Квантовая теория : курс лекций. Ч. 2 (220,00 руб.)

Стр.1

Стр.3

Стр.6

Стр.7

Стр.8

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л. Манаков, М.В. Фролов КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ Курс лекций Часть 2 Воронеж Издательский дом ВГУ 2014

Стр.1

Оглавление Введение Глава 1. Квазиклассическое приближение 5 6 1.1. Связь квантовой механики с классической . . . . . . . . 6 1.2. Квазиклассическое приближение . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Метод ВКБ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Граничные условия в методе ВКБ . . . . . . . . . . . . . 13 1.5. Формула квантования Бора–Зоммерфельда. Нормировка квазиклассических волновых функций . . . . . . . . . . . 16 1.6. Прохождение частицы через потенциальный барьер в квазиклассическом приближении . . . . . . . . . . . . . . 19 Глава 2. Стационарная теория возмущений 22 2.1. Теория возмущений для изолированного уровня . . . . . 23 2.2. Теория возмущений при наличии двух близких уровней . 28 2.3. Теория возмущений при наличии вырождения . . . . . . 31 Глава 3. Вариационный метод 33 3.1. Вариационный принцип . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2. Вариационный метод Ритца . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3. Вариационный вывод уравненияШредингера для стационарных состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Глава 4. Теория квантовых переходов 38 4.1. Квантовые переходы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2. Нестационарная теория возмущений . . . . . . . . . . . . 41 4.3. Адиабатическое и внезапное возмущения . . . . . . . . . 42 4.4. Гармонические и постоянные возмущения. «Золотое правило Ферми» . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Глава 5. Излучение и поглощение света 48 5.1. Гамильтониан взаимодействия квантовой системы с электромагнитным излучением . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.2. Дипольное приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3

Стр.3

Глава 1 Квазиклассическое приближение Аналитическое решение стационарного уравнения Шредингера существует лишь для весьма ограниченного круга потенциалов (осцилляторный, кулоновский и некоторые другие), так что в большинстве случаев для определения волновых функций и спектра энергий требуется использование численных методов. Поэтому важным вопросом квантовой теории является развитие методов приближенного решения уравненияШредингера с той или иной точностью в замкнутом (аналитическом) виде, основанного на ряде допущений (приближений), связанных с характером конкретной задачи (или целого класса таких задач). Несмотря на то, что все приближенные методы имеют ограниченную область применимости, зависящую от характера сделанных приближений, они позволяют качественно, а порой и количественно, описать конкретный квантовый процесс. Одним из приближенных методов решения квантовомеханических задач является квазиклассическое приближение. Как будет показано ниже, в некоторых случаях (например, при плавном изменении потенциала внешнего поля) поведение квантовой системы определяется классическими законами, а квазиклассическое решение уравнения Шредингера с асимптотической точностью (т. е. решение тем ближе к точному, чем точнее выполняются условия применимости) определяет точное решение. Более того, несмотря на название, квазиклассическое приближение позволяет предсказать ряд эффектов, не имеющих классических аналогов (например, туннельный эффект), а также с экспоненциальной точностью рассчитать их наблюдаемые характеристики. 1.1. Связь квантовой механики с классической Вначале рассмотрим вопрос о соотношении квантового и классического описания движения микрочастицы и покажем, что классическое описание является предельным случаем квантового. Рассмотрим средние значения координаты x и импульса p квантовой частицы, которая находится в состоянии Ψ(x, t) в поле с потенциальной энергией V (x) (для простоты ограничимся одномерным случаем). Изменение x и p с течением времени определяется соотноше6

Стр.6

ниями: dt x = 1 d mp; m d2x dt2 = − dt p = − d dV (x) dx dV (x) dx ≡ F,  , (1.1) называемыми теоремами Эренфеста 1. Из соотношений (1.1) следует:  (1.2) ны поля. Уравнение (1.2) есть квантовый аналог уравнения Ньютона, однако где F ≡ − dV dx — классическая сила, действующая на частицу со стороследует отметить принципиальную разницу между (1.2) и вторым законом Ньютона. Действительно, в законе Ньютона сила, действующая на частицу, вычисляется локально в точке x, в которой находится частица, в то время как в «квантовое уравнение Ньютона» (1.2) входит сила, усредненная по всему пространству, а не F(x). Однако, если состояниеΨ(x, t) локализовано в малой области∆x, включающей точку x, то соотношение (1.2) можно упростить. Основной вклад в интеграл для среднего значения дает область ∆x, поэтому, считая V (x) плавной функцией внутри области локализации частицы, разложим производную dV /dx в ряд Тейлора по степеням x−x: dV dx = dV (x) dx где + d2V (x) dx2 (x−x)+ 1 2 dnV (x) dxn ≡ d3V (x) dx3 (x−x)2 +. . . , (1.3) dnV (x) dxn    x=x , и подставим (1.3) в (1.2). Учитывая условия нормировки волновой функции на единицу, а также нулевой вклад линейного по x−x слагаемого при усреднении (1.3), имеем: m d2x dt2 = − dV (x) dx −     H, ˆ dV (x) dx    ≫ 1 2     d3V (x) dx3 (∆x)2+. . . . d3V (x) dx3     (1.4) Отсюда видно, что условие перехода теоремы Эренфеста (1.2) во второй закон Ньютона определяется неравенством: ∆2 x. (1.5) 1 Соотношения (1.1) легко получаются, если воспользоваться определением оператора производной по времени физической величины F: ˆdF/dt = ∂ ˆ + (i/ℏ)[ ˆ F]. 7 F/∂t +

Стр.7

Итак, движение «центра масс» пространственного распределения частицы тем лучше описывается уравнением Ньютона, чем слабее потенциал зависит от координаты и чем ближе это распределение к точечному. Следует отметить, что вследствие принципа неопределенности пространственная локализация волновой функции приводит к разбросу значений импульса частицы и, как следствие, к нарушению классического понимания кинетической энергии. Поэтому, помимо соотношения (1.5), должно выполняться равенство: p2 2m = p2 2m + (∆p)2 2m ≈ p2 2m . Чтобы выполнялось (1.6), необходимо выполнение условия p2 ≫(∆p)2. (1.6) (1.7) Таким образом, квантовая частица ведет себя подобно классической, если движется в достаточно плавном потенциале с большим импульсом. В заключение приведем численную оценку границ применимости классических законов на примере движения частицы массы m по круговой орбите радиуса a вокруг силового центра, создающего потенциал α/r. Подставляя явный вид V (r) = (mα)/r в (1.5), получим: a2 ≫(∆x)2, что вместе с (1.7) дает следующее неравенство a2p2 ≫(∆x)2(∆p2) ∼ ℏ2/4. Очевидно, что для макроскопических объектов (для которых ap/ℏ≫1) данное неравенство выполняется с высокой степенью точности. 1.2. Квазиклассическое приближение Выясним теперь, как выглядит волновая функция квантовой частицы с массой m в поле V (r, t) в пределе, когда ее квантовое описание с помощью уравненияШредингера iℏ ∂ ∂t Ψ(r, t) =  ℏ2 −2m ∇2 +V (r, t) Ψ(r, t)  (1.8) наиболее близко к классическому, и получим более строгое условие применимости квазиклассического подхода. Для этого представим волновую функцию в виде: Ψ(r, t) = exp 8  i ℏ S(r, t)  , (1.9)

Стр.8