ISBN 978-5-93208-209-6 В учебнике рассматриваются методы теории функций комплексного переменного, которые часто применяются в прикладных задачах: операции с функциями комплексного переменного, разложения в ряды, конформные отображения, вычисление интегралов с помощью вычетов, основы операционного исчисления. <...> Основное внимание в книге уделяется методам ТФКП, которые находят широкое применение в прикладных задачах (разложение в ряды, вычисление интегралов с помощью вычетов, конформные отображения). <...> В четвертой главе изложена теория вычетов и ее приложения. <...> Поэтому комплексные числа (x, 0) отождествляются с действительными числами: (x, 0) = x. <...> Комплексные числа 0+iy = iy называют чисто мнимыми. <...> Для этих чисел приняты следующие обозначения* : x = Re(x+iy)= Rez, y = Im(x+iy)= Imz. <...> Комплексные числа 7 Из этого определения следует, что операция сопряжения перестановочна с арифметическими операциями над комплексными числами: z1 ±z2 = z1 ±z2, z1z2 = z1 · z2, (zn)=(z)n,n∈ N. <...> На комплексной плоскости эти точки расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность ни из числа a (обозначается n Замечан и е. <...> Расширенная комплексная плоскость Понятие «бесконечность» вводится с помощью следующего определения. <...> Комплексная плоскость, дополненная бесконечно удаленной точкой, называется расширенной комплексной плоскостью и обозначается C. <...> Расширенная комплексная плоскость компактна, т. е. из любой последовательности комплексных чисел можно выделить сходящуюся (может быть, к бесконечности) подпоследовательность. <...> Кривая z = eit, 0 t π является полуокружностью |z| =1,Imz 0, ориентированной против часовой стрелки (рис. <...> Области Множество D точек комплексной плоскости называется областью, если это множество: открытое, т. е. для каждой точки, принадлежащей D, существует окрестность этой точки, принадлежащая D; связное, т. е. любые две точки, принадлежащие D, можно соединить кривой, все точки которой принадлежат D. <...> Эту область будем называть так: «круг <...>
Теория_функций_комплексного_переменного.pdf
ББКУДК 517.9
22.161.1
Ш13
Шабунин М. И.
Ш13 Теория функций комплексного переменного / М. И. Шабунин,
Ю. В. Сидоров. — 5-е изд., электрон. —М. : Лаборатория
знаний, 2020. — 303 с. — Систем. требования: Adobe
Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. —Текст :
электронный.
ISBN 978-5-00101-916-9
В учебнике рассматриваются методы теории функций комплексного
переменного, которые часто применяются в прикладных задачах:
операции с функциями комплексного переменного, разложения
в ряды, конформные отображения, вычисление интегралов с помощью
вычетов, основы операционного исчисления. В книге разобрано
большое количество примеров, помогающих читателю глубже освоить
теорию и приобрести навыки решения практических задач.
Студентам физико-математических и инженерно-физических
специальностей университетов и вузов с расширенной математической
подготовкой.
ББКУДК 517.9
22.161.1
Деривативное издание на основе печатного аналога: Теория
функций комплексного переменного / М. И. Шабунин, Ю. В. Сидоров.
— 4-е изд. —М. : Лаборатория знаний, 2018. — 300 с. : ил. —
ISBN 978-5-00101-135-4.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных техническими средствами защиты авторских прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации
ISBN 978-5-00101-916-9
○c Лаборатория знаний, 2015
Стр.3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 3
Глава 1. Введение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5
§ 1. Комплексные числа . .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5
1. Определение комплексного числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Комплексно сопряженные числа .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 6
3. Модуль комплексного числа ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 7
4. Свойства арифметических операций над комплексными
числами . .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 8
5. Геометрическая интерпретация комплексного числа . . 9
6. Тригонометрическая форма комплексного числа . . . . . 11
7. Показательная форма комплексного числа . . . . . . . . . . . 12
8. Извлечение корня . .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 14
§ 2. Последовательности и ряды комплексных чисел . . . . . . . . . . . 15
1. Предел последовательности ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 15
2. Расширенная комплексная плоскость .. .. .. .. .. .. .. .. 17
§ 3. Кривые и области на комплексной плоскости . . . . . . . . . . . . . 19
1. Непрерывные кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. Кусочно-гладкие кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3. Области . .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 24
4. Непрерывная деформация кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
§ 4. Непрерывные функции комплексного переменного . . . . . . . . . 28
1. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2. Непрерывность функции в точке и в области . . . . . . . 29
3. Непрерывность функции на кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4. Непрерывность функции в области вплоть до границы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5. Показательная, тригонометрические и гиперболические
функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
§ 5. Интегрирование функций комплексного переменного . . . . . . . 37
1. Определение интеграла .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 37
2. Свойства интегралов . .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . 40
3. Оценки интегралов.. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 40
§ 6. Функция Arg z .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 42
1. Полярные координаты . .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 42
2. Приращение аргумента вдоль кривой . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3. Непрерывные ветви функции Arg z .. .. .. .. .. .. .. .. .. 46
Стр.297
Оглавление 297
Глава 2. Регулярные функции .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. 50
§ 7. Дифференцируемые функции. Условия Коши–Римана . . . . . . 50
1. Производная . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... 50
2. Условия Коши–Римана . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. 52
§ 8. Интегральная теорема Коши . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. 55
1. Теорема Коши . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . 55
2. Следствия и дополнения к интегральной теореме
Коши .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . 56
3. Первообразная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
§ 9. Регулярные функции. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
§ 10. Интегральная формула Коши . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . .. . 66
§ 11. Свойства регулярных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1. Свойства функций, дифференцируемых в области . . . 69
2. Примеры разложения регулярных функций вряды
Тейлора .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . 70
3. Достаточные условия регулярности функции в области
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. 71
4. Лемма об устранимой особенности (о стирании пунктира)
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. 72
§ 12. Гармонические функции. Теоремы о среднем . . . . . . . . . . . . . . 74
§ 13. Обратная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1. Понятие обратной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2. Однолистные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3. Функция w = zn, n ∈ N, и обратная к ней . . . . . . . . . . 81
4. Функция w = ez и обратная к ней .. .. .. .. .. .. .. . .. . 84
§ 14. Теорема единственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1. Нули регулярной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2. Теорема единственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
§ 15. Ряд Лорана . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. ... .. 91
1. Разложение регулярной функции вряд Лорана . . . . . 91
2. Единственность разложения функции в ряд Лорана . 95
3. Примеры разложений рациональных функций вряды
Лорана .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. 95
§ 16. Изолированные особые точки однозначного характера . . . . . 98
1. Классификация изолированных особых точек . . . . . . . . 98
2. Устранимая особая точка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3. Полюс . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... 99
4. Существенно особая точка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5. Исследование особых точек с помощью рядов
Лорана .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. 104
6. Ряд Лорана вокрестности точки z = ∞ .. .. .. .. . .. . 106
7. Теорема Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Стр.298
298 Оглавление
Глава 3. Многозначные аналитические функции .. .. .. .. .. .. .. .. . 111
§ 17. Понятие аналитической функции и ее регулярной ветви . . . 111
1. Аналитическое продолжение вдоль цепочки областей . 111
2. Аналитическое продолжение вдоль кривой . . . . . . . . . . . 114
3. Суперпозиция аналитических функций . . . . . . . . . . . . . . 116
4. Определение аналитической вобласти функции . . . . . 116
5. Аналитические и регулярные ветви полных аналитических
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
§ 18. Логарифмическая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
1. Определение логарифмической функции . . . . . . . . . . . . . 119
2. Свойства логарифмической функции . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3. Регулярные ветви функции Ln z .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 128
4. Регулярные ветви функции Ln f(z) . .. .. .. .. .. .. .. .. . 129
5. Арифметические операции над аналитическими функциями
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 136
§ 19. Степенная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
1. Определение степенной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2. Свойства степенной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3. Регулярные ветви функции n
4. Регулярные ветви функции n
√z .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 144
f(z) . .. .. .. .. .. .. .. .. . 145
5. Римановы поверхности функций Ln z и √z .. .. .. .. .. 149
§ 20. Особые точки аналитических функций. Граничные особые
точки .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . 151
1. Особые точки аналитических функций . . . . . . . . . . . . . . 151
2. Точки ветвления .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 151
3. Граничные особые точки регулярных функций . . . . . . 159
Глава 4. Теория вычетов и ее применения .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 162
§ 21. Теоремы о вычетах .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. 162
1. Определение вычета . .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 162
2. Вычисление вычета в полюсе z0 = ∞ и врегулярной
точке z = ∞ . .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 164
3. Формулы для вычисления интегралов с помощью вычетов.
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 167
§ 22. Применение теории вычетов к вычислению интегралов . . . . 172
1. Вычисление интегралов
2. Вычисление интегралов от регулярных ветвей аналитических
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
2π
´0
3. Вычисление интегралов
4. Вычисление интегралов
∞
−∞´ f(x)dx .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 175
∞
´0
xαR(x)dx .. .. .. .. .. .. .. .. . 181
R( sin ϕ, cosϕ)dϕ .. .. .. .. .. 172
Стр.299
Оглавление 299
b
5. Вычисление интегралов
6. Вычисление интегралов
´a
§ 23. Принцип аргумента. Теорема Руше . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
1. Принцип аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
2. Теорема Руше . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. 197
+∞
´0
§ 24. Мероморфные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
1. Разложение мероморфной функции на элементарные
дроби .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . 200
2. Разложение целой функции на элементарные множители
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. 203
Глава 5. Конформные отображения .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . 206
§ 25. Геометрический смысл производной . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . 206
1. Линейное растяжение и угол поворота кривой в точке . . 206
2. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. 207
§ 26. Локальные свойства отображений регулярными функциями 209
1. Теорема об n-значной обратной функции . . . . . . . . . . . . 209
§ 27. Принцип сохранения области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
§ 28. Принцип максимума для регулярной и гармонической
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
§ 29. Однолистные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
§ 30. Определение и общие свойства конформных отображений . . 216
§ 31. Дробно-линейные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
1. Конформность .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... 221
2. Групповое свойство . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... 221
3. Круговое свойство . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... . . 222
4. Свойство сохранения симметрии .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. 224
5. Дробно-линейное отображение, переводящее три точки
втри точки .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . 227
6. Примеры дробно-линейных отображений . . . . . . . . . . . . . 228
§ 32. Конформные отображения элементарными функциями . . . . . 231
1. Функция w = z2 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . 231
2. Функция w = √z .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. 236
3. Функция w = zα .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . 238
4. Функция ez .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . 240
5. Функция w =Ln z .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . 242
6. Функция Жуковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
7. Функция w = z +√z2 − 1, обратная к функции Жуковского
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . 253
8. Тригонометрические и гиперболические функции . . . . 256
9. Разные примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
(x − a)α(b − x)βR(x)dx ... .. 186
R(x)dx .. .. .. .. .. .. .. ... .. 193
Стр.300
300 Оглавление
§ 33. Принцип симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
1. Симметрия относительно действительной оси . . . . . . . . 265
2. Применения принципа симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
3. Симметрия относительно окружности . . . . . . . . . . . . . . . 271
§ 34. Отображения многоугольников. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
§ 35. Задача Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
1. Постановка задачи Дирихле. Существование и единственность
решения .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 277
2. Инвариантность уравнения Лапласа относительно конформных
отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
3. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге . . . . 280
4. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в полуплоскости
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 282
5. Функция Грина задачи Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Глава 6. Операционное исчисление . .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 286
§ 36. Преобразование Лапласа . .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 286
1. Оригинал и его изображение .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 286
2. Свойства преобразования Лапласа .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 287
§ 37. Восстановление оригинала по его изображению . . . . . . . . . . . . 291
1. Формула обращения преобразования Лапласа . . . . . . . . 291
2. Теорема разложения . .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 292
§ 38. Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных
уравнений . .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 292
Литература .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .... .. . 295
Стр.301