МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ¾ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ¿ ТЕРМОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Учебное пособие для вузов Воронеж Издательский дом ВГУ 2015 Утверждено научно-методическим советом физического факультета 20 мая 2015 г., протокол 5 Авторы: А. Н. Алмалиев, И. В. Копытин, С. И. Мармо, Т. А. Чуракова Рецензент д-р физ.-мат. наук, доц. <...> Каноническое распределение Гиббса для координат и импуль сов . <...> Термодинамическое описание систем с переменным числом частиц . <...> Статистическое описание систем с переменным числом частиц 64 8. <...> Математическое приложение Литература 68 70 3 Введение Раздел ¾Термодинамика и статистическая физика¿ в общем курсе ¾Тео ретическая физика¿, читаемом на физических факультетах университетов, является завершающим и традиционно считается одним из самых трудных. <...> И то и другое не случайно: термодинамика и статистическая физика не име ют четко ограниченной области изучаемых явлений, как это имеет место в классической или квантовой механике, электродинамике, оптике и др. <...> Данные методические указания к решению задач по курсу ¾Термоди намика и статистическая физика¿ относятся к его первой части, посвя щенной изучению свойств классических равновесных систем и процессов в них. <...> Авторы надеются, что студенты, полностью проработавшие данное посо бие, смогут в дальнейшем самостоятельно применять методы классической статистической физики и термодинамики. <...> Если случайная величина x ме няется непрерывно, то вероятность dW(x) того, что случайная величина может принимать значения от x до x + dx, зависит, во-первых, от самого значения x, т.е. является некоторой функцией f(x), а во-вторых, пропорци ональна ширине интервала значений dx, т.е. dW(x) = f(x)dx. <...> Очень часто приходится по вероятностям отдельных событий опреде лять вероятности более сложных событий. <...>
Термодинамика_и_классическая_статистическая_физика_.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
¾ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ¿
ТЕРМОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Учебное пособие для вузов
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2015
Стр.1
Содержание
Введение
1. Основные сведения из теории вероятностей
2. Термодинамика
4
5
11
2.1. Постулаты термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Методы термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. Механическое и статистическое описание макросистем 25
4. Микроканоническое распределение
5. Каноническое распределение Гиббса
34
40
5.1. Каноническое распределение Гиббса для координат и импуль
сов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2. Каноническое распределение Гиббса по энергии . . . . . . . 45
6. Классический идеальный газ
7. Большое каноническое распределение
50
62
7.1. Термодинамическое описание систем с переменным числом
частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.2. Статистическое описание систем с переменным числом частиц 64
8. Математическое приложение
Литература
68
70
3
Стр.3
где∆t время пребывания системы в данном состоянии, а T полное время
наблюдения.
Очень часто приходится по вероятностям отдельных событий опреде
лять вероятности более сложных событий. Для этого существуют две общие
теоремы теории вероятностей теорема сложения и теорема умножения
вероятностей.
Теорема сложения вероятностей. Пусть сложное событие заключа
ется в наступлении либо события A, либо события B, которые в свою оче
редь являются несовместимыми событиями. Тогда вероятность сложного
события выразится как сумма вероятностей отдельных событий:
W(A либо B) = W(A)+W(B).
(1.5)
В случае непрерывной функции распределения, если нас интересует ве
роятность того, что случайная величина будет находиться либо в интервале
[x1,x1 +dx1], либо в интервале [x2,x2 +dx2], будем иметь
dW(x1 либо x2) = dW(x1)+dW(x2) = f(x1)dx1 +f(x2)dx2.
(1.6)
Эта теорема, очевидно, может быть обобщена на любое число несовме
стимых событий.
Вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает од
но из значений в интервале от x1 до x2, по теореме сложения вероятностей
определяется как
W(x1,x2) =
∫x2
x1
dW(x) =
∫x2
x1
f(x)dx.
(1.7)
Очевидно, что вероятность найти случайную величину во всем интерва
ле ее возможных значений представляет достоверное событие. Поэтому
∫
dW(x) =
∫
f(x)dx = 1.
(1.8)
Интегрирование ведется по всей области изменения переменной x. Это ра
венство называется условием нормировки функции распределения. Оно ис
пользуется для нахождения произвольной константы, входящей в функцию
распределения вероятностей.
Теорема умножения вероятностей. Иногда некоторое событие мо
жет произойти только при условии, что произойдет другое событие. Вероят
ность такого сложного события в этом случае называется условной вероят
ностью. Условная вероятность события A при условии выпадения события
B определяется по формуле
W(A при условии B) = W(A|B) ·W(B).
6
(1.9)
Стр.6
Точно так же вероятность сложного события, заключающегося в том,
что одновременно имеют место два независимых события A и B, определя
ется через произведение вероятностей W(A) и W(B) отдельных независи
мых событий A и B по формуле
W(A и B) = W(A) ·W(B).
(1.10)
В случае непрерывных независимых величин x и y вероятность сложно
го события, заключающегося в том, что случайная величина x принимает
значение в интервале от x до x+dx и одновременно случайная величина y
принимает значение в интервале от y до y+dy, определяется произведением
вероятностей
dW(x, y) = dW(x)dW(y) = f(x)g(y)dxdy,
(1.11)
где f(x) и g(y) плотности вероятности для величин x и y.
Среднее значение некоторой функции F(x) от случайной величины x
определяется суммой
F = ⟨F⟩ =∑
i
∫
X
F(xi)Wi,
если x дискретная величина, и интегралом
F = ⟨F⟩ =
F(x)dW(x) =
∫
X
(1.12)
F(x)f(x)dx.
(1.13)
если x непрерывная величина.
Для оценки масштаба возможного отличия случайной величины от сред
него значения используется дисперсия. Дисперсия определяется по следую
щим формулам:
(∆x)2 =∑
i
(∆x)2 =
∫
(xi −x)2Wi (äëÿ дискретной случайной âåëè÷èíû), (1.14)
(x−x)2f(x)dx (äëÿ непрерывной случайной âåëè÷èíû).
Так как (∆F)2 всегда положительна, то ее среднее значение стремится к ну
лю, лишь если она сама стремится к нулю, т.е. когда вероятности заметных
отклонений F от F малы. Величина
(1.15)
√(∆F)2
называется средним квадратичным отклонением (в статфизике ее часто
называют средней квадратичной флуктуацией), имеет размерность [F] и
7
Стр.7
характеризует ширину интервала отклонений истинных значений F от F.
Безразмерная величина
δF =
√(∆F)2
F
называется относительной флуктуацией.
Таким образом, зная закон распределения случайной величины, можно
определить все ее характеристики, которые нас интересуют. Поэтому одной
из основных задач статистической физики является отыскание законов и
функций распределения тех или иных физических случайных величин в
различных физических системах.
Пример 1.1. Идеальный газ, состоящий из N молекул, находится в
сосуде с объемом V . Определить вероятность Pn(v) того, что в заданном
объеме v будет содержаться в данный момент точно n молекул. Рассмот
реть предельные случаи:
a) n≪N, N →∞, á) v
Решение. Вероятность того, что одна молекула находится в объеме v,
равна v/V. Вероятность найти одновременно определенные n молекул в объ
V N ≫1, ∆n = n−n≪n.
еме v есть (v/V )n. Необходимо учесть òàêæå, что остальные N −n молекул
должны быть вне указанного объема, поэтому вероятность найти в объеме
v ровно n определенных молекул есть (v/V )n(1 − v/V )N−n. Число ñïîñî
бов, которыми можно выбрать n произвольных молекул из общего числа
N, дается биномиальным коэффициентом Cn
вероятность того, что в объем v попадут произвольные n молекул из общего
числа N,
N = N!
n!(N −n)!. Окончательно
Pn(v) = N!
n!(N −n)!
в виде
Pn = N!
n!(N −n)!
( n
N
( v
V
)n (1−
v
V
)n(
= N(N −1) . . . (N −n+1)
n!
Pn = lim
N→∞
Nn
n!
( n
N
)N−n
.
(1.16)
Рассмотрим теперь предельные случаи:
à) обозначим n = N(v/V ). Тогда распределение (1.16) переписывается
1−
( n
N
)n(
8
n
N
)N−n
)n(
1−
n
N
1−
n
N
)N−n
=
)N−n
.
Принимая во внимание малость n по сравнению с N и переходя к пределу
N →∞, получим
=
Стр.8