МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Курс лекций
Часть 1
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2016
Стр.1
Оглавление
Введение
Глава 1. Основы квантовой механики
5
6
1.1. Предпосылки возникновения квантовой теории . . . . . . 6
1.2. Квантовые состояния. Волновые функции . . . . . . . . . 10
1.3. Принцип суперпозиции состояний . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4. Нормировка волн де Бройля . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5. Средние значения координаты и импульса . . . . . . . . 18
1.6. Физические величины в квантовой теории . . . . . . . . . 20
1.7. Определенные значения физических величин . . . . . . . 27
1.8. Свойства собственных функций и собственных значений
линейного эрмитова оператора . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.9. Оператор с непрерывным спектром собственных значений 33
1.10. Совместная измеримость физических величин . . . . . . 36
1.11. Соотношение неопределенностей . . . . . . . . . . . . . . 38
1.12. Временное уравнение Шредингера . . . . . . . . . . . . . 40
1.13. Плотность потока вероятности . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.14. Стационарные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.15. Дифференцирование операторов по времени . . . . . . . 48
1.16. Интегралы состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Глава 2. Простейшие задачи квантовой механики
55
2.1. Одномерное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2. Линейный гармонический осциллятор . . . . . . . . . . . 57
2.3. Одномерное движение в однородном поле . . . . . . . . . 62
2.4. Момент количества движения (момент импульса) . . . . 63
2.5. Общие свойства движения в центральном поле . . . . . . 67
2.6. Задача двух тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.7. Движение в кулоновском поле притяжения. Атом водорода 73
2.8. Распределение заряда электрона в атоме . . . . . . . . . 78
2.9. Токи в атомах. Магнетон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3
Стр.3
Глава 1
Основы квантовой механики
В данной главе читатель знакомится с основными понятиями и математическим
аппаратом квантовой механики — важнейшего раздела
квантовой теории. В нем исследуется механическое движение в микромире,
т. е. в системах с классическим действием S, имеющим величину
порядка постоянной Планка ℏ. К таким объектам относятся структурные
элементы вещества: атомы, молекулы, элементарные ячейки
кристаллов, ядра и элементарные частицы. Они образуют так называемый
микромир (или квантовые системы), которому присущи весьма
своеобразные законы движения, изучаемые в специальном разделе физики
— квантовой механике. Эти законы существенно отличаются от
законов классической механики, описывающих механическое движение
в классической физике. Ряд эффектов (сверхпроводимость, сверхтекучесть,
ферромагнетизм), а также физико-химические свойства веществ
можно объяснить количественно только в рамках квантовой механики.
1.1. Предпосылки возникновения квантовой теории
К началу XX в. была создана физическая картина мира, базирующаяся
на механике Ньютона и электродинамике Максвелла. Однако
ряд фактов не получил объяснения в рамках данной концепции.
Первая проблема возникла при исследовании излучения, испускаемого
нагретыми телами (излучение «черного тела»). Энергия теплового
излучения, вычисляемая в классической электродинамике по формуле
E =
∞
0
ρ(ω) dω,
(1.1)
содержит спектральную плотность энергии ρ(ω) (ω — круговая частота),
имеющую неправильное асимптотическое поведение при больших
частотах:
ρ(ω) = V ω2
π2c3 kT
(1.2)
(формула Рэлея – Джинса). Здесь V — заполняемый излучением объем,
T — температура, k — постоянная Больцмана. При ω → ∞ плотность
(1.2) квадратично возрастает, приводя к расходимости интегра6
Стр.6
ла (1.1) — так называемая «ультрафиолетовая катастрофа» (УФК) в
классической электродинамике.
Вторая проблема возникла после того, как Э. Резерфорд предложил
планетарную модель атома. Электрон при всегда ускоренном
движении по атомной орбите (центростремительное ускорение!) должен
был бы непрерывно излучать электромагнитные волны, т. е. терять
свою энергию. В конечном итоге, в соответствии с законами механики
и электродинамики, электрон упал бы на поверхность ядра
(в течение ∼ 10−10 с). В реальности же атом устойчив и, более
того, невозбужденные атомы существуют практически бесконечно
долго. Необъяснимыми в рамках классической физики остаются также
связь между электрически нейтральными атомами в молекулах и
физико-химические свойства различных веществ. Наконец, анализ рассеяния
электронов на атомах позволил обнаружить загадочную дискретность
(квантование) атомных уровней энергии (опыт Франка –
Герца, 1914 г.), а позже была установлена и дискретность значений орбитального
момента атома (опыт Штерна – Герлаха, 1922 г.).
Для решения проблемы УФКМ. Планк в 1900 г. выдвинул гипотезу
о квантах, согласно которой обмен энергией между электромагнитным
излучением и веществом (стенками сосуда) происходит дискретными
порциями, или квантами (позже их назвали фотонами), подобно частицам,
а не волнам (дуализм «волна-частица» для света). Энергия
E фотонов, согласно Планку, связана с частотой ω излучения прямой
пропорциональной зависимостью:
E = ℏω.
Коэффициент пропорциональности ℏ, названный впоследствии постоянной
Планка, имеет размерность действия и явился новой фундаментальной
физической константой, специфической для микромира. Для
получения согласующегося с опытом распределения энергии в спектре
теплового излучения М. Планк был вынужден сделать предположение
о наличии в стенках сосуда микроскопических осцилляторов, через посредство
которых осуществляется взаимодействие фотонов со стенками.
В результате такого предположения им была получена знаменитая
формула для спектральной плотности ρ(ω) равновесного (теплового)
излучения:
ρ(ω) = V ℏ
π2c3 ω3e
ℏω
kT
−1−1
(1.3)
(формула Планка). Легко увидеть, что при низких частотах (ℏω ≪kT)
она переходит в формулу Рэлея – Джинса (1.2).
Гипотеза Планка получила дальнейшее развитие при объяснении
явлений фотоэффекта и эффекта Комптона. В 1905 г. А. Эйнштейн,
7
Стр.7
развивая гипотезу Планка, предположил, что дискретность возникает
не только при обмене энергей между излучением и веществом. По
Эйнштейну, всякую электромагнитную волну с волновым вектором k
(|k| = 2π/λ, λ = 2πc/ω — длина волны) во многих явлениях можно рассматривать
как совокупность частиц (фотонов) с энергией E = ℏω и
импульсом p = ℏk. В частности, это предположение позволило ему объяснить
в фотоэффекте наблюдаемую зависимость энергии фотоэлектрона
от частоты, а не интенсивности света. В 1922 г. А. Комптоном
было открыто и объяснено с точки зрения гипотезы о фотонах увеличение
длины волны рентгеновского излучения при его рассеянии на
электронах. (Напомним, что в классической электродинамике частота
электромагнитной волны не меняется при взаимодействии с заряженными
частицами).
Таким образом, гениальность гипотезы Планка состоит в том, что,
как выяснилось, законы взаимодействия света с веществом могут быть
объяснены только благодаря дуализму «волна–частица» для света.
Причиной же «ультрафиолетовой катастрофы» как раз и являлось игнорирование
корпускулярных свойств света.
Чтобы учесть дискретность атомных энергий, Н. Бору в 1913 г. пришлось
ввести ряд постулатов. Первый постулат устанавливал существование
у атома «стационарных» состояний, находясь в которых он не
излучает свет, несмотря на ускоренное движение электрона по орбите.
Второй постулат устанавливал кратность величины орбитального
момента электрона в атоме водорода постоянной Планка ℏ. Третий
постулат базировался на гипотезе Планка: при внешних воздействиях
атом переходит из одного состояния в другое, испуская или поглощая
квант света с энергией ℏω, равной разности между уровнями энергии
атома. Опыты Франка – Герца (1914 г.) и Штерна – Герлаха (1922 г.)
в какой-то мере подтвердили данные постулаты. Последние позволили
также верно воспроизвести энергетический спектр атома водорода —
простейшей атомной системы, однако уже для атома гелия данная техника
оказалась совершенно непригодной. Таким образом, проблема существования
дискретных уровней энергии атома тоже решается не
полностью в рамках механики Ньютона, пусть и дополненной новыми
постулатами. Причиной неудач в решении проблем атомной физики
является то, что постулаты Бора вводились ad hoc, т. е. «задним числом»,
для корректировки существующей теории. Отметим, что такой
же гипотезой ad hoc было и предположение Планка о наличии микроскопических
осцилляторов в нагретом теле при исследовании равновесного
излучения. Требовался переход к новой концепции механического
движения применительно к микромиру. Такой переход осуществился
в течение первой четверти XX века.
8
Стр.8