М.И. Алексейчик К ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Для динамических систем, описываемых уравнениями xAx= и xBx Cx++ = 0 , рассматриваются некоторые частные, но важные вопросы спектрального анализа, теории колебаний и теории устойчивости. <...> ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА Рассматриваются некоторые уточнения и дополнения к спектральной теореме Шура (теорема 2 ниже) и к теореме Виландта-Хофмана о возмущении спектра нормальной матрицы. <...> Основные результаты получены при весьма ограничительных (Re ≡ 0 или Im ≡ 0 ) о спектрах рассматриваемых матриц. <...> Необходимые сведения по теории матриц можно найти в [6 - 9]. <...> Теорема 1.3 базируется на аргументации, использованной в [8] при доказательстве теоремы Виландта-Хофмана (включая теорему Биркгофа о крайних точках множества двоякостохастических матриц). <...> Доказательство утверждений 2) и 3) =− трактовать 02 этой теоремы основывается на неравенстве 2 ≤= − δα α + 2 Проблемы машиностроения и автоматизации, № 2 – 2007 из следствия 1.4; вывод 57 1,, n… вектора α с распределением координат 1 ,, n… вектора α+ . <...> Если матрица A+ (iA−) является определенной и β= 0 (α=0), то αα+ равенство достигается только при A 0− ( A 0+ ∏∏ ( jj = ). jj ≥ ≥ ∏∏ ), причем = ββ− Следствие 1.6 допускает очевидную и полезную переформулировку в терминах геометрических средних. <...> Если матрицы A и B эрмитовы, а их (вещественные) собственные значения упорядочены по убыванию, то λλ λλ ∞AB A B−≤ − , () () () () 2 где ∞⋅ – равномерная векторная норма. <...> Установленные результаты дают необходимые логические основания и определенные инструментальные средства для проведения совместного анализа динамики систем тарно инвариантные) величины 2 2 xAx= , xA x+ = и xA x− = . <...> В пространстве n R рассмотрим систему xBx Cx++ = 0 , кратко обозначаемую Σ . <...> Считая n четным, матрицу P положительно определенной, а матрицу G невырожденной кососимметричной, рассмотрим систему :0 Σ+ − = xGx Px , хорошо известную в механике в связи с задачей гироскопической стабилизации <...>