над векторами . . . . . . . . . . . . . . 10
§ 3. Координаты векторов на плоскости и в пространстве . . . . 19
§ 4. Скалярное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . 29
§ 5. Ориентация плоскости и пространства . . . . . . . . . . . . 38
§ 6. Векторное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . 49
§ 7. Смешанное произведение векторов. . . . . . . . . . . . . . . 57
§ 8. Применение свойств векторов к решению задач
элементарной геометрии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Глава II. Координаты точек на плоскости и в пространстве . . 69
§ 9. Аффинные и прямоугольные декартовы координаты
точек на плоскости и в пространстве . . . . . . . . . . . . . . 69
§ 10. Простейшие задачи аналитической геометрии . . . . . . . . 76
§ 11. Уравнения линий и поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . 80
§ 12. Применение свойств координат точек к решению задач
элементарной геометрии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Глава III. Алгебраические линии первого и второго
порядков на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
§ 13. Уравнение прямой в аффинной системе координат . . . . . 95
§ 14. Уравнение прямой в прямоугольной декартовой
системе координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
§ 15. Применение свойств уравнений прямой к решению
задач элементарной геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . 111
§ 16. Эллипс и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
§ 17. Гипербола и ее свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
§ 18. Парабола, полярные уравнения кривых второго порядка 132
§ 19. Исследование кривой второго порядка по ее общему
уравнению, асимптотические направления, центры
и касательные кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
§ 20. Диаметры и главные диаметры кривой второго порядка 148
§ 21. Классификация кривых второго порядка . . . . . . . . . . 157
Глава IV. Плоскости, прямые и поверхности второго
порядка в пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
§ 22. Уравнение плоскости в пространстве . . . . . . . . . . . . 165
§ 23. Уравнения прямой линии в пространстве . . . . . . . . . . 176
Стр.331
Оглавление 331
§ 24. Применение свойств уравнений прямых и плоскостей
к решению задач элементарной геометрии . . . . . . . . . 186
§ 25. Метод сечений, цилиндрические и конические
поверхности, поверхности вращения . . . . . . . . . . . . 190
§ 26. Эллипсоиды и гиперболоиды . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
§ 27. Параболоиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Глава V. Геометрические преобразования . . . . . . . . . . . . 216
§ 28. Отображения и преобразования множеств . . . . . . . . . 216
§ 29. Движения плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
§ 30. Аналитическое выражение движения, классификация
движений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
§ 31. Движения трехмерного пространства . . . . . . . . . . . . 248
§ 32. Подобия плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
§ 33. Применение свойств движения и подобия для решения
задач элементарной геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . 265
§ 34. Аффинные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
§ 35. Аффинно эквивалентные фигуры. Приложения
аффинных преобразований к решению задач
элементарной геометрии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
§ 36. Инверсия плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Глава VI. Геометрические построения на плоскости. . . . . . 294
§ 37. Первоначальные понятия, основные построения. . . . . . 294
§ 38. Методы решения задач на построение . . . . . . . . . . . . 302
§ 39. Алгебраический метод. Разрешимость задач
на построение циркулем и линейкой. . . . . . . . . . . . . 312
§ 40. Задачи, неразрешимые циркулем и линейкой.
Построение правильных многоугольников . . . . . . . . . 318
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Стр.332